许军保

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

Smarandache Ceil函数的均值研究

许军保

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

研究了Smarandache Ceil函数的均值性质,并利用初等方法得到了该函数关于k次方幂数列均值的几个渐近公式.

Smarandache Ceil函数;k次方幂数列;均值;渐近公式

1 引言及有关定理

对于任意整数n及给定的正整数k，n的k次方上下部分数列定义如下：

ak(n)=min{mk|mk≥n,m∈N+},bk(n)=max{mk|mk≤n,m∈N+},

其中k∈N+，称ak(n)表示不小于n的最小k次方部分数列，亦称为上部k次方部分数列，称bk(n)表示不超过n的最大k次方部分数列，亦成为下部k次方部分数列，当k=3时这个数列的前几项为：

a3(1)=1,a3(2)=8,a3(3)=8,a3(4)=8,a3(5)=8,a3(6)=8,a3(7)=8,a3(8)=8,a3(9)=27,…，

b3(1)=1,b3(2)=1,b3(3)=1,b3(4)=1,b3(5)=1,b3(6)=1,b3(7)=1,b3(8)=8,b3(9)=8,….

对给定的正整数n,k,且k≥2著名Smarandache Ceil函数Sk(n)定义为最小的正整数x，使得n|xk，即：Sk(n)=min{x:x∈N+,n|xk}.

例如Sk(2)=2,Sk(3)=3,Sk(4)=2,…在F.Smarandache[1]的建议下,不少学者对ak(n)、bk(n)和Sk(n)的算术性质进行了研究[2-3].令：

并得到了以下结论.

定理1 对任意x>2,渐近公式：

定理2 对一任意正整数n，有渐近式及极限式：

定理3 对一任意正整数n，有渐近式及极限式：

(Ik(n)-Lk(n))=0.

定理4 对一任意正整数n，有渐近式及极限式：

2 定理的证明

由于Sk(n)≤n,从而Sk(rk)≤rk，其中[x]表示不超过x的最大整数.显然:

([x]-Mk)(M+1)k((M+1)k-Mk)(M+1)k=

其中[x]表示不超过x的最大整数.显然:

([x]-Mk+1)Mk≤((M+1)k-Mk+1)Mk=

在定理1中，取x=n，则:

立刻得到:

即得定理2、3的结论.

即得定理4的结论.

[1]Smarandache F.Only problems not solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]Sabin T,Tatiana T.Some new results concerning Smarandache Ceil function[J].Smarandache NotJournal,2002,13(1/2/3):30.

[3]Yi Yuan,Liang Fangchi.On the primitive numbers of power p and k-power root[C]//Zhang Wenpeng Reseach on Smarandache problems in number number theory,Phoenix:Hexis,2004:5-8.

[4]黄炜.关于Smarandach的K次方部分数列[J].西南民族大学学报:自然科学版,2010,36(5):1-3.

[5]潘承洞,潘承彪.解析数论基础[M].北京:科学出版社,1999.

责任编辑：时凌

ReseachontheMeanValueofSmarandacheCeilFunction

XU Jun-bao

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiao Tong University,Lanzhou 730070,China)

The mean value properties of the Smarandache Ceil function were studied, and several asymptotic formulas of this function was given by using the elementary and analytic methods.This shows that there exists better value distribution properties for the Smarandache Ceil function in some special sequences.

Smarandache Ceil function;k-power sequence; mean value; asymptotic formula

2014-02-01.

国家自然科学基金项目(10574059)；甘肃省自然科学项目(0710RJZA072).

许军保(1955- )，男，副教授， 主要从事基础数论及其应用的研究.

O156.4

A

1008-8423(2014)01-0064-04