孙玉涛，常 郝，张子振，徐 勇

（安徽财经大学 管理科学与工程学院， 安徽 蚌埠 233000）

一类时滞食饵-捕食者系统的稳定性研究

孙玉涛，常 郝，张子振，徐 勇

（安徽财经大学 管理科学与工程学院， 安徽 蚌埠 233000）

种群动力系统的演化不仅依赖于系统的当前状态，还依赖于系统过去某一时刻的状态.基于此，本文研究了一类具有时滞和比率HollingⅡ型功能性函数的食饵-捕食者系统.以捕食者成熟时滞τ为参数，利用微分方程理论，分析了系统正平衡点的稳定性，并给出了系统产生Hopf分支的条件.结果表明,给定参数满足一定条件时,两种群的密度会产生周期性的变化，或者都保持一种稳定状态.

Hopf分支；食饵-捕食者系统；时滞；稳定性

1 引言

近年来，具有时滞、功能性响应、阶段结构、扩散运动等特性的食饵-捕食者系统模型得到了专家学者们的广泛关注和深入研究[1-2].文献[3]研究了种内相食捕食模型非常数正解的存在性,并以扩散系数为分歧参数，讨论了发自正常数解的分歧.文献[4]研究了具有时滞的食物链反馈系统的局部Hopf分支的存在性.文献[5]提出了一类具有改进的Lesile-Gower和HollingⅡ型功能性反应函数的食饵-捕食者系统模型.文献[6]在相应的功能性反应函数中引进时滞，并构造了相应的Layapunov函数，讨论了正平衡点全局稳定的充分条件.众多研究表明，在种群动力学中，随着种群间的相互作用时滞是不可避免的，并且时滞有时候会破坏系统平衡点的稳定性.基于此，本文以捕食者成熟时滞τ为参数，讨论如下系统的正平衡点稳定性以及Hopf分支的存在性，进而得到系统存在小振幅周期解的充分条件.

对于系统（1）x1(t)与 x2(t)分别表示食饵种群与捕食者种群在 t时刻的密度，r1=n1-n2表示食饵种群的内秉增长率，其中 n1为食饵种群的平均出生率，n2为食饵种群的平均死亡率,r2表示捕食者种群的死亡率表示食饵种群种内竞争系数，a1与 a2分别表示相应的转化率，m表示半饱和常数，t为非负，表示捕食者种群从幼年到成年的成熟时滞.系统(1)中各参数 r1，r2，a1，a2，m均为正常数.

作为预备知识，首先介绍如下定义：

考虑如下二维自治系统：

定 义 1 若(x0,y0)使 E(x0,y0)=0,F(x0,y0)=0，则称(x0,y0)为系统（**）的平衡点，如果 x0>0且 y0>0，则称(x0,y0)为系统（**）的正平衡点.

定义 2 设(x0,y0)为系统（**）的平衡点，且系统(**)在(x0, y0)处的线性化方程为：的所有特征值都具有负实部,则称系统（**）的平衡点(x0,y0)是渐近稳定的.

2 正平衡点的稳定性与周期解的存在性

定 理 1 如果系统（1）的参数满足下列条件：（T1）a2>r2且 mr1a2>a1(a2-r2),那么系统（1）有唯一的正平衡点.

证明 设 X(x*1,x*2)是系统的平衡点，则由系统平衡点的定义有：

解上述方程组可得系统 (1)的三个非负平衡点(0,0),,其中

本文只考虑系统(1)正平衡点的性态.系统(1)在正平衡点)处的一次近似系统为：

将系统(2)写为如下矩阵形式：

进而得到系统(2)的特征方程为：

引理1如果系统(1)满足条件（T2）A+D>0，则当t=0时，方程(5)的根有严格负实部.

引理 2 如果系统(1)能同时满足引理 1中的条件与条件(T3)B<0且B2-C2<0，则方程(5)当 t=tk时有且仅有一对纯虚根±ie0，其中

证明 设 l=ie(e>0)是方程(5)的根，则将 l=ie(e>0)代入方程(5)，并分离实部和虚部得：

上述两式平方相加得：

由引理条件易知，方程（6）有且仅有一个正实根 e0,此时方程（5）有一对纯虚根.

证明 对方程（5）两边同时对 t求导，得

进而，

所以，

由引理（2）中的假设条件（T3）B2-C2<0，有

所以有

综合引理 1-3以及文献[9]中定理 11．1可以得到系统（1）的稳定性与 Hopf分支周期解的存在性定理.

3 结论

本文讨论了一类具有比率的 HollingⅡ型功能性函数以及捕食者具有成熟时滞的食饵 -捕食者系统.从以上分析所得的结果可知，捕食者的成熟时滞可以改变系统的稳定性，导致系统的不稳定性.当捕食者的成熟时滞比较小时，食饵种群和捕食者种群的密度都稳定在系统的正平衡点附近，整个系统保持一种静态的稳定状态；而当捕食者的成熟时滞比较大时，两种群的密度将发生周期性的变化，系统将保持一种动态的平衡.

〔1〕吴春光.一类捕食者-食饵种群动力学模型及数值模拟[D].北京：中央民族大学理学院,2009.

〔2〕孟笑莹，邓飞其，彭云建.具有随机扰动的食饵-捕食系统的稳定性[J].系统工程与电子技术.2011,33(2):385-389.

〔3〕查淑玲,李艳玲.一类种内相食捕食系统非常数正解的存在性[J].计算机工程与应用，2010,46(27):62-65.

〔4〕赵廷芳,卢梦霞,赵汇涛.一类三种群 食物链模型 正平衡解的稳定性与 Hopf分 支的存在 性[J].河南 大 学 学报(自 然科学版)，2010,40(5):238-243.

〔5〕Nindjin A F,Aziz-Alaoui MA,Cadivel M.Analysis of a predator-prey model w ith modified Lesile-Gower Holling-type Ⅱschemes with time delay[J].Nonlinear Analysis:Real world Applications,2006,7(5):1104-79.

〔6〕张锦炎，冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题[M]．北京：北京大学出版社，2005.

〔7〕史红波.扩散捕食系统正平衡态的定性分析[D].兰州：兰州大学，2010.

TP273；O141

A

1673-260X（2014）08-0007-02

安徽财经大学校级科研项目(ACKYQ1229)；安徽省教育厅自然科学基金项目(KJ2011B002)