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一类新的LA-群

2014-04-17班桂宁许永峰赵丽萍

嘉应学院学报 2014年8期
关键词:自同构变型子群

班桂宁,许永峰,陈 倩,赵丽萍

(广西大学 数学与信息科学学院,南宁 530004)

在有限群理论中,有限p-群是有限群最基本和最重要的分支之一,关于有限p-群的研究,已经有了许多有意义的结果(见文献[1~4]).对于有限p-群的自同构群的阶方面有一个非常著名的LA-猜想:阶大于p2的有限非循环p-群的阶是其自同构群的阶的因子.关于LA-猜想的研究俞曙霞、班桂宁等得到了一系列漂亮的结果.鉴于Rodney James 在文献[5]中给出了阶小于等于p6(p 为奇素数)的有限p-群的完整分类,本文对p6阶群Φ33家族的Φ33(16)进行了推广,得到一类新的p-群,然后利用Schreier 群扩张理论和Van Dyek 自由群理论证明这类群的存在性,并且给出了所得群的一些性质,最后通过计算群的阶小于等于其自同构群的正规子群的阶,以此证明所得到的群为LA-群(满足LA-猜想的群).文中所讨论的群均为有限p-群,p 为奇素数,其余所有参数均为非负整数,相关符号若无特殊说明均是标准的,具体可参考文献[5,7].

1 相关引理

引理1.1[6]设G 是由生成元x1,x2,…,xr和关系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I 所定义的群,H=<a1,a2,…,ar>(这些ai可能相同),∀i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,则存在唯一的满同态σ:G=Fr/N→H使得xi→ai,其中Fr=<x1,x2,…,xr>为自由群,Y=<{fi(x1,x2,…,xr)│i∈I}>,N=YFr(Y 在Fr中的正规闭包),G=Fr/N.如果│G│≤│H│<+∞,则上述的σ为群同构(即H 是由生成元{a1,a2,…,ar}与定义关系fi(a1,a2,…,ar)=1,∀i∈I所定义的群).

引理1.2[7]设G'是G 的全不变子群,并且若N▷G,则G/N是交换群⇔N≥G'.

引理1.3[7]设G 是群,a,b,c∈G 则

(1)[a,b]-1=[a,b];

(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];

(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.

引理1.4[7]设G 是有限p-群,若c(G)<p,则G 正则.

引理1.5[7]设G 是有限群,则G 的全体中心内自同构组成的Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同构的.

引理1.6[8]设G 是PN-群,G/G'和Z(G)的不变型分别为1≤mi≤mi-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1,则│Ac(G)│=Pa,其中

a=∑min{mj,ki}.

2 主要结果

定理1设G<α,α1,α2,β1,β2,γ│[α1,α]β1,[α2,α]=β2,[α1,β1]=γ,[β2,α]=γ,αpt=α1pt1==1>,则G 成为一个群的充要条件是r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t2},s2≤min{t2,t},进一步,在G 成群的条件下有G=<α,α1,α2,β1,β2,r│[α1,α]=β1,[α2,α]=β2,[α1,β1]=γ,[β2,α]==1,是r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t2},s2≤min{t2,t}>,即其中所给的关系是群 G 的定义关系,且│G │=

证明(I)假设定理中所给的G 是一个群.由[α1,α]=β1[α2,α]=β2[α1,β1]=γ,[β2,α]=γ,得α1α=α1β1,αα1=αβ1-1,α2α=α2β2,=αα2=αβ2-1==β1γ-1β2α=β2γ,αβ2=αγ-1.进而有α=,同理,由此可得因为,所以s1≤t1,r≤t1≤s2≤t2,r≤s2,s1≤t,r≤s1,s2≤t,r≤t.综合上述条件可得r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t},s2≤min{t2,t}.

(II)利用群的扩张理论证明在定理所给的条件下群G 的存在性,分以下两步完成:

(1)先证明G1=<α1,α2,β1,β2,γ│[α1,β1]==1,r≤min{s1,s2},s1≤t1,s2≤t2>的存在性,且G1中所给的关系即为群G1的定义关系.令,显然,N 为型不变量的交换群.设F=<a>为阶循环群.再设映射τ 如下作用在N 上γ'=γτ=γα1=γ.则根据条件r≤s1,有,此时,故τ∈Aut(N).显然1τ=1.

下证τpt1=1.根据条件τ≤s1≤t1,有=γ,从而=1.若此时记扩张函数f:F×F→N 和α:F →Aut(N)有如下形状:f(ai,aj)=

α(ti)=τi,i=0,1,…,pt1-1,则由Schreier 扩张理论得到N 被F 的一个扩张且F≌G1/N.设在同构σ:F→G1/N 之下a 的像为为陪集中选定的代表元,满足,令=α1,则有G1=<α1,α2,β1,β2,γ>,即=1.因此G1是存在的,且

下面利用自由群理论证明G1中所给的关系即为群G1的定义关系.

设F={x1,x2,y1,y2,z}是一个自由群,S={z-1[x1,y1],[x1,x2],[x1,y2],[x1,z],[x2,y1],[x2,y2],[x2,z],[y1,y2],[y1,z],[y2,z],,则因此,且的子集于是,故由引理1.1 知所以G1=1,γ≤min{s1,s2},s1≤t1,s2≤t2.

(2)再证明G=〈α,α1,α2,β1,β2γ|[α1,α]=β1,[α2,α]=β2,[α1,β1]=γ,[β2,α]==1,r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t},s2≤{t2,t}〉的存在性,且G 中所给的关系即为群G 的定义关系.令

=1,r≤min{s1,s2},s1≤t1,s2≤t2}〉.设F=〈a〉为pt阶循环群,再设映谢τ 如下的作用在N上,α1'=α1τ=α1α=α1β1,α2'=α2τ=α2α=α2β2,β1'γ,[α1',β1']=[α1β1,β1]=β1-1α1-1β1-1α1β1β1=根据条件r≤min{s1,s2},s1≤t1,s2≤t2,有此时有N=〈α1'=α2',β1,'=β2',γ〉,故τ∈Aut(N),显然1τ=1,

下证根据条件r≤min{s1,s2},s1≤t,s2≤t,有从而τ pt=1.若此时记扩张函数f:F×F→N 和α:F→Aut(N),有如下形状

1,则由Schrdier 扩张理论得到N 被F 的一扩张G=Ext(N,pt;1,τ)且F≌G/N.设在同构σ:F→G/N 之下a 的像为为陪集中选定的代表元,满足α,则有即即[α2,即[β2,α]=γ,因此G 是存在的,且

下面利用自由群理论证明G 中所给的关系即为群G 的定义关系.

设F={x,x1,x2,y1,y2,y2,z}是一个自由群,S={y1-1[x1,x],y2-1[x2,x],z-1[x1,y1],z-1[y2,x],[x,y1],[x,z],[x1,x2],[x1,y2],[x1,z],[x2,y1],因此且的子集于是|G|.由引理1.1 知所以G=〈α,α1,α2,β1,β2,γ|[α1,α]=β1,[α2,α]=β2,[α1,β1]=γ,[β2,{s1,s2},s1≤min{t1,t},s2≤min{t2,t}〉.

定理2群G 有下列性质:

(1)G'=G2=〈β1,β2,γ〉,G3=〈γ〉,G/G'=〈αG',α1G',α2G'〉,P(G)=〈gp|g∈G〉,Φ(G)=〈β1,β2,γ〉〈αp,α1p,α2p〉;

(2)G 为亚交换p-群;

(3)若p>3,则G 为正则p-群;

(4),且其中m=max{s1,s2};

(6)若t=t1=t2=s1=s2=r=1,则G ≌Φ31(16).

证明(1)由G 的定义关系显然〈β1,β2,γ〉≤G',且〈β1,β2,γ〉▷G'.令N=〈β1,β2,γ〉,则G/N=〈αN,α1N,α2N〉,因为[α1,α]=β1∈N,[α2,α]=β2∈N,[α1,α2]=1∈N,所以[α1N,αN]=[α2N,αN]=[α1N,α2N]=N,故G/N 为交换群,由引理1.2 知G'≤N,即G'=G2=〈β1,β2,γ〉,从而可得G/G'=〈αG',α1G',α2G'〉;又因为[α1,β1]=γ,[α,β2]=γ-1,从而G3=[G,G2]=〈γ〉;G4=[G,G3]=1,可得c(G)=3.由有限群G 的子群P(G)定义有P(G)=〈gp|g∈G〉,即P(G)=所以

(2)因为[β1,β2]=[β1,γ]=[β2,γ]=1,所以G″=[G',G']=1,故G 为亚交换P-群.

(3)当p>3 时,由(1)知c(G)=3<p,所以G为正则群.

(4)∀g∈Z(G),设则同理由此可得pr|y2,ps2|x2,ps1|x1,pr|y1,ps1|x,ps2|x,pr|x1pr|x,这使得γ〉,即由g 的任意性可得Z(G),于是γ〉.进而,所以,其中m=max{s1,s2}.

(5)因为Z2(G)/Z1(G)=Z(G/Z1(G)),所以[Z2(G),G]⊆Z1(G)=Z(G),对任意的g=αxα1x1,由此可得pr|x1,pr|x2,pr|x,这使得β2,γ〉,即由g 的任意性可得于是,进而Z2(G)=,所以|,所以|G/Z2(G)|=p3r.

(6)为直接验证,见文献[5].

定理3在以下六种情形下群G 均为LA-群.情形1:t≤t1≤t2;情形2:t1≤t≤t2;情形3:t1≤t2≤t;情形4:t2≤t1≤t;情形5:t2≤t≤t1;情形6:t≤t2≤t1.

证明取Aut(G)的正规p 子群R=Inn(G)Ac(G)(Ac(G)为G 的中心自同构),由引理1.5 有|R|(G)|·|G:Z2(G)|,于是只需证明|R|≥|G|,即可知G 为LA-群,而由定理2 知:G/G'=〈αG',α1G',α2G'〉=〈αG'〉×〈α1G'〉×〈α2G'〉,其不变型为(t,t1,t2);,其不变型为(t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r),其中m=max{s1,s2};|G:Z2(G)|=p3r.下面只证明情形1 下群G 为LA-群,其他情形下可类似情形1 的证明过程来证明群G 为LA-群.

在情形1 t≤t1≤t2下,G/G'的不变型为t≤t1≤t2,需讨论t,t1,t2,t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r 的大小关系.

(I)当s1≤s2时,m=s2.

(i)不妨设Z(G)的不变型为r≤s1-r≤s2-r≤t-s2≤t1-s1≤t2-s2.

(1)当t1-s1≤t2-s2≤t≤t1时,由引理1.6,a=min{t,t2-s2}+min{t,t1-s1}+min{t,t-s2}+min{t,s2-r}+min{t,s1-r}+min{t,r}+min{t1,t2-s2}+min{t1,t1-s1}+min{t1,t-s2}+min{t1,s2-r}+min{t1,s2-r}+min{t1,s1-r}+min{t1,r}+min{t2,t2-s2}+min{t2,t1-s1}+min{t2,t-s2}+min{t2,s2-r}+min{t2,s1-r}+min{t2,r}=3t+,故群G 为LA-群.

(2)当t1-s1≤t≤t2-s2≤t1时,由引理1.6,a=4t+3t1+2t2-2s2-3r,因此>|G|,故群G 为LA-群.

(3)当t1-s1≤t≤t1-t2-s2≤t1时,由引理1.6,a=4t+4t1+t2-s2-3r,因此|R|=|G|,故群G 为LA-群.

(4)当t≤t1-s1≤t1≤t2-s2时,由引理1.6,a=5t+3t1+t2+s1-s2-3r,因此|R|=|G|,故群G 为LA-群.

(5)当t≤t1-s1≤t2-s2时,由引理1.6,a=5t+2t1+2t2+s1-2s2-3r,因此>|G|,故群G 为LA-群.

(ii)同理,对于Z(G)的其它不奕型,类似于(i)的讨论过程可以证群G 为LA-群.

(II)当s2≤s1时,类似于(I)的讨论过程可以证群G 为LA-群.

故在情形1 下群G 为LA-群;对于情形2 到情形6 做类似于情形1 同样的讨论,可以证明群G 为LA-群.

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