关于不定方程x3-8=Dy2的整数解

2014-08-08普粉丽

重庆工商大学学报（自然科学版） 2014年4期

普粉丽

(普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000)

关于方程x3±a3=Dy2(x，y∈N，D>0，且无平方因子)是一类重要的不定方程，其整数解已有不少人研究过.a=3时，李双娥、林丽娟[1]、田志勇、罗明[2]得出了一些结论；a=2时主要结果如下：1981年柯召、孙琦[3]证明了D不能被3或6k+1形的素因子整除时，若D≡0，1，2(mod 4)，则方程x3-8=Dy2仅有整数解(x，y)=(2，0)；若D≡1，9(mod 20)，则方程x3-8=3Dy2无非平凡整数解.1991年，曹玉书[4]给出了D含6k+1形素因子时，方程x3-8=3Dy2无非平凡整数解的一些充分性条件.1992年，曹玉书、黄龙铉[5]给出了D含6k+1形素因子时，方程x3-8=Dy2无非平凡整数解的一些充分条件.1995年，罗明[6]给出了x3-8=7y2的所有解.2004年，乐茂华[7]给出了方程x3-8=py2无gcd(x，y)=1的正整数解的一个充分条件；2004年，乐茂华[8]给出了方程x3-8=3py2无gcd(x，y)=1的正整数解的一个充分条件.2006年，黄勇庆[9]给出了方程x3-8=61y2无整数解的一个充分解.2011年，李娜[10]给出D=D1p(D1不能被3或6k+1形的素因子整除，p是正奇素数)时方程x3-8=Dy2无正整数解的一些充分条件.此处给出了D含6k+1形素因子时，方程x3-8=Dy2无正整数解的一个充分条件.

引理1[11]若p=3t(t+1)+1(t∈N)，则px2-3y2=1的最小解为(2，2t+1).

定理1 设D=D1p，其中D是无平方因子的正整数，D1不能被3或6k+1形的素数整除，p=3(12r+7)(12r+8)+1(r∈N)是奇素数，则当D1≡5(mod 8)时，不定方程x3-8=Dy2无gcd(x，y)=1的正整数解.

证明因为gcd(x，y)=1，则x<≢0(mod 2)，所以x3-8=Dy2可分解为(x-2)·(x2+2x+4)=Dy2，又因为gcd(x-2，x2+2x+4)=gcd(x-2，x(x-2)+4(x-2)+12)=gcd(x-2，12)，而12的正约数有1，2，3，4，6，12，且x<≢0(mod 2)，即x-2<≢0(mod 2).故gcd(x-2，x2+2x+4)=1或3.由此可见，不定方程x3-8=Dy2可以分解为以下4种情形：

情形Ⅰ：x-2=D1pa2，x2+2x+4=b2，gcd(a，b)=1.

情形Ⅱ：x-2=D1a2，x2+2x+4=pb2，gcd(a，b)=1.

情形Ⅲ：x-2=3D1pa2，x2+2x+4=3b2，gcd(a，b)=1，y=3ab.

情形Ⅳ：x-2=3D1a2，x2+2x+4=3pb2，gcd(a，b)=1，y=3ab.

下面分别对这4种情形下不定方程x3-8=D1py2的解的情况进行讨论.

对于情形Ⅰ，由x2+2x+4=b2配方得b2-(x+1)2=3，可解得x=-2或x=0，把x=-2及x=0代入x-2=D1pa2不符合条件.故在情形Ⅰ下不定方程x3-8=Dy2无gcd(x，y)=1的正整数解.

对于情形Ⅱ，由x-2=D1a2得x=D1a2+2，因为x为奇数，即x-2也为奇数，故a2也为奇数，所以a2≡1(mod 8)，D1≡5(mod 8)，即D1a2≡5(mod 8)，亦即x≡7(mod 8)，从而x2+2x+4≡3(mod 8)，又因为b2为奇数，即b2≡1(mod 8)，而p=3(12r+7)·(12r+8)+1，r∈N，即p≡1，5(mod 8)，pb2≡1，5(mod 8)，故3≡x2+2x+4=pb2≡1，5(mod 8)，矛盾.故在情形Ⅱ下不定方程x3-8=Dy2无gcd(x，y)=1的正整数解.