朱烈浪，胡建根

(江西农业大学理学院，330045，南昌)

几种反常积分的应用

朱烈浪，胡建根

(江西农业大学理学院，330045，南昌)

反常积分；无穷级数；中心极限定理

1 反常积分f(x)dx

例如：设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),(σ>0)，证明：E(X)=μ,D(X)=σ2。

从而E(X2)=μ2+σ2，由D(X)=E(X2)-[E(X)]2，则D(X)=μ2+σ2-μ2=σ2。

另外，在学习高等数学无穷级数这一章内容时，利用反常积分可以判断某些无穷级数敛散性，方法简单且效果好。

2 反常积分f(x)dx

应用1：求解某些定积分。

其中：X1,X2…Xn,…是独立的且具有相同分布的随机变量序列，且有数学期望和方差：E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…)。由此得到，如果随机变量X服从B(n,p)，当n很大时，有

(1)

例如：在一家保险公司里有10 000人参加保险，每人每年付12元保险费，1年内1个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1 000元，问：保险公司亏本的概率有多大?

解：设X表示1年内参保人的死亡数，则X～B(10 000,0.006)(二项分布)，要使保险公司亏本，必须满足12×10 000-1 000X<0，即X>120，由式(1)，则有

即保险公司亏本的概率为0[3]。

3 反常积分f(x)dx

4 结束语

以上介绍的是3种反常积分在数学中的应用；除此外，反常积分在物理学及工程学等也有广

[1]同济大学.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996:328-329.

[2]盛骤.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2010:11.

[3]王东红.大数定理和中心极限定理在保险业中的重要应用[J].数学的实践与认识,2005(10):132-133.

[4]郭学军.高等数学[M].北京:科学出版社,2012:137.

SeveralApplicationsofImproperIntegral

ZHU Lielang,HU Jiangen

(Institute of Science,Jiangxi University of Agricultural,330045,Nanchang,PRC)

In this article,we give three types of applications of infinite limit improper integral in probability and statistics.For Γ(α) and Φ(x) example,we introduce applications of improper integral in probability and mathematical statistics,we use improper integral to judge the divergence of infinite series;to calculate some definite integral and to verify some conclusions in normal distribution.It can be seen that improper integral is not only a mathematical concept,but it actually is also a kind of mathematical method.

improper integral;infinite series;central limit theorem

2014-06-25;

2014-07-28

朱烈浪(1969-)，男，江西南昌人，副教授，硕士，从事概率统计教学工作。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.04.018

O211.4

A

1001-3679(2014)04-0501-03