孙志玲,孙燕

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028000)

多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子

孙志玲,孙燕

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028000)

完全刻画多重调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的紧性.运用紧Toeplitz算子这个结果,建立了Toeplitz代数和小Hankel代数的短正合列,推广了单位圆盘上相应的结果.

多重调和Bergman空间;紧Toeplitz算子;Toeplitz代数;小Hankel代数

1 引言

令 Cn为 n维复向量空间,Bn和 Sn分别代表 Cn中的单位球和单位球面.对 Cn中的点 z=(z1,···,zn)和 ξ=(ξ1,···,ξn),令其中是 ξj的复共轭,并且令表示分量在非负整数 N0中的 n-元数组组成的集合.对一个多重指标和如果令|α|=α1+···+αn代表它的长度,并且 α!=α1!···αn!.对N0n中两个多重指标α=(α1,α2,···,αn)和β=(β1,β2,···,βn), α≽β表示

α⊥β表示

定义

并且,当α≽β时,有

L2(Bn,dv)是Bn上Lebesgue平方可积的Hilbert空间,其上的内积定义为:

其中dv是Bn上通常正规化球测度.

令 P代表 L2(Bn,dv)到上的正交投影.对 ϕ∈L∞(Bn,dv),Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子分别定义为:

其中I是恒等算子.

一个带有符号ϕ的简化的(little或者reduced)Hankel算子hϕ定义为:

其中U是L2(Bn,dv)→L2(Bn,dv)的酉算子,并且

通过直接的验证,下面命题成立.

命题 1.1下列关系式是成立的

令 Q是 L2(Bn,dv)到上的正交投影.多重调和 Bergman空间上的带有符号ϕ的Toeplitz算子和Hankel算子分别定义为:

文献 [1]运用把单位圆盘上调和 Bergman空间上的 Toeplitz算子分解成 Bergman空间上的 Toeplitz算子和小 Hankel算子的技巧,刻画了单位圆盘的调和 Bergman空间上的紧Toeplitz算子.利用这个结果,建立了相应的Toeplitz代数和Hankel代数的短正合列.本文在单位球Bn上的多重调和Bergman空间上研究相应问题.

文献 [2]完全描述了单位球Bergman空间上 Toeplitz算子的紧性.文献 [3]给出了单位球和多圆盘上紧Hankel算子的一些等价条件.文献[4]研究了单位球上Bergman空间上的Toeplitz代数.运用这些结果,刻画了多重调和Bergman空间上的紧Toeplitz和Hankel算子.根据这些算子紧性的特征,对函数研究了由 Toeplitz算子生成Toeplitz代数 T,和由小 Hankel算子和 Toeplitz算子生成的小 Hankel代数H.

2 紧Toeplitz和Hankel算子

本节将给出多重调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子紧性的一个判别准则.紧Toeplitz算子在后面的段落中将用来研究Toeplitz代数和小Hankel代数.

其中

因为在L2(Bn,dv)上U∗=U,则可得且

对L2(Bn,dv)中的函数f和g,定义秩1算子

定理 2.1在上,对ϕ∈L∞(Bn,dv),有

其中z=(z1,z2,···,zn),ˆϕ(z)=ϕ(¯z),并且

证明函数是的一个正规正交基,其中 m=(m1,m2,···,mn)取遍非负整数的多重指标.显然,是的一个正规正交基.因此是多重调和Bergman空间的正规正交基.对每个f∈L2(Bn,dv),有

其中P1是从L2(Bn,dv)到上的投影.这样

令K(z,w)是单位球Bn上的Bergman再生核,则

由文献[5]知

因此有

并且

f∈L2(Bn,dv)的Berezin变换定义如下:

其中kz=Kz/∥Kz∥是标准化Bergman再生核.

引理 2.1在L2(Bn,dv)上,Berezin变换与算子U交换.即对f∈L2(Bn,dv),˜Uf=U˜f.

证明令f∈L2(Bn,dv),对z∈Bn,(Uf)(z)的Berezin变换是

下面给出多重调和Bergman空间上紧Toeplitz算子的描述.

引理 2.2假设ϕ是L∞(Bn,dv)中的函数.在多重调和Bergman空间上,Toeplitz算子是紧的当且仅当(z)→0,当|z|→1,并且

其中α=(α1,α2,···,αn)是一个非负整数的有序n元组,|α|=α1+α2+···+αn=n+1,并且

证明首先假设是紧的.调和Bergman空间上的Toeplitz算子的矩阵表示(2.1)表明Γϕ和在Bergman空间上是紧的.由命题1.1知,Γϕ=Uhˆϕ,则hϕ和hˆϕ在上是紧的.

注意对ϕ∈L∞(Bn,dv),有因此,得到和由文献[6]中推论1可知,下面论断成立:

并且

现在来证明符号函数的Berezin变换的极限在单位球的边界上是0.˜Tϕ的矩阵表示(2.1)表明Tϕ和Tˆϕ在Bergman空间上是紧的.文献[2]中的定理2表明当|z|→1时,˜ϕ(z)和˜ˆϕ(z)收敛到0.

相反地,假设

则

和

从命题1.1和文献[6]中的推论1得出Γϕ和Γˆϕ都是紧的.已知当|z|→1时,由引理2.1知当 |z|→1.则由文献 [2]中的定理 2,有 Tϕ和是紧的.根据(2.1)式,有在多重调和Bergman空间上是紧的.

推论 2.1令ϕ是单位球Bn上的一个有界多重调和函数.则是紧的当且仅当ϕ=0.

证明如果ϕ是0,显而易见是0.相反地,假设是紧的.根据文献[5]中Bn的自同构的性质和调和函数的平均值定理,有

其中φz是Bn的一个自同构,

下面给出多重调和Bergman空间上Hankel算子关于紧性的描述.

定理 2.3在多重调和Bergman空间上,对ϕ∈L∞(Bn,dv),如果

证明对z∈Bn,令通过的定义,有

上面的第三等式从定理2.1证明过程的这个等式UP1=PU中获得.这样,上面的方程可以写成

推论 2.2如果ϕ是上的连续函数,则是紧的.

证明容易验证,对取定的w∈Bn,当|z|→1−时,∥φz(w)−z∥→0.由勒贝格控制收敛定理,当|z|→1时,∥ϕ◦φz−ϕ(z)∥2→0.由算子I−P的有界性,有∥ϕ◦φz−P(ϕ◦φz)∥2→0.由定理2.3,知 ˜Hϕ是紧算子.

3 Toeplitz代数

对L∞(Bn,dA)中的函数ϕ,定义Toeplitz算子的本质范数如下:

下面的引理给出了多重调和Bergman空间上Toeplitz算子的本质范数的表示式.

引理 3.1令则

证明由于从文献[8]知Γϕ和都是紧的.由上Toeplitz算子的矩阵表示(2.1)式,有

从文献[9]中引理4.1和引理4.2,得

这样得到等式

因此

定理 3.1列是一个短正合列,即商代数T/K和C(Sn)是∗-等距同构,其中π是映+K到的符号映射.

证明首先证明K⊂T.由文献 [10]中的定理 11,对 i∈{1,2,···,n},换位子−不是零.由文献 [4]中定理 1,对中的 f和 g,Tfg−TfTg是紧的.这样,换位子TfTg−TgTf=TfTg−Tfg−TgTf+Tfg在上是紧的.对由命题1.1和文献[11]中的定理12得出Γϕ和Γˆϕ都是紧的.根据矩阵表示(2.1)式,通过对算子矩阵的简单计算,得到是紧的.

因此T包含一个非零紧算子.由文献[12]中的定理5.39,每个不可约代数的换位子理想如果包含一个非平凡的紧算子则包含紧算子的理想.因此,需要证明T是不可约的.

并且

现在,对λ∈Bn,令h=kλ,则有

因此

应用Cauchy-Schwartz不等式,得到

这表明g在L∞(Bn,dv)中.由于集合{p+¯q:p,q是多项式}在中是稠的,有

令P(z,ξ)是Bn上不变Poisson核,表示如下:

取z∈Bn,对C(Sn)中的函数ϕ的Poisson积分P[ϕ]定义为:

其中,dσ是Sn通常标准化Lebesgue测度.由文献[13]中的定理3.3.4,有令 ϕ1(z)=P[ϕ](z),定义ξ从C(Sn)到T,形式为容易验证η短正合列0→K→是一个等距截面,这给出这个列是分裂的.

4 小Hankel代数

下列命题给出了小Hankel代数H中算子的形式.

命题4.1令A∈H.则存在函数中的ϕ1和ϕ2和一个紧算子K,使得

证明对首先将证明

对每个紧算子K′,有

第三个不等式是从Γg的紧性得出,最后的等式从引理3.1得出.因此,

其中

用ϕ1和ϕ2分别表示f和g的Poisson积分.因此

注意到

因此

这样存在紧算子K,使得

定理 4.1令则算子是Fredholm型的当且仅当在Sn上没有零点.

证明酉算子定义为:

其中F为有限秩算子.因为Γf,Γg,Γˆf和Γˆg是紧的,我们有

其中K为紧算子.

为了更好的理解小Hankel代数,考虑商代数H/K.由命题4.1的证明过程中可知H/K是由算子生成的,其中再由得到商代数是非交换的.

考虑C∗-动力系统(C(Sn),Z2,σ),其中Z2在C(Sn)上的作用形式为:

(π,U)是(C(Sn),Z2,σ)的一个协变表示,其中π是Hilbert空间H上C(Sn)的一个C∗表示,而s→Us是Hilbert空间H上Z2的一个酉表示,作用形式如下:向量积C(Sn)×σZ2是对所有的协变表示通常的C∗-代数的定义.这样C(Sn)×σZ2包含一个典型幂等的酉元素δ使得

并且线性空间是C(Sn)×σZ2的一个稠密∗-子代数.

定理4.2列是一个短正合列,即商代数T/H与C(Sn)×

σZ2是∗-同构,其中是映U+K到f|Sn+g|Snδ的符号映射.

证明在Hilbert空间L2(Sn)上,令L表示所有带有连续符号的乘法算子生成的代数并且酉算子U定义为:z∈Sn.定义γ:H/K到L的映射,形式如下:

由命题 4.1,这个映射是良定义的.从定理 3.1的证明过程知是紧算子,容易验证 γ是一个单射 ∗-同态.这样,由文献 [14]中的定理 1.3.2知,γ是等距的.由于集合 {Mϕ+MψU:ϕ,ψ∈C(Sn)}是 L的一个稠 ∗-子代数,可知映射 γ是一个 C∗-代数的同构.现在,考虑 L2(Sn)上 (C(Sn),Z2,σ)的协变表示 (π,U),其中 π(f)=Mf.存在一个从C(Sn)×σZ2到L满射C∗-同态α,定义为:

下面证明这个同态是单射.假设存在一个 ξ∈C(Sn)×σZ2使得 α(ξ)=0.则存在一列{fn+gnδ}收敛到ξ,因此

在Bn上,分别表示f和g的Poisson积分,在Sn上,这样就有同时,由命题4.1的证明过程,有

这样有

因为

有ξ=0,从而α是单射.这意味着α是一个C∗-同构.根据τ=α−1◦γ,

是一个C∗-同构.

参考文献

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[14] Arveson W.An Invitation to C∗-Algebra[M].New York:Springer,1976.

Toeplitz and Hankel operators on the pluriharmonic Bergman space

Sun Zhiling,Sun Yan
(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028000,China)

In this paper,we completely characterize compact Toeplitz and Hankel operators on the pluriharmonic Bergman space.We establish the short exact sequences associated with the Toeplitz algebra and small Hankel algebra by using the criterion for compactness of Toeplitz operators,and generalize the corresponding results on the unit disk.

pluriharmonic Bergman space,compact Toeplitz operator,Toeplitz algebra, small Hankel algebra

O177.1

A

1008-5513(2014)04-0393-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.009

2014-04-03.

内蒙古民族大学博士科研启动基金(BS311).

孙志玲(1979-),博士,讲师,研究方向：函数空间中的算子理论.

2010 MSC:47B35