刁延松，任 红

（青岛理工大学 土木工程学院，山东 青岛 266033）

基于振动的结构损伤检测方法近二十年来得到了快速发展［1－2］，损伤预警是结构损伤检测的初级阶段，主要用来确定结构是否已经发生损伤。损伤预警的原理十分简单［3］：首先在结构正常运行时，提取结构健康状态的动力响应特征参数（例如：模态特性），然后利用某种技术监测后续的未知状态的动力响应特征参数是否发生偏离，若偏离，则发出损伤预警，否则结构健康。

事实上，土木工程结构在服役过程中会受到环境因素（温度、湿度）的作用，并导致动力响应特征参数发生变化［4－5］，甚至会淹没结构损伤引起的动力响应特征参数的变化，如果在损伤检测过程中没有考虑这些环境因素的影响，将导致错误的损伤检测结果。环境因素的影响已成为限制损伤检测技术成功应用于工程实际中的主要困难［6－7］，所以，去除环境因素对损伤检测结果的影响非常重要。

迄今为止，人们提出了许多消除环境因素影响的振动损伤检测方法，大致可以分为参数化的方法和非参数化的方法。参数化方法要建立动力响应特征参数与单个环境因素（温度）之间的相互关系，主要有回归分析和插值法［8－10］，参数化方法的优点是简单实用，缺点是需测量环境因素，且未考虑其它潜在因素，而结构真实的运营条件复杂，是多种环境因素综合在一起的，因此，该方法具有较大的局限性。非参数化方法不需要建立动力响应特征参数与环境因素之间的相互关系，主要有因子分析［11］、奇异值分析［12］、主分量分析［13］、支持向量机［14］、基于子空间法［15］，其优点是不需要测量环境因素，这对于难以获得环境因素实测数据的土木工程结构的健康监测来说还是很有意义的。Yan等［16］利用主成份分析剔除了温度对自振频率的影响，Bellino等［17］研究了质量的变化对结构自振频率的影响，并利用主成份分析法将质量变化的影响去除，Deraemaeker等［18］利用因子分析法去除温度因素对频率及振型的影响，取得了比较好的效果。Kullaa等［19］研究了操作变量（节点位置、荷载）对AR模型系数的影响，利用因子分析法去除了操作变量对AR模型系数的影响。

本文首次提出了考虑温度影响的基于AR模型和因子分析的结构损伤预警方法，首先利用时间序列分析中的AR模型对结构损伤前后的加速度响应数据进行动态建模，并提取模型系数，其次利用因子分析去除温度对AR模型系数的影响，构造结构损伤前后AR模型系数之间的欧式距离，最后利用标准差控制图进行损伤预警研究。

1 原理

1.1 AR模型

观测值｛Xt（t＝1，2，…，p）｝为一平稳的、零均值的随机过程，若 Xt的取值与前 p步的各个取值 Xt－1、Xt－2、…Xt－p有关，则可以用一差分方程来表示它们的内在联系［20］：

式中，p代表模型阶次，φi（i＝1，2，…，p）为自回归系数，φiXt－i表示 t－i时刻的“历史值”Xt－i对 t时刻值 Xt的贡献（或者影响），｛ɑt｝为均值为0、方差为 σɑ2白噪

声序列。该模型所描述的｛xi｝是对其自身过去数值进行回归，故称为自回归模型，简称AR模型。

1.2 去除温度因素的影响

考虑环境因素影响的结构动力响应特征参数可以用下述方程描述为［21］：

式中：x为结构动力响应特征参数（模态参数、AR模型系数等）观测值；f（T，h，…）为受环境（如温度 T、湿度 h等）影响的结构动力响应特征参数方程；g（η）为受结构损伤模式η（损伤位置、损伤程度等）影响的结构动力响应特征参数方程。

因子分析是用少数几个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，不是具体的变量）去描述多变量之间的相互关系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中。因子分析将每个原始变量分解成两部分：一部分由所有变量共同具有的少数几个因子构成，即潜在因子；另一部分是仅对某一变量产生影响，为某一变量所特有的，即特殊因子。根据上述对因子分析的阐述结合方程（2），可以通过因子分析把方程（2）化成如下因子模型［21］：

式中，x代表p维观测值向量，Λ为因子荷载矩阵（Λ∈Rp×m），ξ是m维不可观测因素（潜在公共因子），g为p维特殊因子向量。

在本文的研究中，AR模型系数可以作为观测值变量x，温度视为公共因子ξ，它会影响AR模型系数。利用结构在无损及损伤状态下所处的各种温度情况下得到的AR模型系数来建立因子模型，利用该模型来剔除温度对AR模型系数的影响，具体如下［19］：

在因子分析求解过程中，假设 ξ～N（0，I），I为单位矩阵；g～N（0，ψ），ψ为对角矩阵；其中ξ，g不相关：E（ξgT）＝0。

由因子模型可知x均值为0，则

因子分析求解过程如下［19］：

（1）求观测值得协方差矩阵R：

由上式得，观测值变量可以表示为：x～N（0，ΛΛT＋ψ）。

（2）由方程（5）可知，当ψ＝0时，对协方差矩阵R进行SVD分解可以得到Λ。

（3）ψ为未知量，可以通过迭代得到。在迭代过程中，对R－ψ进行SVD分解来估计因子荷载矩阵Λ，并且确定潜在因子个数m（m＜p）。ψ为对角矩阵，可由下式得到：

将ψ带入方程（6）进行迭代，直到ψ收敛。

（4）求因子得分。

（5）最终求得去除温度干扰的结构动力响应特征参数。

式中，特殊因子g是独立变量，它不受温度因素的影响，可以用于损伤检测。如果结构的发生损伤，先前训练的因子模型就不再适用于当前的状况，需要重新进行因子分析，而结构损伤引起的动力响应特征参数的变化将存在于特殊因子中，特殊因子发生变化将预警结构发生损伤。

1．3 采用标准差控制图进行损伤预警

将控制图用于大型结构的损伤识别已经取得了一些研究成果［22－24］，这些方法大多是将控制图与时间序列分析结合起来，即以时间序列模型参数来构建控制图的样本统计量。本文利用结构损伤前后AR模型系数构造欧氏距离作为样本，计算样本的标准差S，将标准差S作为统计量，绘制标准差控制图进行结构损伤预警。

欧式距离是表示n维空间中两个点之间的真实距离，计算公式如下［25］：

式中，i，j＝（1，2，…，n），dij表示第 i个样本到第 j个样本的欧式距离，xit和xjt分别表示第i个样本和第j个样本的p个指标所组成的向量。在本文中欧式距离为无损状态下AR模型系数与各损伤工况的AR模型系数的距离。

建立控制图就是计算控制图的中心限和上下控制界限。设欧氏距离d为正态总体样本X，X～N（μ，σ），x为取自X的样本，标准差S作为样本统计量。由《常规控制图》查得标准差图控制限计算公式如下［26］：

其中为子组标准差S的平均值；B3B4由《常规控制图》附表查得。

在控制图中可由点出界的个数来进行损伤判别。利用3σ准则取显著性水平为0．997 3m控制置信水平的上下限。在结构正常状况下，连续100个点中有3个或多于3个点超出控制界限的概率为0．002 6，是小概率事件，此概率值接近 0．002 7（1－0．997 3＝0．002 7），与3σ相近，因此采用的损伤判断准则可以近似为：连续100个点中有3个或者多于3个点超出控制界限就可以判定结构发生损伤。

2 数值模拟

采用ANSYS建立了一个四层钢框架的三维有限元模型，如图1所示，基本参数：密度为7 800 kg／m3，泊松比μ＝0．3。柱、横梁以及支撑采用BEAM4单元，顶板采SHELL63单元，顶板上堆积质量采用MASS21单元进行模拟。该模型共32个结点，192个自由度，50个BEAM4单元，1个SHELL3单元，4个MASS21单元，7种单元截面类型，模型与基础固接。本文以Y向面Ⅱ的斜撑分别发生不同程度损伤作为研究对象，损伤是通过弹性模量的折减来实现的，温度变化范围为－20℃～40℃，钢的弹性模量和温度关系如图2所示。

图1 四层钢框架数值模型Fig．1 Numericalmodel of a four-floor steel frame

图2 钢的弹性模量和温度的关系Fig．2 Relationship betweenelasticity modulus of steel and temperature

表1 数值模拟损伤工况Tab．1 Damage scenarios of numerical simulation

本文采用的高斯白噪声激励采样频率为1 000 Hz，长度为49．152 s，利用ANSYS10．0的瞬态分析模块，对模型节点9、10 Y向分别施加白噪声激励（均为无噪声条件下），通过结构动力响应时程分析，获取节点6的Y向加速度响应，其采样频率为500 Hz，持时为20 s，损伤工况如表1所示，共17种，其中单杆件损伤13种工况，两杆件损伤4种工况。

对每种损伤工况，在－20～40℃范围内每隔5℃分别采集节点6的前20 s的10 000个加速度响应数据，这样每种工况下共得到13组不同温度下的加速度响应数据，将每组10 000个数据均分为五个子块，利用Matlab编制的程序获得每个子块的前4阶AR模型系数，然后利用因子分析技术去除温度对各工况下AR模型系数的影响，因为利用因子分析处理各工况每个子块的AR模型系数的方法相同，限于篇幅，本文仅以工况一第一个子块的AR模型系数为例，列出利用因子分析方法剔除温度影响前后的AR模型系数，分别见表2和表3。按式（10）计算每种损伤工况在不同温度下的欧式距离，将各温度下欧式距离作为样本，计算欧氏距离的标准差S；将标准差带入式（11－12）计算控制界限，从而得到剔除温度影响前后的S控制图，如图3－图5所示。图3为3号杆件损伤时剔除温度影响前后的S控制图，图4为4号杆件损伤时剔除温度影响前后的S控制图，图5为2、3号杆件同时损伤时剔除温度影响前后的S控制图。其中，图3－图5中控制上、下限值如表4所示。

表2 未剔除温度影响前AR模型系数Tab．2 The AR model coefficients without tem perature effect removed

表3 剔除温度影响后AR模型系数Tab．3 The AR model coefficients with tem perature effect removed

表4 控制图限值Tab．4 Control lim its 0f control charts

通过图3（a）和图 3（b），图4（a）和图 4（b）以及图5（a）和图5（b）的对比可得，在未剔除温度影响时，结构无损时有部分点散落在控制上限之外，而结构发生损伤时有部分点散落在控制上限以内，温度的影响使S控制图不能反应结构的真实损伤状况。而利用因子分析剔除温度影响后，结构无损状态下的统计量点均分布在控制上限以内，发生损伤时的统计量点则分布在控制上限之外，能够准确的判断结构已发生损伤，从而进行损伤预警。但从图5（b）可知，工况15的统计量点均分布在控制上限以内，据此可判断结构未发生损伤，然而这与实际情况不符，显然出现了误判现象。

图3 剔除温度影响前后3号杆件损伤的S控制图Fig．3 S－control charts with and without temperature effect for 3rd element damage

图4 剔除温度影响前后4号杆件损伤的S控制图Fig．4 S－control charts with and without temperature effect for 4th element damage

图5 剔除温度影响前后2、3号杆件同时损伤的S控制图Fig．5 S－control charts with and without temperature effect for 2，3th element damage

3 结 论

本文首次提出了考虑温度影响的基于AR模型和因子分析的结构损伤预警方法，首先利用时间序列分析中的AR模型对结构损伤前后的加速度响应数据进行动态建模，并提取模型系数，其次利用因子分析去除温度对AR模型系数的影响，构造结构损伤前后AR模型系数之间的欧式距离，最后利用标准差控制图进行结构损伤预警研究。数值模拟结果表明，在温度变化的条件下，利用AR模型结合因子分析及统计控制图可以准确判断四层钢框架结构是否发生损伤，从而进行损伤预警，但该方法对激励较为敏感，该方法的优点是不需要有限元模型和模态参数，属于数据驱动的方法，适于进行实时的结构健康监测。本文仅仅成功地对该方法进行了数值模拟，若要将该方法用于实际工程，还需进一步进行实验研究，同时由于环境因素除了温度之外，还包括湿度、风、质量的变化等等，未来还应在这些方面进一步开展研究。

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