仇圣国

(扬州市江都区丁沟镇麾村小学，江苏扬州，225236)

数学发展模型思想之我见

仇圣国

(扬州市江都区丁沟镇麾村小学，江苏扬州，225236)

数学模型是为了解决一定问题，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼、概括出来的原型的替代物，模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。这就要求教师能引导学生经历自主的建模过程，感悟数学的思想与方法，促进学生数学智慧的生成与积淀。

数学；发展模型；建模

数学模型指根据所观察到的现象及其实践经验，归纳成的一套反映对象某些主要数量关系的数学公式、逻辑准则和具体方法。这种科学方法常用来描述对象的变化规律。与《义务教育数学课程标准(实验稿)》提出的“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”的基本模式相比，《义务教育数学课程标准(2011版)》建立模型思想的要求更为明确:教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。作为教师，我们应该从哪些方面来运用数学模型思想呢?

一、丰富表象，提炼模型

数学本是对现实生活和一种抽象，而数学模型更是多次抽象后的结果，这就使之离学生有了一定距离。教师教学要缩小“认识起点”与“数学模型”之间的距离或者搭起两者之间的桥梁，促进学生数学模型思想的发展。

(一)借助实物、基本图形建立表象

小学生的形象思维优于抽象思维，把抽象的数学变形象，教师可以借助学生生活中常见形象的物体图形等丰富学生的表象，表象越丰富，知识的构建就越容易。

(二)借助抽象的数学图形建立表象

“形象”，除了眼前可见的事物之外，还包括学生头脑中经由具体事物抽象得到的表象。学生在数学中遇到的困难，有时是因为学生对于文字描述数量关系理解上的偏颇——难以理解或把握不住要点，无法对其形成准确而鲜明的表象。这时可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表达的数学本质通过图示(图形、图表等)的方式形象表示出来，给抽象的数学披上形象的外衣，从而化繁为简，提炼模型。

如苏教版五年级下册《解决问题的策略——倒推》，学生对如何使用倒推策略有点搞不清，如计算的先后顺序以及计算的方法相同还是相反总会出现一些错误。如何让学生的认知突破“繁杂”，回归“简洁”?在倒推数学模型的建构中，我们可以借助流程图，清楚地表示把数量变化的表象。例:小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张邮票?可以先顺着思路画出变化流程图，再根据此图从后向前倒推出小军原来的画片的张数，所以小军原来有52张画片。有了这样的流程图，学生建构起倒推流程变化的数学模型，数量关系一目了然，为学生运用倒推的策略提供了数学化的思维过程，特别是对于一些数量关系较复杂的题目，更能起到化繁为简、化难为易的效果。

二、类比转化，迁移模型

小学数学的学习主要包含两类，一类是应用归纳推理的概括学习，如新内容，新领域、新概念等，另一类是应用类比等逻辑推理的迁移学习，即学习是从已知迁移到未知或从旧知识推出新知识再加以建构的过程。看似不同的内容，看似纷繁的现象中，其实往往又蕴涵着相同的东西。对于相似结构的数学内容的学习，转化迁移的方法用得特别多。教师可以通过对问题情境有的放矢，促使学生转换思路，灵巧地利用已有知识迁移出新的数学模型。

如苏教版五年级上册《梯形的面积》，之前学生已经学过平行四边形和三角形等图形的面积计算公式及推导方法，可以放手让学生探索，将梯形转化成平行四边形、长方形、三角形，迁移出梯形面积的计算方法。

三、发现异同，拓展模型

拓展模型是对模型深度应用的又一次提高。如果说前面的各环节是完成从现实到情境到数学问题的抽象、提炼，那么本环节可以看做是抽象数学知识之间的拓展、重塑、再创造。教师鼓励学生比较其中的异同，展开思考，构建出更具体的模型。

如苏教版四年级上册《找规律——间隔》，教材的第一个例题，让学生建立“两端物体的个数比中间物体的个数多1”这一间隔现象中的基本数学模型。其实，在间隔排列现象的物体中，由于条件的不同，模型也不完全相同。上面的情境中隐含了“两种物体间隔地排成一排，而且两端物体都相同”这一条件，如果把两端物体的摆放规则改变，模型也要跟着改变。这就需要学生能根据具体情况拓展出的其他数学模型。如“一条走廊24米，每隔3米放一盆花，要放多少盆花?”先让学生动手思考，两端都放与两端不放一样吗?学生通过画图可以发现:24÷3＝8(个)，如果两端都放的话，要放8＋1＝9(盆)；如果两端都不放的话，要放8－1＝7 (盆)；如果只放一端的话，放的花的盆数与间隔数相等，就是9盆。根据之前发现间隔现象的基本模型，可以拓展为三种情况:①两端都放:花的盆数＝间隔数＋1；②两端都不放:花的盆数＝间隔数－1；③只放一端:花的盆数＝间隔数。继续拓展下去，如果这条走廊是环形的话，相当于把两端连起来，与上面的第三种只放一端类型是一样的。这样，根据情境先发现基本模型，再运用这一模型解决问题时拓展出其他模型，加深了对建立模型的理解，促进模型的内化。

用建模思想指导数学教学，不仅仅是为了让学生获得数学模型，而更是要帮助学生从系统化的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界，更为重要的是，让学生有效经历自主知识建构的过程，同时自觉养成“模型化”处理数学问题的思维习惯与数学观念，真正感受数学的内在魅力，成长为富于数学智慧的人。

[1] 教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社，2011.

[2] 唐剑岚，周莹，黄国文.初中生数学认识信念量表的数学模型[J].广西师范大学学报:自然科学版，2007 (3).

[3] 张劲松.数学模型与数学教学[J].课程·教材·教法，2008(3).

G633.62

A

2095－3712(2014)12－0066－03

仇圣国(1979—)，江苏扬州人，本科，扬州市江都区丁沟镇麾村小学教师，小学高级。