何基龙

（浙江理工大学数学研究所，杭州310018）

具有分段有界变差系数的三角级数的一个性质

何基龙

（浙江理工大学数学研究所，杭州310018）

将Leindler定理的条件推广到分段有界变差数列（PBVS）中。当正弦级数的Fourier系数满足分段有界变差条件时，结合最佳逼近的定义，运用分段讨论方法，在Lp2π范数下研究得到正弦级数的最佳逼近与Fourier系数之间的关系式，并对关系式进行了证明。

三角级数；分段有界变差数列；Fourier系数；最佳逼近

0 引 言

在三角级数的一致收敛性与Fourier级数的L1收敛中，单调性条件的推广得到了如下的结果，详细定义可见文献［1］：

上面结果最近被推广到了NBVS中并且得到了与上面一样的结果，但无论是RBVS还是NBVS都要求系数是非负的［2］。一些研究者也研究了系数不一定是非负时的收敛问题，Telyakovskii［3］考虑了具有罕变系数的级数收敛问题。周颂平教授等最先使用有界变差的概念，得到了许多的结果，例如在三角级数的一致收敛与可积性方面的研究［4］。

下面给出分段有界变差数列的定义（piecewise bounded variation sequence），简记PBVS。

定义［4］设｛nk｝是一个满足Hadamard条件以及n1=1的缺项级数，即存在一个正常数δ，使得

一个数列λ=｛λn｝被称为分段有界变差数列（PBVS），以记号λ∈PBVS表示，如果它满足n0=0并且对于nm-1＜n≤nm，m=1，2，…满足下列条件（A）或（B）之一：

（A）存在一个仅依赖于λ的正常数C（λ），使得

（B）存在一个仅依赖于λ的正常数C（λ），使得

显然上面的定义就包括了在［nk-1+1，nk］上保号且其绝对值为非负递增（递减）的数列必定满足（A）或条件（B）。

本文把Leindler定理中的条件推广到PBVS中，得到了最佳逼近与Fourier系数之间的关系。文中C总表示一个正常数，不同场合可能不同。

1 结论与引理

引理1［1］若｛λn｝∈PBVS，则对所有j≥1，有

引理2［1］设｛λn｝∈PBVS，若对于某个固定非负整数s及ns+1≤n≤ns+1，λn满足条件（A），则有

以及

特别

若对于某个固定非负整数s及ns+1≤n≤ns+1，λn满足条件（B），则有

以及

特别

引理3［5］若p≥1，αn≥0，λn＞0，n=1，2…时，有：

2 结论的证明

定理1的证明：记Dn（x）=（x∈（0， π］），则，｛an｝属于PBVS，由Abel变换和引理1、引理2知，设nj＜n+1≤nj+1时，得到

如果对于nj＜n+1≤nj+1，｛an｝满足（A）或条件（B）时，都有

则

因为

得到

则

结合I1与I2得

则

结合上面结果分别求得

由Holder不等式知

因此

再由PBVS的定义，且对某个μ≥0，有nμ＜m≤nμ+1，m≥n+1于是

由前面知

代入J2得

其中在文献［6］中已经证明了

同样地由引理3与J1中后半部分的证明得到

结合J1与J2得到结论

得证。

［1］周颂平.三角级数研究中的单调性条件：发展与应用［M］.北京：科学出版社，2012.

［2］周颂平，乐瑞君.单调性条件在Fourier级数收敛性中的最终推广：历史，发展，应用和猜想［J］.数学进展，2011，40：129-155.

［3］Hardy，Littlewood.Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive function［J］.J Fur Math，1927，157：141-158.

［4］周颂平，虞旦盛，周 平.有分段有界变差系数的三角级数［J］.数学学报，2008，51：633-646.

［5］梅 颖，韦宝荣.关于Leindler的两个定理的推广［J］.浙江大学学报：理学版，2009，36：620-626.

［6］Leindler.Best approximation and Fourier coefficients［J］.Anal Math，2005，31：117-129.

A Property of Trigonometric Series with Piecewise Bounded Variation Coefficients

HE Ji-long
（Institute of Mathematics，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

When Fourier coefficient of sine series meets bounded variation condition，this paper generalizes the conditions in Leindler theorem to piecewise bounded variation sequence（PBVS），obtains the relational expression of optimal approximation and coefficient of sine series through research under Lp2πnorm with piecewise discussion method in combination with the definition of optimal approximation，and proves the formula.

trigonometric series，PBVS（piecewise bounded variation sequence），Fourier coefficient，best approximation

O174.2

A

（责任编辑：马春晓）

1673-3851（2014）01-0094-04

2012-06-01

何基龙（1989-），男，安徽马鞍山人，硕士研究生，主要从事构造性分析与逼近论的研究。