张建元，张毅敏，胡晓飞，韩 艳

(昭通学院数学与统计学院，云南 昭通 657000)

对称点偶的基圆方程及其性质*1

张建元，张毅敏，胡晓飞，韩 艳

(昭通学院数学与统计学院，云南 昭通 657000)

给出了以2定点为对称点偶的基圆方程(即表达式),利用它研究了基圆的一些性质,得到对称点偶的基圆唯一存在的条件.在几何变换方面解决了关于圆周的反演变换的一个逆问题，即给定对称点偶及半径等条件求基圆.

对称点;基圆;反演变换;比值;方程;分布;性质;唯一性

在文献[1-7]中,给出了“2定点关于圆周对称”的概念以及“到2定点的距离之比等于常数(≠1)的点的轨迹是圆周”的结论.由于它们都涉及“两点一圆周”,因此自然会问前者的圆周是否满足后者的条件,而后者的2点是否关于轨迹图圆周对称.若答案是肯定的,则上述2个问题可简化为1个问题.进一步可考虑关于圆周的反演变换的逆问题：“给定一对点偶,能否求一个圆周,使它们关于圆周对称.若能,此圆周唯一存在的条件是什么？”对于提出的这个问题,笔者在文中进行了相关的研究.

1 基本概念与定理

定义1[1-8]设z(k)≡x+iky(0≠k∈R)为z=x+iy的K-复数，p,q是平面上的2点,C是平面上的一条直线或圆周.

(ⅰ)若p与q分别在直线C的两侧,C垂直且平分线段pq,则称p,q关于直线C对称.

(ⅱ)若p与q分别在圆周C(z0,r)的内外,满足

(p-z0)·(q-z0)(-1)=r2,

(1)

等价地满足

|p-z0||(q-z0)|=r2，arg(p-z0)=arg(q-z0)+2nπn∈Z，

(2)

则称p,q关于圆周C(z0,r)对称.

2种情况统称p与q是C的对称点偶,C是对称点偶p，q的基圆(轴).

若点p(或q)是按(2)式中的对应关系由q(或p)变得,则称这个变换为关于圆的反演,p(或q)称为q(或p)的反演像点,圆周称为p,q的反演基圆.反演基圆在反演中占有很重要的地位.下面将给出在已知对称点偶下的基圆的表达式(即方程).

定理1[1-9](ⅰ) 若p与q关于直线C对称,则C的方程是

|z-p|/|z-q|=1.

(3)

(ⅱ) 若p与q关于圆周C对称,则C的方程是

|z-p|/|z-q|=λ0<λ≠1,λ∈R，

(4)

其中C的圆心和半径分别为z0=(p-λ2q)/(1-λ2),r=λ|q-p|/|1-λ2|.

证明(ⅰ) 设直线C:ax+by+c=0.其中a,b,c∈R,a,b不同时为0,C的方向为(-b,a).作变换x=[z+z(-1)]/2,y=[z-z(-1)]/2i,有

C:α(-1)z+αz(-1)+c=0，

(5)

其中α=(a+ib)/2,即2iα=-b+ia,C的方向为2iα.C的方向用复数表示为iα.因p,q关于直线C对称,中点z0=(p+q)/2∈C且(p-q)C,故有

α(-1)(p+q)+α(p+q)(-1)+2c=0，

(6)

α(-1)(p-q)-α(p-q)(-1)=2iRe(iα(p-q)(-1))=0.

(7)

(6)式加(7)式得

α(-1)p+αq(-1)+c=0.

(8)

(5)式减(8)式得α(-1)(z-p)+α(z-q)(-1)=0,即对于任意的z∈C,有|z-p|/|z-q|=1.

反之,由“到2定点等距的点的轨迹是2点连线段的中垂线”可知(3)式满足条件.

(ⅱ) 设圆周C:|z-z0|=r,由条件p,q关于圆周对称,有

(9)

(10)

(11)

因C:|z-z0|2=r2,即

zz(-1)+z0(-1)z+z0z(-1)+|z0|2-r2=0，

(12)

故代(9)—(11)式入(12)式得

(13)

去分母,化简[(z-p)(-1)](z-p)-λ2[(z-q)(-1)](z-q)=0,即(|z-p|/|z-q|)2=λ2,亦即|z-p|/|z-q|=λ.故对于任意的z∈C皆满足(4)式且(9),(10)式成立.

这就是“到2定点的距离之比等于常数(≠1)的点的轨迹是圆周C”.

下证p,q关于圆周C对称.设t≜(p-q)/(1-λ2)≠0,r=λ|q-p|/|1-λ2|=λ|t|,|t|=r/λ,p-z0=λ2t,q-z0=t.|p-z0|=λ2|t|=λr,|q-z0|=|t|=r/λ.当0<λ<1时,|p-z0|r,即p,q分别在C的内外;当λ>1时,|p-z0|>r,|q-z0|

将(4)式所表示的圆周称为阿波罗尼斯(Apollonius)圆,简称为阿氏圆.

合并(3)与(4)式得圆周或直线的一般方程:|z-p|/|z-q|=λ(0<λ∈R).简记为C(p,q,λ)或C(λ).λ是方程的参数,当λ=1时,C(λ)为直线,当0<λ≠1时,C(λ)为圆周.p,q都是它们的对称点.

引进无穷远点∞,直线可看成是半径为无穷大,或是圆心的模趋于∞时圆周的极限,由(9)或(10)式知，当|z0|→∞或r→∞时,有λ→1,即C(λ)→C(1).此时(3)式(甚至与直线有关的概念)可归入(4)式.

2 基本性质

当0<λ≠1时,C(λ)为圆周,p,q都是它的对称点,p,q在从圆心出发的同一条射线上.设C(λ)与pq所在直线交于a,b(ab为C(λ)的直径),p,q,a,b,z0这5点共线于pq所在直线.这些点在直线pq上的位置关系,分pq所得线段的长度以及它们的比值如何？若将p,q分别在圆周C内外的位置关系称为p,q分布，则p,q分布如何？对于这些问题,有如下结论.

定理2[5-7](p,q分布定理) 设p,q是C(λ)的对称点偶,C(λ)与pq所在直线交于a,b,则当0<λ<1时,p,q分别在C(λ)的内与外,即p,q分别为直径ab的内外分点;当λ>1时,p,q分别在C(λ)的外与内,即p,q分别为直径ab的外内分点.反之也成立.

定理3[5-7](比值定理) 在定理2的条件下，有：

(ⅰ)p,q外分与内分(或内分与外分)直径ab的比值为|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)；

(ⅱ)a,b内分与外分(或外分与内分)线段pq的比值为λ≠1,其中分点a,b(或b,a)分别为

(p+λq)/(1+λ),(p-λq)/(1-λ)，

(14)

且对于任意的z∈C,za,zb分别是∠pzq的内外(或外内)平分线.

图1 C(λ)(0<λ<1)的示意

图2 C(λ)(λ>1)的示意

同理可证a,b外分与内分线段pq的比值为λ≠1,分点a=(p-λq)/(1-λ),b=(p+λq)/(1+λ)，且对于任意的z∈C,za,zb分别是∠pzq的外内平分线.即定理3(ⅱ)获证.

定理4[5-7](比值定理的逆) 若p,q将一个圆周C的直径外分与内分(或内分与外分)的比值为|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)，则圆周C上任意点到p与q的距离的比值为λ,且p,q关于圆周C对称.

证明设C的直径为ab.(ⅰ) 因p,q将ab外分与内分为定值(λ-1)/(1+λ),则a,b分别为pq的内分与外分点.此时p,q分别在C的外与内(见图2).就线段的长度而言,qb=pb-(pa+aq),即pb-qb=pa+aq(q内分ab).

(ⅱ) 因p,q将ab内分与外分为定值(1-λ)/(1+λ),则a,b分别为pq的内分与外分点.p,q分别在C的内与外(见图1)，bq=bp+(pa+aq)(q外分ab).

综合(ⅰ)与(ⅱ),定理4获证.

定理5[5-7]p,q将一个圆周的直径外分与内分(或内分与外分)的比值为|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)的充要条件是，这个圆周上任意点到p与q距离的比为定值λ,且p,q关于圆周对称.

证明由定理3(ⅰ)可得其充分性，由定理4可得其必要性.显然p,q关于圆周对称.

在定理3的推证过程中已经给出了pq所在直线上一些线段的长度的关系式,下面将继续给出其上一些与基圆的圆心有关的(有向)线段的长度及其比值.

定理6[1-7](基圆心的性质) 在定理2的条件下,设线段ab,pq的中点分别为z0=(a+b)/2,z1=(p+q)/2,r=|a-b|/2,r1=|q-p|/2,则：

(ⅰ)z0外分有向线段pq的比值为λ2.当0<λ<1时,z0在pq的反向延线上,即z0在p的外侧,z1z0与pq方向相反;当λ>1时,z0在pq的延线上，即z0在q的外侧,z1z0与pq方向相同.

(ⅱ)

(15)

z0=(p+q)/2±eiθ(r2+(|q-p|/2)2)1/2,θ≡arg(q-p)，

(16)

当0<λ<1时,(16)式取“-”，当λ>1时,(16)式取“+”.

(ⅲ)z1到C(z0,r)的切线长等于r1.

证明(ⅰ) 由定理1知(p-z0)/(q-z0)=λ2>0,则z0是有向线段pq的外分点[5-6],且外分的比值为λ2.当0<λ<1即0<λ2<1时,z0在pq的反向延线上,即z0在p的外侧.又z1为pq中点,z1z0与pq方向相反;当λ>1时,z0在pq的延线上,即z0在q的外侧,z1z0与pq方向相同(见图1,2).

(ⅲ)z1在C(z0,r)之外,又z∈C(z0,r),z1z⊥z0z,此时z1z必是z1到C(z0,r)的切线,其长度等于r1.

注1 定理1与定理6分别给出了不同形式的2个基圆的圆心公式,即(9)式与(16)式,分别简记为z0(p,q,λ)与z0(p,q,r).它们都依赖于参数λ,但前者关于λ是定量的,而后者关于λ是定性的，它们各有用途.

注2 在C∞中,圆族C(λ)(λ≥0)的变化规律是,C(λ)中圆周的半径和圆心是随参数λ的变化而变化的.(ⅰ)当λ=0时,由(14)式得a=b=z0=p,r=0,C(0)≡p是点圆.(ⅱ)当0<λ≤1时,λ:0→1,有a:p→z1≡(q+p)/2(沿pq方向),b或z0:p→∞(沿qp方向),r:0→∞,C(λ):p→C(λ)→C(1).因C(λ)⊥pq相交于a,故C(1)⊥pq相交于z1,即C(1)为pq的中垂线.(ⅲ)当λ≥1时,令λ=1/λ′(0<λ′<1),由C(λ)(λ>1)得C(λ′)(0<λ′<1),此时C(λ′)的图形是图1的背面透明图中p,q的位置互换(见图2).由(ⅱ)知,λ:1→∞(即λ′:1→0),a:z1→q,b或z0:∞→q,r:∞→0,令C(∞)≡q,C(λ):C(1)→C(λ)→q.

注3 将文献[5]中P32§59的定理“反过来,如果A,B是2个点,将一圆的直径MN外分与内分为比±k,那么这圆上任一P点到A与B的距离的比为定值k”简称为“命题1”.

命题1中的条件是不充分的.事实上,假设命题1的结论成立,圆周应为阿氏圆,记为C(k).此时A,B分别在C(k)的外与内,有k>1.由定理3(ⅰ)可得，A,B将C(k)的直径MN(有向线段)外分与内分为比±(k-1)/(k+1).另一方面由命题1的条件点A外分直径MN,则AM/AN=k>0.那么(k-1)/(k+1)=k,即k2=-1,矛盾.若将命题1的条件改为定理4中的第1种情况,结论成立.即在有向线段中,命题1应更正如下:如果A,B是2个点,将一圆的直径MN外分与内分为比±(k-1)/(1+k)(k>1),那么这圆上任一P点到A与B的距离的比为定值k.

3 对称点偶的基圆周的确定

由前面部分已知若一个圆周为阿氏圆C(λ),则2定点p,q关于圆周C(λ)对称,反之给定一对点偶p与q,能否确定一个圆周,使p,q关于此圆周对称.当λ=1时,C(λ)为直线,给定一对点偶p与q,直线可唯一确定,即线段pq的中垂线.对于通常的圆周,答案是否定的,甚至添加所求圆周的半径,即p,q,r都已知,圆周也未必唯一确定.

如果1/2,2同时关于r=1的2个圆周C(0,1),C(5/2,1)对称,那么以p，q为对称点偶的基圆唯一存在的条件是什么?对于此问题,有如下结论.

定理7[1-7](唯一性定理) 若下列条件之一满足,则以p，q为对称点偶的圆周唯一确定:

(ⅰ) 已知圆周的对称点偶p,q及比值λ或圆心z0;

(ⅱ) 已知圆周的半径,对称点偶p,q及其分布(λ<1或1/λ>1).

证明因确定一个圆周需两要素:圆心与半径.

(ⅰ) 当z0已知时,由(p-z0)/(q-z0)=λ2(0<λ≠1)可得λ,故已知圆周的对称点偶p,q及比值λ或圆心z0时,由(9),(10)式得z0(p,q,λ),r(p,q,λ),从而圆周C(z0,r)唯一确定.

由韦达定理得λ2(-)λ2(+)=1,即λ2(+)=1/λ2(-)>1,从而0<λ2(-)<1<λ2(+)=1/λ2(-),即0<λ(-)<1<λ(+)=1/λ(-).令λ=λ(-),则λ(+)=1/λ>1(0<λ<1).分别代λ,1/λ入(9)式得相应的圆心z0(λ),z0(1/λ).故当0<λ<1时,圆周C(z0(λ),r)唯一确定,且p,q分别在C的内与外;而1/λ>1时,圆周C(z0(1/λ),r)唯一确定,且p,q分别在C的外与内.

无论何种情况,也无论0<λ<1或1/λ>1,由条件所确定的圆周都是阿氏圆C(λ)(0<λ≠1).由定理1知2定点p,q关于圆周C(λ)对称也是显然的.

图3 C(z1,r1)与C(λ)及C(1/λ)(0<λ<1)正交的示意

推论1 若已知圆周的半径及对称点偶p,q,则以p与q为对称点偶的圆周有且只有2个,即C(λ),C(1/λ)(0<λ<1),其中圆周的参数互为倒数,圆心z0(λ),z0(1/λ)分别由(16)式确定,且C(λ)与C(1/λ)关于z1对称(见图3).

故z′+z″=z0(λ)+reiθ+z0(1/λ)+rei(π+θ)=2z1,其中∀z′≡z0(λ)+reiθ∈C(λ),z″≡z0(1/λ)+rei(π+θ)∈C(1/λ)(0≤θ≤2π).

在唯一性定理的条件之下,以p与q为对称点偶的圆周唯一确定,关于圆的反演也就随之而定.利用反演变换的一些性质和初等作图法,不难分别作出满足定理3种条件的反演变换,即作出任意M(≠z0,p,q)关于基圆的反演像点M′.

例1 已知1/3,3是圆周C(z0,1)的对称点偶:

(ⅰ) 试确定满足条件的圆周C(z0,1);

(ⅱ) 讨论圆周C(z0,1)与C(z1,r1)关系，这里z1=(1/3+3)/2=5/3,r1=(3-1/3)/2=4/3.作出它们的示意图.

解(ⅰ) 法一:r=1,由(10)式得1=λ2|3-1/3|2/(1-λ2)2=(8λ/3(1-λ2))2,即3λ2+8λ-3=(3λ-1)(λ-3)=0,解得λ=1/3,λ=3.由(9)式得z0(1/3)=(1/3-1/3)/(1-1/9)=0,z0(3)=(1/3-27)/(1-9)=10/3.λ=1/3<1,1/3与3关于圆周C(0,1)对称,且它们分别在C(0,1)的内外;λ=3>1,1/3与3关于圆周C(10/3,1)对称,且它们分别在C(10/3,1)的外内.

法二:z1=5/3,由(15)与(16)式得|z1z0|=(1+(4/3)2)1/2=5/3,θ≡arg(3-1/3)=arg(8/3)=0.当0<λ<1时,z0(λ)=z1-|z1z0|=5/3-5/3=0,当1/λ>1时,z0(1/λ)=z1+|z1z0|=5/3+5/3=10/3.1/3，3关于基圆周C(0,1)及C(10/3,1)的对称性与分布同法一.由法二不难作出基圆周C(0,1)与C(10/3,1)的示意图.

4 结语

给出了以2定点为对称点偶的基圆的方程(即表达式)C(λ),并研究了λ的几何意义——对称点偶的分布、线段的比值等性质.利用它们得到了在已知对称点偶的情况下基圆唯一存在的条件.在几何变换方面解决了关于圆周的反演变换的一个逆问题(给定对称点偶及半径等条件求基圆)，同时更正了文献[5]中的瑕疵.

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(责任编辑 向阳洁)

CircleofInversion’sEquationofSymmetricPointsPairandItsProperties

ZHANG Jianyuan,ZHANG Yimin,HU Xiaofei,HAN Yan

(School of Mathematics and Statistics,Zhaotong University,Zhaotong 657000,Yunnan China)

This paper gives the circle of inversion’s equation for the symmetric point pairsby two points,use it to study the circle of inversion’s some properties,and obtain the unique existence condition of the symmetric point pairs of circle of inversion.On the geometric transformation this paper has solved an inverse problem about the circle of transformation and inversion,which has given the symmetric points pair and radius of base inversion condition.

symmetric points pair;circie of inversoin;transformation of inversoin;ratio;equation;distribution;property;uniqueness

1007-2985(2014)04-0001-07

2013-12-30

国家自然科学基金资助项目(11061028);云南省教育厅科学研究项目(08Y0369，2010Y222，2013Y578)

张建元(1956-)，男,云南昭通人,昭通学院数学与统计学院教授，主要从事复分析、边值问题研究.

O174.55

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.001