王奋平

（1．南京师范大学 课程与教材研究所，江苏 南京 210097；2．琼州学院 理工学院，海南 三亚 572000）

中国和新加坡高中数学教材整体知识结构比较研究
——从中国和新加坡高中文科教材内容的视角

王奋平1，2

（1．南京师范大学 课程与教材研究所，江苏 南京 210097；2．琼州学院 理工学院，海南 三亚 572000）

对中国大陆和新加坡高中数学的系列教材从内容、知识点安排顺序、必修和选修等方面作出分析．新加坡教材内容按照不同知识模块编写教材：纯数学、力学数学、概率统计等模块，知识容量比中国教材小，但是系统性强，相同知识点难度更大，知识安排结构更加符合学生的认知规律，分为必修和选修两部分，对中国教材修改完善有一定启示．

新加坡高中数学教材；整体结构；设计

新加坡中小学学制比较复杂，根源于英国殖民地时期的特点，不同于中国大陆地区学制和学习内容．但是总体上看，小学分为两段，1-4年级第一段，5-6年级第二段，初中四年，初中结束后参加国家教育部门组织的O-Level（Ordinary Level）考试，然后一部分学生进入职业技术学院学习，另一部分学生进入初级学院（Junior Colleges）或大学先修中心（Centrailsed Institutes）．这两种学校相当于中国大陆的高中阶段，初级学院一般学制两年，大学先修中心学制一般也是两年，通过在这两种学校学习高中内容并参加A-Level（Advanced Level）考试，成绩达到各个大学录取要求分数后，即可申请进入大学学习．现在统计显示，大多数学生还是选择通过初级学院两年的学习参加A-Level考试而进入大学．在新加坡一般称为11-12年级．初级学院（以下简称为新加坡高中）学习内容分为两类供学生选择：人文类和科学类，相当于中国大陆的高中文科和理科．人文类学生学习内容主要包括：数学、英国文学、历史、地理、经济、戏剧、美术与设计、高阶中文、马来语、泰米尔语等．科学类学生需要学习：数学、进阶数学、物理、化学、经济、生物、英国文学、地理、历史、信息技术等．新加坡中小学使用的教材按照西方国家通行的商业化模式运作，任何个人或机构编写的教材只要能通过国家教育部门审核就可以向全国各个中小学推销．小学和初中教材的编写主要依据国家颁布的课程纲要（相当于中国课程标准）内容和知识结构格局，高中教材的编写主要依据A-Level考试大纲．和中国一样，新加坡采用多元化教材使用制度，教材质量是第一生命力，教材质量决定未来使用率．

1 研究材料和内容及研究方法

比较中国大陆人教版高中数学教材（2007年2月第三版）和新加坡EPB Pan Pacific 2006年首次出版2008年重印的高中数学A-Level数学第一卷（Volume1）和第二卷（Volume2）教材数学内容整体知识结构，发现共性和差异，提出对中国教材完善的设想．

比较教育学中常用的内容分析法、同类比较法、横向比较法和结构比较法相结合，研究两国数学教材内容，通过对照列举两国高中数学教材具体内容，分析两国高中数学教材相同或相似内容模块知识的知识范围异同、各知识点顺序安排异同等．这里只对两国教材整体知识内容结构做质性对照比较，不做量化比较研究．

2 中国和新加坡高中教材主要内容

新加坡高中数学学习内容分为3类：数学1，数学2和高级数学．数学1主要针对准备报考文、法、商专业的学生开设，此课程为文、法、商专业学生选修内容，主要内容为纯数学和概率统计．数学2主要针对准备报考理工科专业的学生开设，此课程为理工科专业学生必修内容，主要内容为纯数学、力学数学和概率统计，从新加坡高中A-Level大纲内容看，很明显，数学2学习内容范围比数学1更广泛．高级数学也是针对准备报考理工科专业的学生开设，此课程为选修内容，主要内容为纯数学、力学数学和统计，但是内容难度和广度都要高于数学2．数学2学习内容范围涵盖了数学1学习内容，而高级数学深度大于数学1、数学2，提供给能力卓越的学生继续学习．这里仅就新加坡EPB Pan Pacific（2006版）教材数学1内容（以下称为新加坡教材）和中国高中数学教材人教版（2007版）文科生学习内容（以下称为中国教材）加以比较研究．

新加坡高中教材按照内容分模块编写，中国、新加坡高中文科数学主要内容和分类如表1所示．

从表1所列两国教材内容看，中国教材中的欧几里得立体几何内容、算法语言内容和不等式内容在新加坡文科教材中没有看到，中国高中文科学生除了学习表1所列必修内容外还需要选修的内容包括：选修1-1第一章 常用逻辑语言（命题及其关系、充分条件和必要条件、简单逻辑连接词、全称量词和存在量词），选修1-2第二章 推理与证明（合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明），选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入（复数概念、复数的四则运算），选修1-2第四章 流程图和结构图，上述内容也称为“必选”内容，对打算参加高考的文科学生来讲实际上也是必修内容．这些内容在新加坡文科教材中都没有看到，不属于强制学习内容范围．新加坡教材中也没有中国教材中必修的解析几何内容，但是却有中国必修教材中没有发现的矩阵内容．

表1 中国和新加坡高中数学必修内容一览表

用算法估计2的值；用excel解决线性规划问题必修5 用T1-84计算器研究数学；公式列举和统计表；最小二乘线性回归的证明；两套考试题及答案；两套考试题及答案附录4附录5附录6附录7附录8空间几何体（空间几何体的结构、空间几何体三视图和直观图、空间几何体的表面积和体积），点、直线、平面之间的位置关系（三者之间的位置关系、直线和平面平行与垂直的判定和性质）必修2第一章第二章算法初步（算法与程序框图、基本算法语句）必修3第一章不等式（不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法、一元二次不等式与简单线性规划、基本不等式）必修5第三章

根据新课程标准要求：中国大陆高中文科学生必须修满必修5个模块的数学内容，然后还需要选修1-1和1-2两个模块的内容，学有余力的学生还可以继续选修更加宽广的数学知识模块，增加学分的同时，也增加被更好的高校录取的机会．新加坡高中数学文科考生只学习纯数学和概率统计，学有余力的资优同学可以继续选修高级数学模块的内容，以提高被名校录取的机会，高级数学包含的主要内容见表2：

表2 新加坡高中高级数学内容一览表

新加坡高中文科数学必修内容只有两个模块：纯数学和概率统计，两个模块分别编写成一本书．选修的高级数学内容独立编写成一本书．中国教材5本必修教材，2本必选教材，一共7本书．中国学生如果想继续学习数学可选模块内容，知识范围就更加广泛，教材数量也更多．

中国教材对利用信息技术处理数学问题的内容用“阅读材料”方式附在相关章节后，而新加坡教材将利用信息技术处理数学问题的内容用附录形式附在教材最后．都不是必修内容，不过中国教材随时跟在相关知识后面学习信息处理的方法，应该更加有利于学生学习和记忆．新加坡教材将信息技术处理数学问题集中安排在书后，一方面不容易引起学生及时注意使用信息技术，另一方面，如果教师在学完全部内容后集中学习信息技术处理数学的知识，也容易引起学生对前面学习知识的遗忘．

3 中国和新加坡高中教材主要内容和知识结构分析

3.1 中国和新加坡两国文科教材内容整体知识结构顺序有所不同

从表1可以看到，新加坡教材所有数学知识分为两大模块：“纯数学”和“概率统计”．纯数学内容包含代数与函数、数列、向量、复数与解析几何、微积分，“三角函数”属于阅读选学内容，学生自主确定是否学习，所有内容按照代数与函数→数列→向量→复数与解析几何→微积分→概率统计”顺序排列．中国教材中知识按照具体知识点划分，编排顺序为：集合与函数→立体几何→直线与方程→算法语言→概率统计初步→三角函数→平面向量→进阶三角函数→数列→不等式．数与代数内容是基础，两种教材均安排该内容在第一章，概率统计相对独立，在两种教材中均居于最后学习．

3.2 中国教材必修和必选内容比新加坡教材必修内容知识面宽

从表1和表2内容看，两国教材数学内容都包括纯数学内容：函数、函数图形及其图形转换、数列与级数、向量、三角、微分、积分等．概率统计内容：概率、离散型概率分布、二项分布、泊松分布、连续型概率分布、正态分布、抽样、估计、假设检验、相关和回归等；各个模块各自独立编写成书．既相互独立，同时纯数学内容又是其他数学模块知识的基础，但是中国教材中很多内容在新加坡教材中没有看到，例如不等式、算法语言、欧氏几何内容等．

3.3 新加坡教材知识呈现“直线型”模式而中国教材知识是“直线式”和“螺旋式”相结合模式

世界各国教材对同一知识点内容的安排一般分为“直线型”和“螺旋式”两种．中国中小学数学相同知识点内容的安排一般遵循难度“螺旋式”上升的模式，各个年级陆续安排难度逐步上升的同一模块内容，但是人教A版教材文科必修+必选内容除了三角内容外，其余的也基本上是“直线式”安排的．新加坡教材中同一模块知识点的安排一般遵循“直线式”安排，一次性学完，这种安排方式和英国高中数学教材相似．新加坡纯数学教材内容主要有：代数与函数→数列→向量→复数→微积分→三角，而概率统计教材内容安排顺序是：古典概型→抽样和检验→相关和回归．每个模块内容一次性全部学完，这种模式也是西方国家传统的现在还比较普遍使用的教材编排方式[1]．

3.4 新加坡教材中数学内容比中国教材相同知识点知识堆积程度更加紧凑但难度也更大

中国教材知识面广而浅而新加坡相同知识内容比中国教材更加深刻，难度也更大．例如新加坡教材概率统计内容中有较多的假设检验方面的知识，包括卡方检验和t检验等难度较大的内容，这是中国教材没有的．新加坡教材导数内容包含马克劳林（Maclaurin）级数和微分方程这些中国教材中没有出现的较为深刻的微积分内容，第三模块中三节就包含了“二维和三维空间的向量，数量积和矢量积，向量和三维向量几何”等内容．中国教材五节内容却只学习了平面向量，这个特点可能是继承了新加坡原宗主国英国的高中数学内容安排模式特点[2]．

3.5 新加坡教材把复数和点的轨迹结合在一起学习

从表1内容可以看到，新加坡文科学生并不单独学习点的轨迹内容，而是把点的轨迹结合在复数在复平面内对应点的轨迹中来学习，因为新加坡文科学生根本不要求学习解析几何内容，而中国教材中却有专门的两章内容来学习解析几何内容，包含直线和圆的方程以及一般轨迹方程的求法，这里面包含轨迹内容．中国教材中对复数的学习虽然单独学习但是内容较少，将原来旧大纲教材中的解复数方程、复数三角形式、求实数n次方根都删除了[3]．

3.6 新加坡文科教材不学习欧几里得几何内容和解析几何内容而中国教材继续继承了该传统内容

从表1内容可以看到，新加坡文科学生并不学习欧几里得几何内容，这可能源于其英国殖民地时期形成的英国特色的中学数学内容特点．因为欧洲在20世纪60年代发生过“新数运动”，提出“欧几里得滚蛋”，倡导在中小学数学中剔除平面几何和立体几何等传统的欧几里得几何内容．中国在此次新课程改革过程中也弱化了对欧几里得几何内容的学习，但是还是保留了最基础的内容．欧几里得几何对工程设计专业的学习还是有很大帮助的，因此完全剔除欧几里得几何内容也许不一定是明智的选择．而且新加坡教材中没有看到的解析几何内容，在欧、美国家的高中数学教材中也很少看到．

3.7 两国教材中信息技术处理数学问题均不是必修内容

从中、新两国教材看，中国教材对信息技术处理数学问题的内容用“阅读材料”方式附在相关章节后，而新加坡教材将信息技术处理数学问题的内容用附录形式附在教材最后．都不是必修内容，但是中国教材的该部分内容比较简单，而新加坡教材对该内容的阐述和必修内容几乎没有两样，很是细致入微，有利于学生自学[4]．

3.8 新加坡教材通过学习力学数学来引导学生学习运用数学解决实际问题

从表2中看到，新加坡理科学生可以通过学习物理中的力学来学习数学应用.“数学是自然科学的钥匙”，物理是最古老、最典型的应用数学解决自然界各类问题的学科之一．新加坡继承了英国通过学习力学数学培养学生应用数学解决问题能力的一贯方法．实际上，力学数学的学习也引导学生理解了数学的实质，中国20世纪90年代的旧教材很大程度上继承了前苏联学习数学的方法，单纯就数学学数学，符号化、形式化程度较高，此次新课程改革后，中国新数学教材中出现了不少应用数学解决实际问题的例子，但是这些内容都是零散而不系统的．新加坡教材在学习力学数学过程中，从函数到微积分到向量到复数等各个知识点，在力学中学习过程中对上述内容的应用，十分广泛．

3.9 中国教材允许教师灵活配置选修内容的学习顺序

中国教材对高中数学内容各知识点允许授课教师在学习过程中根据学生实际和个人体会主动变更学习顺序，不同的教师对知识点顺序各有特点．部分学校数学教师对必修内容采用1-4-5-2-3的学习顺序，还有学校将数学史内容放在高一学习，这样的灵活安排方式给教师根大的自主权，但是也对教师能力和知识水平提出很高的要求．新加坡教材依据考试大纲编写，直线型编写，调整顺序的意义不大．也没有给予教师如此宽泛的权利，教师要根据教材中已经安排好的顺序按部就班地教学．

3.10 新加坡教材非常重视概率统计内容的学习

仅仅从内容看，新加坡教材概率统计专门独立编写成书，273页的泱泱巨著，几乎涵盖了概率统计的所有基础知识，而中国所学概率统计无论从概念数量还是与新加坡教材相同内容的学习数量均远远少于新加坡教材．或许因为中国教材必修内容中没有学习积定分而影响了概率统计的学习，因为连续性随机变量的密度函数以及概率的学习需要定积分知识的基础．中国教材虽然通过减少学习内容满足了减轻学生学习负担的目标，但是，是否又同时失去了知识的完整性和系统性[5]？减少教材知识量是否真的能调动教师备课前的主动性和学生自学及探究精神？

4 启 示

4.1 新加坡高中数学教材知识堆积紧凑而系统的特点值得学习借鉴

从新加坡教材各个知识点的呈现特点看，新加坡教材更加紧凑而系统，同一知识点聚集了比中国教材更多的相关知识，这样的安排方式应该有利于学生更加深入理解相关知识点的实质和扩大对该知识点的认知范围．中国教材总体上看知识的堆积和关联程度还是相对松散，新加坡继承了英国这样的老牌发达国家几百年积累的数学教育经验，编写的教材应该有其独特的适合中学生学习和持续发展的内在优势．新加坡数学教材被美国加利福尼亚州中小学全套采用就是该国教材编写成功的一个佐证．

4.2 中国教材内容应该增加概率统计中假设检验内容以及三维向量几何内容

概率统计和向量、微积分等实用性很强的内容占较大份量是新加坡教材最大的特点，更加体现出学习“有用的数学”的特点．中国大陆在数学新课程标准中曾经一度提出要学生“学习有用的数学”，目标很明确：提高学生应用数学解决问题能力，此次修订课程标准虽然去掉了这个明确的提法，但是基本思想没有变，培养学生应用数学能力是现在各个国家课程标准或教学大纲中普遍体现的观点，这个目标首先要体现在学习内容的变化上．假设检验在实际生活和生产中有广泛的用途，对学生今后继续深造学习工程技术、经济管理、社会学研究等均有很好的基础作用，三维几何是工程学科、物理等的基础工具课程，因此这些内容可否按照选修的方式增加到高中教材中值得思考．

4.3 教材编写应该更加注重吸收大学或研究所数学研究人员参与

知识的系统性和科学性是教材建设的生命，只追求降低难度，缺乏教材全部内容和相关知识点之间的系统性和整体性，表面上减少了知识点，实际上因为知识系统性和关联性降低，反而增加了教材的难度．中国学生普遍感觉数学比较难学，所谓“学好数理化，走遍天下都不怕”正是中国学生对数学难学的心理写照，但是在西方国家很少听学生说数学难学[6]．华人数学家丘成桐认为：中国学生认为数学难学，主要是因为课程（这里包括教材和课程标准在内）问题造成的．教材编者应该包括中小学经验丰富的一线教师、大学从事数学教育研究的学者，还需要数学家对教材的整体知识系统性、严谨性和科学性把关．同时应该延长新教材实验周期，经过实验并不断修订完善后的教材方可推广至全国使用，切忌急躁、盲目扩大新教材适用范围，以免造成负面效果后再走回头路，当然也不能因噎废食，裹足不前，造成“行百里者半九十”的遗憾[7]．

4.4 中国教材允许教师灵活配置选修内容的学习顺序比新加坡教材更有利于发挥教师的能动性和调动积极性

一线中学教师对各个知识点顺序的理解来源于自身对高中数学整体知识结构的不同理解及教学经验的影响．给教师主动配置知识点顺序的权利有利于增强教师的受尊重感和受信任感，提高教师对自身知识水平和教学能力的自信，激发教师教学创造性，从而提高学生对数学知识的学习效率，这种做法值得提倡，但是条件是教师本身具有较为扎实的数学专业素质和掌握基本的教育、教学技能是基础．新加坡教材相对比较保守，可能受殖民地时期英国传统教育思想的影响．

[1] 康玥媛，Fritjof Sahlström．芬兰高中课程改革及高中数学课程标准评介[J]．数学教育学报，2013，22（4）：11-15．

[2] 王奋平．中、英高中数学教材复数内容比较研究[J]．数学教育学报，2011，20（6）：51-55．

[3] 王奋平．中、英高中数学教材比较研究[J]．数学教育学报，2011，20（4）：83-86．

[4] 宁连华，崔黎华，金海月．新加坡高中数学课程标准评介[J]．数学教育学报，2013，22（4）：1-5．

[5] 王奋平．中、英高中教材概率统计内容比较研究[J]．数学通报，2011，（5）：32-36．

[6] 李娜，曹一鸣，Lyn Webb．南非国家高中数学课程与评价标准评介[J]．数学教育学报，2013，22（4）：6-10．

[7] 王奋平，孔凡哲．中、英高中数学教材比较研究[J]．中学数学教学参考，2012，（7）：35-37．

Comparative Studying of Mathematics Textbooks Whole Knowledge Structure of the High School between Singapore and China from the Perspective of Liberal Arts School Textbooks of China and Singapore

WANG Fen-ping1,2
(1. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 2. Physics and Engineering College of Qiongzhou University, Hainan Sanya 572000, China)

Analysing the mathematics textbooks of the high school of China and Singapore, on the content, knowledge point arrangement, compulsory and elective made, and so on. Singapore textbook contents are designed according to the different knowledge module textbooks: pure mathematics, mechanics and mathematics, probability statistics module, knowledge capacity are smaller than the Chinese textbooks material, but the system is strong, the same knowledge points are more difficult, more fitting with the knowledge structure of students’ cognition, Singapore textbook contents is divided into compulsory part and elective part. It have some enlightenment to Chinese textbooks revising and improving.

high school maths textbooks of Singapore; integer structure; design

G421

：A

：1004–9894（2014）02–0014–05

[责任编校：周学智]

2013–11–10

全国教育科学规划2010年度中小学数学教育研究专项课题——中小学数学课程核心内容及其教学的研究（GOA107010）；全国教育科学“十二五”规划2012年度单位资助教育部规划课题——高中数学教科书整体知识结构国际比较研究（FDB120423）；海南省教育科学“十二五”规划2011年度课题——黎族地区中学数学教学改革经验与案例实证研究（QJM112501）

王奋平（1971—），男，甘肃凉州人，教授，南京师范大学在读博士，主要从事跨国文化数学教育研究．