孙仁斌

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

本文讨论如下具有奇性反应函数的半线性抛物型方程的初边值问题：

(1)

(2)

1 解在有限时刻猝灭

为了得到问题(1)的解在有限时刻猝灭的结果，需要函数f(w)、g(t)满足一些基本条件，设：

f′(w)>0,f″(w)>0,1

(3)

存在正常数c0，使g(t)≥c0,t>0.

(4)

定理1 设f(s),g(t)满足(3)，(4)式，m>0，则当区域Ω充分大，使得特征值问题(2)的第一特征值λ1

(5)

则问题(1)的解会在有限时刻发生猝灭，且猝灭时刻T满足：

(6)

(7)

由Green公式及边界条件，有：

-λ1y(t)，因此，由(4)、(7)式可得：

如果问题(1)的解是整体存在的，则t可以任意大，与条件(5)矛盾，因此一定存在有限时刻T，使问题(1)的解u(x,t)关于t只存在于[0,T]上，在时刻T，解发生猝灭，令t→T-，得到T满足(6)式，定理1证毕．

下面在定理1的条件满足的情况下，讨论在猝灭时刻ut的爆破性质．

引理1 设初值函数u0(x)与g(t)满足：

(8)

g′(t)>0,t>0.

(9)

则ut(x,t)>0,(x,t)∈Ω×(0,T).

证明令v(x,t)=ut(x,t)，在方程两边对t求导得：

利用(8)，(9)式与极大值原理，得证．

引理2 在定理1的条件下，问题(1)的猝灭点集是Ω的一个紧子集．

证明我们可以假设初值函数u0(x)满足：

(10)

否则，只要将初始时刻增加一些即可，其中n是∂Ω上的单位外法向量．

2 解的整体存在性

本段在球形区域内讨论解的整体存在性，设Ω={x∈RN,|x|

(11)

(12)

(13)

则问题(1)的解是整体存在的．

(14)

参 考 文 献

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