吴利斌，詹 鸿

(武汉软件工程职业学院 公共课部，湖北 武汉 403205)

垂足曲线与反垂足曲线

吴利斌，詹 鸿

(武汉软件工程职业学院 公共课部，湖北 武汉 403205)

利用平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线的概念，给出平面上几种特殊曲线的垂足曲线与反垂足曲线的例子，并将这两个概念推广到三维欧氏空间中去.

垂足曲线；反垂足曲线;三维欧氏空间

1 平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线

定义1 平面上一定点P0对曲线C上各点的切线作垂线的垂足所形成的曲线C*称为曲线C对点P0的垂足曲线，而曲线C称为曲线C*的反垂足曲线.

文献[1]中给出了以下两个定理：

(1)

定理2 在平面极坐标系下，若垂足曲线C*的方程为ρ=ρ(θ)，则反垂足曲线C的方程为

(2)

由定理1易得下面几个推论：

(3)

(4)

其中s为曲线C的自然参数.

(5)

其中s为曲线C的自然参数.

2 几种特殊平面曲线的垂足曲线

由推论1容易得到平面上几种特殊曲线的垂足曲线.

例1 圆 (x-a)2+y2=a2(或x=a(1+cosθ),y=asinθ)对原点O(0,0) (即圆上一点)的垂足曲线为心脏线

(6)

(7)

(8)

注1 由上面三个例子知圆、抛物线和等边双曲线分别是心脏线、蔓叶线和双纽线关于原点的反垂足曲线.

3 空间曲线的垂足曲线与反垂足曲线

平面曲线的垂足曲线与反垂足曲线的概念可以很自然地推广到三维欧氏空间中去，即

定义2 在空间曲线C的切线所组成的曲面上，与一定点P0的连线均与曲线C的切线垂直相交的动点轨迹C*称为曲线C对点P0的垂足曲线，而曲线C称为曲线C*的一条反垂足曲线.

注2 也可以类似定义1来定义空间曲线的垂足曲线与反垂足曲线.

z(t)} ，则曲线C对点P0的垂足曲线C*的方程为

(9)

(10)

(11)

且过点P0与切线T垂直相交的直线N的方程为

(12)

其中

(13)

由(11)得

(14)

由(12)和(13)得

(15)

将(14)和(15)代入(11)得切线T与直线N的交点的径矢，即得曲线C对点P0的垂足曲线C*的方程为

(16)

(17)

(18)

(19)

联立方程(18)和(19)消去λ，即得曲线C对点P0的垂足曲线C*的方程为

(20)

(21)

或

(22)

(23)

(24)

[1] 陈朝光，唐余勇，吴鸿业. 微分几何及其在机械工程中的应用[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998.

[2] 梅向明，黄敬之. 微分几何(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

Keywords: pedal curve;antipedal curve;3-euclidean space

Pedalcurveandantipedalcurve

WU Li-bin,ZHAN Hong

(Public Course Department, Wuhan Vocational College of Software and Engineering,Wuhan 430205,China)

The document [1] puts forward the concepts of pedal curve and antipedal curve in plane curves, and gives simple applications to them. This paper gives some examples of pedal curve and antipedal curve in special curve and extends the two concepts to 3-Euclidean space.

2013—06—15

吴利斌(1966— )，女，湖北天门人，副教授

O186.1

A

1009-2714(2014)01- 0115- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.025