陈涛+隋莉莉+吴焕欣

摘 要： 提出了零陷展宽对角载入算法，该算法既解决了干扰在快速运动时，干扰零陷过窄的问题，又解决了协方差矩阵误差和导向矢量误差存在时，算法稳定性变差的问题。同时，通过对角载入因子和采样协方差矩阵间的关系确定了对角载入算法载入因子的值。计算机仿真结果表明该算法有很好的稳健性，以及较宽的零陷。

关键词： MVDR； 导向矢量； 采样协方差矩阵； 零陷展宽； 对角载入； 载入因子

中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）07?0064?04

Null broadening and diagonal loading algorithm

CHEN Tao， SUI Li?li， WU Huan?xin

（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The null broadening and diagonal loading algorithm is proposed， which not only addresses the problem of narrow nulls as the interference in the fast movement condition， but also solves the problem of the bad algorithm stability as the error covariance matrix and steering vector errors existing. Meanwhile， diagonal loading factor values of the algorithm are determined based on the relationship between sample covariance matrix and diagonal loading factor. The computer simulation results show that the algorithm has good robustness， as well as broadening nulls.

Keywords： MVDR； steering vector； sample covariance matrix； null broadening； diagonal loading loading factor

0 引 言

波束形成技术被广泛地应用在雷达、无线通信领域[1?4]。其中，MVDR自适应波束形成算法，因具有良好的分辨率和干扰抑制能力，被广泛的使用。MVDR算法一般假定期望信号的导向矢量是精确已知的，但在实际中，由于指向误差、阵元位置误差以及各阵元特性不一致等因素影响，假设的期望信号导向矢量可能不完全准确，与真实值之间有失配误差，从而导致MVDR算法性能急剧下降[5]；同时在窄带条件下，MVDR算法在干扰方向形成的零陷较窄，当出现快速移动的干扰时，由于自适应权值的收敛速度比不上干扰的移动速度，在干扰方向不能形成有效的零陷，从而使MVDR算法失效。采用零陷展宽算法——协方差锥化（CMT）[6?7]法在干扰方向形成较宽的零陷，能有效地抑制快速移动的干扰。但是，由于实际环境中存在各种误差， 协方差锥化法在实际使用中往往不能得到预期的结果。 因此，寻找出一种既对各种误差有较强稳健性又对快速运动的干扰有抑制性的自适应波束形成算法是非常紧迫的。

近几十年来，为了增强在各种误差下自适应波束形成算法的稳健性[8]，学者们进行了大量的研究。其中，特征空间（ESB）算法、线性约束最小方差（LCMV）算法以及对角载入（LSMI）法是最具有代表性的算法。ESB算法[9]收敛速度比较快，但它需要准确估计出信号子空间的维数；LCMV算法通过适当的约束条件，控制某些方向波束的增益，使自适应波束满足一定的稳健条件，但它只适合用在观察方向出现失配时的情况；LSMI算法是一种简单有效的方法，但是载入因子难以确定[10?11]。

本文针对MVDR算法在各种误差下的性能下降及干扰快速变化时算法失效的问题，将对角载入算法与零陷展宽算法结合在一起，提出了零陷展宽对角载入算法。同时根据载入因子与采样协方差矩阵间的关系来确定载入因子。零陷展宽对角载入算法利用对角载入算法提高波束形成对系统误差的稳健性，同时利用零陷展宽算法能在干扰方向形成较宽的零陷，解决了干扰快速移动时，算法失效的问题。

1 传统算法描述

1.1 阵列信号模型

在窄带条件下，考虑[M]元均匀线阵，[D]个互不相关的信号。其中，期望信号波达方向是[θ0，][D-1]个干扰信号的波达方向分别是[{ θ1，θ2，…，θD-1 }，]有[M>D]。

第[l]个阵元端接收的信号为：

[xl（t）=i=0D-1si（t）e-j2πλ（l-1）dsinθi+nl（t）] （1）

式中：[si（t）]为信号的复包络；[λ]为信号的波长；[d]为阵元间距；[nl（t）]为第[l]个阵元上均值为0、方差[σ2n]为1的白噪声。

阵列接收的信号表示成向量的形式为：

[X（k）=AS（k）+n（k）=s0（k）a（θ0）+i（k）+n（k）] （2）

式中：[X（k）=[X1（k），X2（k），…，XM（k）]T]为接收向量；[A=][[a（θ0），a（θ1），…，a（θD-1）]]为阵列流型；[a（θi）]为信号[i]的导向矢量；[S=[s0，s1，…，sD-1]T]为信号源；[a（θ0）]为期望信号的导向矢量；[s0（k）]为期望信号；[i（k）]为干扰信号向量；[n（k）]为噪声向量。

阵列输出为：

[y（k）=wHX（k）] （3）

式中：[w=[w1，w2，…，wM]T]为权重向量，[（?）T]表示矩阵的转置，[（?）H]表示矩阵的共轭转置。

1.2 MVDR波束形成算法

MVDR波束形成算法使干扰和噪声受到抑制而在阵列输出中的功率最小，又能使期望方向上的信号功率保持不变。其代价函数为：

[minwHRxw subject to wHa（θ0）=1] （4）

式中[Rx=EX（k）X（k）H]为接收信号的协方差矩阵。

利用Lagrange乘子算法求出最优权重向量为：

[wopt=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （5）

在实际应用中，[Rx]一般难以得到，往往用采样协方差矩阵[Rx]代替[Rx，]假设快拍数为[K，]则：

[Rx=1Ki=1KX（i）XH（i）] （6）

此时MVDR波束形成算法又称采样协方差矩阵求逆（SMI）算法，则SMI算法的权重向量为：

[wSMI=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （7）

从式（5）可看出在MVDR算法中，需要精确知道期望信号的导向矢量以及接收信号的协方差矩阵。然而，在实际中，由于指向误差、阵元位置误差以及各阵元特性不一致等因素影响，使得导向矢量存在误差，同样，在实际应用中，接收数据是有限长的，因此采样协方差矩阵[Rx]代替接收信号的协方差矩阵[Rx]也会产生一定的误差。导向矢量和协方差矩阵误差使得MVDR算法的性能下降，尤其在接收数据中包含期望信号时，算法的稳健性更差。

除此之外，在窄带条件下，MVDR算法在干扰方向形成的零陷较窄，当出现快速移动的干扰时，由于自适应权值的收敛速度比不上干扰的移动速度，在干扰方向不能形成有效地零陷，从而使MVDR算法失效。

针对MVDR算法在存在导向矢量误差、协方差矩阵误差，以及存在快速运动的干扰时，算法稳健性变差和干扰零陷过窄的情况，本文提出了一种稳健的MVDR算法——零陷展宽对角加载算法。

2 稳健的MVDR算法

2.1 零陷展宽对角载入算法

零陷展宽对角载入算法是把零陷展宽算法和对角载入（LSMI）算法相结合形成的一种稳健的自适应波束形成算法。该算法解决了干扰在快速运动时，干扰零陷过窄的问题，又解决了协方差矩阵误差和导向矢量误差存在时，算法稳定性变差的问题。因为该算法具有零陷展宽算法能在干扰方向形成较宽零陷的特点，又具有LSMI算法具有较高的稳健性的特点。

LSMI算法是用对角载入的协方差矩阵代替常规的采样协方差矩阵，即：

[Rdl=Rx+ξI] （8）

式中[ξ]为对角载入因子。

CMT零陷展宽算法是通过一个锥化矩阵[TMZ]对采样协方差矩阵[Rx]进行扩展。扩展后的采样协方差矩阵为：

[RMZ=Rx?TMZ] （9）

式中：“[?]”为Hadamard积，[TMZ]第[m]行[n]列的元素可表示为：

[[TMZ]mn=sin（（m-n）Δ）（m-n）Δ] （10）

式中[Δ]为零限展宽参数。

通过式（8）和式（9）可得到零陷展宽对角载入算法的协方差矩阵[RC-T，]即：

[RC-T=RMZ+ξI] （11）

零陷展宽对角载入算法权向量为：

[wCMT-LSMI=R-1C-Ta（θ0）a（θ0）HR-1C-Ta（θ0）=（RMZ+ξI）-1a（θ0）a（θ0）H（RMZ+ξI）-1a（θ0）] （12）

从式（12）中可以知道零陷展宽对角载入算法需要知道期望信号的导向矢量、扩展后的采样协方差矩阵[RMZ]以及对角载入因子[ξ。]但是对角载入因子[ξ]一般很难确定，而且对角载入因子的大小会影响自适应波束的效果。当载入因子过小时，波束旁瓣的高度不能有效的控制；当载入因子过大时，对干扰抑制效果的灵敏度会有所影响。针对以上情况，本文提出一种动态的确定对角载入的方法。

2.2 确定对角载入因子

首先，对协方差矩阵[Rx]进行特征分解，可写成如下形式：

[Rx=i=1Dσ2iuiuHi+σ2nI=AΛAH+σ2nI] （13）

式中：[σ2i]代表第[i]个信号的功率，[ui]是[Rx]特征值对应的特征向量；[Λ=diag[σ21，σ22，…，σ2D]]为对应信号的功率构成的对角矩阵。

采样协方差矩阵[Rx]和真实的协方差矩阵[Rx]之间的关系：

[Rx=Rx+εE] （14）

式中：[E]是均值为0，方差为1的矩阵；[ε]是个大于零的常数，表示采样协方差矩阵[Rx]的估计误差。

对角载入后的协方差矩阵为：

[Rdl=Rx+εE+ξI] （15）

则对角载入后协方差矩阵的逆矩阵为：

[R-1dl=（Rx+εE+ξI）-1=（Rx+ξI）-1[I+εE（Rx+ξI）-1]-1] （16）

又假设 [εE<

[R-1dl≈ （Rx+ξI）-1[I-εE（Rx+ξI）-1] ≈（Rx+ξI）-1I-εξ+σ2nE[I-A（AHA+（σ2n+ξ）Λ-1）-1AH]] （17）

式（17）第一个小括号中的数据接近[Rx，]所以对角载入因子[ξ]应该小于[Rx]的对角元素。即：

[ξ

式（17） 中大括号部分导致了自适应波束性能降低。为了得到最优权，希望有：

[εξ+σ2n<1?ε<ξ+σ2n] （19）

由于[σ2n>0]，根据式（18）和（19） 可得：

[ε≤ξ

在实际环境中，由于真实的协方差矩阵[Rx]是无法得到的，因此估计误差[ε]不可能确定。只能通过采样协方差矩阵[Rx]估计真实协方差矩阵[Rx]的对角元素和估计误差[ε。]

真实的协方差矩阵[Rx]对角元素值相同，但估计协方差矩阵每个元素都有误差。误差矩阵[E]是均值为0，方差为1的矩阵，因此， [Rx]的对角元素，可以利用[Rx]的对角元素求平均得到，而[ε]可以通过[Rx]的对角元素的标准偏差得到。则对角载入因子应满足：

[std（diag（Rx））≤ξ

式中：[std]表示标准偏差；[diag]表示矩阵的对角元素；[trace]表示矩阵的迹。因[Rx]的对角元素的[std]计算简单，取不等式的左边等号计算对角载入因子，即对角载入因子为：

[ξ=std（diag（Rx））] （22）

2.3 算法流程

零陷展宽对角载入算法流程总结如下：

（1） 通过式（6）计算出采样协方差矩阵[Rx；]

（2） 通过式（22）计算出对角加在因子[ξ]的值；

（3） 利用式（6）和式（10），通过式（9）计算出扩展后的采样协方差矩阵[RMZ；]

（4） 利用式（9）和式（22），通过式（11）计算出零陷展宽对角载入算法的协方差矩阵[RC-T；]

（5） 在期望信号[θ0]已知的情况，信号的导向矢量[a（θ0）]是已知的，利用[RC-T]和[a（θ0）]通过式（12）求出零陷展宽对角载入算法权向量[wCMT-LSMI]。

3 实验仿真及结果分析

采用16元均匀线阵，阵列间距为半波长，快拍数[K=]100，干噪比INR=45 dB，信噪比SNR=10 dB，假设期望信号角度DOA=0°，干扰信号角度DOA=-35°。

理想条件：假设期望信号角度与信号实际到达角度间误差为0°，且训练数据中不包含期望信号。

实际条件：信号的实际到达角度DOA=1°，与假设的期望信号角度相比偏差1°，且训练数据中包含期望信号。

仿真一：对角载入因子的值不同时，LSMI算法的性能。

因为对角载入因子很难求，一般根据经验选择特定的值，典型的就是[ξ=10σ2n]，本文中[σ2n]为1，所以仿真中取[ξ]=10，更具一般性。仿真结果如图1所示。

从图1（a）中可看出，在理想条件下，[ξ=trace（Rx）/M]在干扰出形成的零陷最窄，其他两种情况下零陷接近；从图1（b）中可看出，在实际条件下，[ξ]=10时，阵列主瓣最高增益没有指向实际角度1°，算法性能有所下降，而对其他两种情况算法性能影响不大。

所以结合图1的方向图可以得出[ξ=std（diag（Rx））]时，本文算法比一般的使用固定加载值的算法要优越。

仿真二：不同算法阵列方向图比较。

NVDR、LSMI及本文算法的仿真结果如图2所示。

从图2（a）中可以看出，在理想条件下，三种算法在期望方向上都形成了高增益，并且在干扰方向上都形成了较深的零陷。因此达到了提取期望信号并且抑制干扰的目的。但是MVDR算法的副瓣较高，而且形成的零陷较窄，而本文所提零陷展宽对角载入算法不仅副瓣较低而且零陷展宽效果明显优于其他两种算法。

从图2（b）中可以看出，在实际条件下，MVDR算法在期望信号上产生零陷，使期望信号被当干扰抑制掉了，而LSMI算法和本文所提零陷展宽对角载入算法在期望信号方向上的增益很高，具有很高的稳健性，并且零陷展宽对角载入算法在干扰方向形成效果优于LSMI算法的展宽零陷。

图1 理想条件和实际条件下不同载入值LSMI算法

图2 不同算法阵列方向图比较

仿真三：不同快拍[K]及输入信噪比时阵列的输出信干噪比。

考虑训练数据中包含期望信号时，信号到达角无偏差，和偏差为1°时阵列的输出信干噪比SINR（[θs=1?]代表偏差为1°）。仿真结果如图3所示。

图3 不同快拍[K]和不同信噪比SNR时阵列输出SINR

从图3（a）中可以看出，当没有误差时，本文算法和MVDR算法的变化趋势相同，即快拍数越少输出的信干噪比SINR与理想SINR之间的差距越大，越大越接近于理想值，当两方法快拍数[K]相同时，本文算法的输出SINR高于MVDR算法。当存在误差时，MVDR算法的输出的SINR变小，而对本文算法的输出SINR影响较小，可见对角载入算法提高了MVDR算法的稳健性，尤其在快拍数较少及期望信号存在误差时，性能改善非常明显。

图3（b）中期望信号存在偏差时，随着信噪比SNR的增加，MVDR算法的输出信干噪比性能下降越明显，而本文算法对信号方向偏差的敏感度较低，输出的信干噪比更接近理想值。

可见本文算法不仅能够提高MVDR波束形成器在小快拍、高信噪比时的稳健性，而且能够提高它对导向误差的稳健性。

4 结 论

针对MVDR波束形成算法在实际应用环境中性能下降的问题，本文提出了零陷展宽对角载入算法，该算法把零陷展宽算法和LSMI算法结合在一起，然后根据协方差矩阵的估计误差来自适应地确定对角载入因子。仿真结果表明：该算法在低快拍数，期望信号存在偏差即导向矢量存在误差的情况下仍具有较好的波束形成性能，且在干扰方向上形成较宽的零陷。它能改善干扰的入射方向变化过快，可能使得干扰移出天线阵方向图零陷位置而无法得到有效的抑制的情况。总之，该算法是一种稳健的且性能优越的波束形成算法。

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