樊汝萍， 金渝光

(重庆师范大学 数学学院，重庆 400047)

1 基础知识

1.1 相关定义

同一函数f(x)的多次复合f(f(x))，f(f(f(x)))，…，称为函数f(x) 的迭代，为简便起见，记f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，特别地，记f0(x)≡x.

1.2 求函数迭代式的几种常用方法

(1) 不动点法.若能确定一个函数f(x)的迭代式的基本形式(如线性式、多项式等)，可以设置待定系数，再通过函数f(x)的不动点来确定这些系数.若x0∈I，满足f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的不动点，这时能够得到x0也是fn(x)的不动点，由此可以计算出待定系数，进而得到f(x)的迭代式.

(2) 共轭相似法.若存在可逆函数h(x)，使函数f与g满足f=h-1∘g∘h，就称f与g共轭或相似，记为f～g，这里函数h(x)称为桥函数.并且，若f～g，则fn～gn，即从f=h-1∘g∘h可导出fn=h-1∘gn∘h.常常利用这一性质，通过桥函数，把一个复杂函数转化成一个易求迭代式的函数.

(3) 数学归纳法.利用函数迭代的定义，通过计算出一个给定函数的几个低次迭代式(如二次迭代式、三次迭代式等)，找出这个函数的迭代式的特定规律，再根据观察到的规律推测猜想出此函数的n次迭代式，最后用数学归纳法证明即可.

上面介绍的这3种计算函数迭代式的方法，在文献[1-3]中有很详细地介绍和完整的计算过程.然而不动点法和数学归纳法使用范围极其有限，因此，在计算函数迭代式时常用共轭相似法.共轭相似法关键之处在于寻找一个合适的桥函数，通过共轭相似性，把一个复杂的函数转化成一个便于求函数迭代式的函数.下面简单的介绍几类函数的桥函数的寻找方法.

2 几类函数的桥函数

因为s为cx2-(a-d)x-b=0的一个根，所以cs2-(a-d)s-b=0，即as+b-cs2-ds=0.因此可得

下面用数学归纳法来计算其函数迭代式.

猜想gn(x)=Anx+An-1B+…+A2B+AB+B.

证明① 当n=1时，g1(x)=g(x)=Ax+B，结论成立.

② 假设当n=k时结论成立，即gk(x)=Akx+Ak-1B+…+A2B+AB+B，那么当n=k+1时，有

由①②知gn(x)=Anx+An-1B+…+A2B+AB+B，结论成立，所以

再根据共轭相似性，由fn(x)=h-1∘gn∘h(x)计算出f(x)的函数迭代式fn(x)即可.

解令f(x)=x，易知此方程无实数根，并且可以算出该方程的虚数根为1+i或1-i.

从而有

(2) 类型2：形如f(x)=a(x-h)k+h(a，h，k∈R且a≠0，k≠0，1)的整式函数，用共轭相似法求其函数迭代式，可设其桥函数为h(x)=x-h.

解若设f(x)=a(x-h)k+h的桥函数为h(x)=x-h，则h-1(x)=x+h，那么有

g(x)=h∘f∘h-1(x)=a(x+h-h)k+h-h=axk

从而有

用类型1所述方法或数学归纳法都易求得

从而有

可以看出g3(x)是一个线性分式型的函数，可以用类型1中所述方法求出g3(x)的函数迭代式，再根据共轭相似性求出f3(x)的函数迭代式即可.

接下来再用类型3中相同的方法求出g1(x)，g2(x)和g3(x)的函数迭代式，进而通过共轭相似性可以求出f1(x)，f2(x)和f3(x)的函数迭代式.

用数学归纳法可求得

所以

参考文献：

[1] 张伟年.动力系统基础[M].北京：高等教育出版社，施普林格出版，2001

[2] 林银河.基于迭代计算的一个不等式和极限[J].重庆师范大学学报：自然科学版，2005，22(3)：76-79

[3] 张荣.关于几类函数的迭代问题[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2007，24(1)：22-25