张乐

（武汉工程大学 邮电与信息工程学院，湖北 武汉 430073）

大学物理中矢量函数的微积分问题

张乐

（武汉工程大学 邮电与信息工程学院，湖北 武汉 430073）

矢量和微积分是大学物理中极其重要的数学方法，也是一种物理思维能力。本文主要讨论矢量和微积分的基本思想以及矢量函数的微积分的应用。

大学物理；矢量；矢量分析；微积分

一、引言

矢量和微积分的应用是学好大学物理的前提，它更严格地定义物理概念、表达物理规律。大学物理中，作为变量的物理量通常是以矢量函数表示。描述物理矢量的连续性变化问题必须应用矢量函数的微积分，这是大学物理学习的重点和难点。学生在学习过程中理解了矢量和微积分的思想和实质，反过来可以系统地掌握物理学的基本概念和基本规律，甚至形成整个物理学的知识框架和思维方法。

二、理解矢量的本质

在大学物理中，广泛应用矢量理论来研究物理概念和规律，它可以帮助人们研究物理量的方向变化问题。矢量理论主要包括矢量代数和矢量分析。但很多初学者都不能很好地理解矢量的本质，只是单纯地把矢量理解为“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代数和矢量分析的重要含义[1]。矢量代数的法则主要是平行四边形法则和矢量的点乘和叉乘。平行四边形法则是矢量的加法运算法则，主要用于离散分布的物理矢量的叠加问题。矢量的点乘可以得到一个标量，它广泛地应用于物理量的定义中，如磁感应强度与面积的点乘定义磁通量Φm，数学形式为d。矢量的叉乘反映三维空间中矢量的关系，两个矢量通过叉乘得到一个新的矢量，其方向遵循右手螺旋定则。如角动量的定义式物理中连续性问题用到矢量函数的定积分形式。

矢量分析就是在坐标系中把矢量函数进行正交分解，也就是把矢量函数转换为坐标轴上的标量函数。这样，矢量函数的求导和积分计算就转换成学生们所熟知的高等数学中标量函数的微积分问题。例如在直角坐标系中，位置矢量，则速度

学生要想学好大学物理就必须理解矢量的本质，掌握矢量代数和矢量分析。很多学生在物理形成标量运算的定式思维，忽略了矢量问题。主要问题有以下几点：（1）矢量函数作为变量，大小和方向都随时间变化。而有些学生在矢量函数的运算中忽略了方向变量所产生的问题。（2）在矢量函数的微积分计算中，矢量分析的思想要先把矢量函数进行坐标分解。但部分学生常常直接对矢量函数进行微积分运算。（3）在矢量点乘或叉乘的运算中，学生容易忘记两个矢量的夹角，这个夹角可能是变量，需要参与导数或积分的计算。

三、掌握微积分的思想

微积分广泛应用于物理问题的研究中，许多重要的物理规律都必须以微积分的形式来表示。微积分的主要思想和方法：把物理问题所研究的对象在时间或空间上进行分割成小量，对小量进行近似处理，这些近似处理在无限次分割的情况下趋近于物理问题的真实结果。这就是微分的思想，由无限分割所得到的小量称为微分元（微元）。而把这些无限小的微元进行连续性求和，就是积分。把物理对象分割成微元后，不均匀量变成均匀量，变量可看作常量，这样复杂问题就简单化。例如一般曲线运动的瞬时速度→（t）=，实质是把时间间隔进行无限分割，取微元Δt→0的极限，位移的微元Δ→也近似于位置矢量的微元d→。有部分学生不能正常理解微积分的基本思想和方法，不会取合理的微分元，不能把微积分应用与物理模型结合起来。

另外，矢量函数的微积分问题，必须结合微积分方法和矢量分析，这使得物理问题中的微积分的应用更有难度。这需要在大学物理教学中，通过具体物理模型的分析，使学生熟练地应用微积分方法分析物理问题，包括矢量问题。接下来，我们将以实例分析讲解大学物理中矢量函数的微积分的应用。

四、矢量函数的微积分的应用

大学物理中矢量函数的微积分问题虽然涉及的物理内容不同，但是利用数学方法解决问题的思维方式相同。其主要思路是：（1）根据物理问题，确定相应的微元；（2）建立合理的坐标系，用矢量分析的方法处理需要处理的矢量函数；（3）结合物理规律和公式，将物理模型转换为数学模型（在积分问题中，还需要确定积分上、下限）；（4）应用微积分的性质统一变量，进行计算。

矢量函数的微积分从选取的微元上来看可以分为两类形式：一是时间微元。这类问题较简单，其核心思想是矢量分析。因为根据物理学公式，很容易确定时间微元dt。例如冲量是力在时间上的累积效果。这些问题只需要学生们掌握物理公式的含义，并能选取合适的坐标系分解矢量函数，再解标量函数的微积分式。最后，对新得到物理量的各个分量式以平行四边形法则合成即可。二是空间微元。这类问题形式较多。空间微元分为线元、面元、体元，需要选择合理的微元。而且这类问题一般变量较多，需要统一变量。因此，解决这类问题必须综合利用矢量分析和微积分。以空间微元形式的微分问题，主要是以下三种运算法则：梯度、散度和旋度，在大学物理中的应用较少。而积分问题在力学和电磁学中都有很重要的应用，是学习大学物理的重难点。积分问题分为线积分、面积分和体积分。要想解决这类问题，学生必须具有扎实的数学基础和物理思维能力。因此，在课堂上充分利用经典物理模型，给学生总结解决问题的步骤和方法。加强对学生的思维方法和能力的培养，包括解决问题的数学能力。下面以动生电动势的经典模型为例介绍矢量函数的微积分的思维步骤和方法。

例[2]：如图所示，一长直导线中通有向上的稳恒电流I，在长直导线旁平行放置一线圈ABCD，AB边可在两导轨CE、DF上滑行，线圈靠近直导线的一边到直导线的距离为d，AB边长为a，当AB边以速度v匀速向下运动。求线圈中的感应电动势。

解：首先，BA边处于非均匀磁场中，空间磁感应强度分布由无限长通电直导线产生：根据动生电动势的定义式：，在BA导线上选取无限小的微线元d，其方向从B指向A。这样每个线元上d→的磁感应强度都可以视作均匀的。

其次，选取沿导线BA方向作x坐标轴，坐标原点在长直导线上。则线元d→上产生的动生电动势dε的大小表示为：其中，为矢量→和的夹角，θ2=0为矢量和线元的夹角。

第三步，在x坐标轴中，统一变量，并对整个BA导线在x轴上进行积分。确定积分上下限。综上分析，BA边上的动生电动势的数学公式表示为：最后，计算得到。并确定电动势的方向是从B指向A的。

在分析和求解这道题的过程中，重点是让学生掌握将物理模型转换为数学模型的思维步骤和方法。学生在高等数学中掌握的微积分知识，只能解决最后一步。前面三步的物理思维能力，是大学物理课程的重点。教师要在课程上引导学生从矢量分析和微积分的基本思想出发分析和解决物理模型。

矢量和微积分在大学物理中的应用是学习大学物理的一种思维能力。本文首先分析了矢量和微积分的基本思想和方法，再通过实例分析介绍大学物理中矢量函数的微积分问题的思维步骤和方法。以供学习者参考借鉴。

[1]熊青玲.大学物理中关于矢量的应用问题探讨[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黄祝明，吴锋.简明大学物理[M].上海：同济大学出版社，2013.

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1674-9324（2014）11-0108-02