APP下载

数学分析课程中的开放型问题

2014-03-30王卫兵

当代教育理论与实践 2014年11期
关键词:开放型结论命题

王卫兵,唐 唯

(湖南科技大学 数学与计算科学学院,湖南 湘潭411201)

数学分析课程是普通高校数学专业最重要的专业主干课程,是多门后续分析类课程的基础,如常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析,为其提供必要的基础知识、方法与技巧。其特点是体系严密,知识容量大,逻辑性强,应用广泛。数学分析中概念、定义、公式、定理、方法技巧众多,蕴含着丰富的数学思想方法。目前,数学分析的教学在模式上注重概念、定理、公式的讲解,通常主要结论按照一定模式进行论证和解答,比较忽视启发学生自己去发现问题、提出问题、解决问题。

数学开放题是上世纪70 年代发展起来的一种新题型,在一定条件下探索不明确结论,或由给出的结论探索使结论成立的条件[1]。在开放型问题中,条件可能不完善,需要补充;或满足结论的条件有多种;或结论不唯一;或解决问题的方法不唯一。开放型问题的答案常常不确定,没有固定的解题模式,思维发散性大,这种特性决定了教师无法采用灌输式教学,学生必须积极参与,主动地进行探索。数学开放型问题的教学有利于培养学生的数学意识、分析能力、综合能力、抽象能力、推理能力;有利于培养学生的探索精神和创新能力。

数学分析教材中众多的定理、命题、习题,一般由确定的条件导出确定的结论。但许多命题、习题可加以改编成为开放型问题。在教学过程中,立足教材,适当地编制开放型问题,进行一些开放型问题的训练,可大大提升教学效果。

1 隐藏原命题的部分条件,反向探求新条件

得到某一结论的条件通常不是唯一的。隐藏部分条件,探索使结论成立需添加的因素,可将原题改编为开放问题。

例1 数列收敛的充要条件是它的所有子列都收敛。将该命题中的充分条件减弱便可得到若干开放问题。

问题1 数列{an}的子列{a2n},{a2n-1}都收敛。在什么条件下,数列{an}收敛?

问题2 数列{an}的子列{a3n},{a3n-1},{a3n-2}都收敛。在什么条件下,数列{an}收敛?

也可考虑上述问题的反面。

问题3 求一发散数列{an},其收敛子列的极限都相等。

例2 (原题)已知函数f ∈C[0,1],且f(0)=f(1),则存在r ∈(0,1)使得f(r +0.5)= f(r).

问题4 函数f 满足什么条件时存在r ∈R 使得f(r+0.5)= f(r)?

2 拓展已有的结论

数学分析课程中很多命题、习题蕴含着丰富的信息。通常教师、学生解完题后就不再深入地思考还能得到什么样的结论。将其结论进行拓展,深挖,进一步探索新的结论,可得到某些开放型问题。

例4 拉格朗日中值定理:设函数f 在闭区间[a,b]内连续,在开区间(a,b)内可导,则存在r ∈(a,b)使得f(b)- f(a)= f'(r)(b - a).

上述定理中仅仅肯定了f 的存在性,对这样的f 的个数信息不明。我们可以问:

问题6 在什么条件下,中值定理中的f 的个数是1,是2,甚至是f 个?

问题7 设函数f 在闭区间[a,b]内连续,在开区间(a,b)内可导,r ∈(a,b),是否存在不同的两点s,t ∈[a,b]使得f(s)- f(t)= f'(r)(s - t)?在什么情形下是存在的?

3 改变条件,探索新结论

命题或习题条件的变化,其结论也随之变化。适当变化相关的条件, 引导学生探求对结论的影响,有利于开阔学生思路,巩固所学知识。

例5 重要的极限f(x)= (1 + x)x-1→e(x →0). 很显然函数f 是幂指数函数,其底的极限为1 (x →0),指数的极限为∞(x →0). 考虑更一般的幂指数函数h(x)g(x).

问题8 若h(x)→1,时,h(x)→1,g(x)→∞. 幂指数函数h(x)g(x)的极限是否存在?存在时为多少?

例6 当f(x),g(x)时,f(x),g(x)与f(x),g(x)是等价无穷小量。于是当f(x),g(x)时,f(x),g(x)是无穷小量,则sinf(x)时,sinf(x)与f(x),sing(x)与g(x),sinf(x)+ sing(x)与f(x)+ g(x)都是等价无穷小量。

问题9 除f 与f 这一对等价无穷小量外,有其他的等价无穷小量有类似的性质吗?

例7 罗尔定理。当函数满足罗尔定理中三个条件时,其结论成立,但三个条件不是必要的。

问题10 删除三个条件中的f 在闭区间[a,b]内连续,这时函数f 可能在端点处无定义,对应的将f(a)=f(b)减弱为f(a +0)= f(b -0),问罗尔定理的结论仍成立吗?

4 用实际问题表现数学命题

数学分析中很多概念、定义有深刻的实际背景。从广义上讲,数学分析中的基本概念:函数、极限、导数、微分、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等都可看成数学模型。一些问题从实际背景出发,要求学生进行设计数学模型求解,便可得到开放型问题。这样不仅易于激发学生的学习兴趣,也有利于培养学生的探索精神和创新能力,提高数学素养。

例7 连续函数的介值定理。

问题11 一人早6 点从山脚A 处上山,晚18 点到山顶B 处;第二天,早6 点从B 处下山返回,晚18 点到A处。问是否存在一时刻,这两天都在这一时刻达到同一点?

上述各例中问题1、问题2、问题4 需要探求使结论成立的条件,其条件有很多种,有难有易,属于条件开放型问题;问题3、问题8、问题9 的结论不唯一,属于结论开放型问题;问题6、问题7 条件与结论都需要探索,属于综合开放型问题。问题5、问题9、问题10 需要综合应用所学内容,属于存在开放型问题[2-5]。不论哪一种开放型问题均需要学生积极参与,独立地探索,观察、类比、分析、归纳、猜想。因此,在数学分析教学中可适当选用开放型问题教学,提供让学生操作、研究和讨论的机会。为了更好地适应这种教学模式,数学分析课程教学中要注重教学内容的内外结合,强调数学的实际背景和现实模型,展现知识的形成过程,让学生尽可能多地参与到知识的发现、思维探求过程。

当然,数学分析课程中,并不是所有的内容都适合开放型问题教学。另外,开放型问题的教学耗时一般较多,适合在习题课上或以课后作业的形式进行。

[1]张奠宇.数学教育学导论[M]. 北京,高等教育出版社,2003.

[2]万洪波.浅议数学的开放型题型[J]. 南昌教育学院学报,2002(17)36 -37.

[3]张士勤.数学分析中“开放型问题教学”浅析[J]. 南都学坛(自然科学版),1995(6)60 -61.

[4]李祥兆.数学开放题的评分方法初探[J]. 宁波大学学报(教育科学版),2007(2)62 -65.

[5]李 华.数学开放型题型与解法探析[J]. 数学学习与研究(教研版),2007(1)55 -56.

猜你喜欢

开放型结论命题
由一个简单结论联想到的数论题
打好“侨”牌,稳中有为——打造江苏开放型经济的“重要窗口”
江苏巩固拓展高质量发展开放型经济的新态势
立体几何中的一个有用结论
进博会为推动构建开放型世界经济注入“中国动力”
结论
粒子在二维开放型四分之一圆形微腔中的逃逸研究
2012年“春季擂台”命题
2011年“冬季擂台”命题
2011年“夏季擂台”命题