张 莉， 周羚君

(同济大学 数学系，上海 200092)

线性代数是大学数学的基础课之一，是理工科各专业学生必修的课程，其重要程度不言而喻.由于线性代数的抽象性较我国现行的中学数学教材要高一个层次，而且信息量大大超过中学代数课程，很多学生在学习过程中，很难在短时间内记住知识要点，无法将相对抽象的概念、定理形象化，考完即忘的情况比较普遍，严重影响了后续专业课程的学习.经过多年的教学实践，我们发现在讲述概念、定理时，做一些形象的比喻或类比，有助于学生记忆知识要点.我们特别将几个深有心得的案例总结如下，供大家参考.

1 向量组的极大线性无关组、向量组的秩的类比教学

向量组的极大线性无关组、向量组的秩是向量组线性相关性教学中的一个难点.这一节的教学，除了定义之外，还需要讲清三个问题：第一，极大线性无关组是否一定存在；第二，极大线性无关组的选取是否唯一；第三，为什么极大线性无关组的向量个数是不变量.假如在教学中，仅仅重述课本上的内容，程度一般的学生很难想清其中的原委.我们在教学中，采用类比的方法，化解这一困难.

首先我们提一个新问题，在教室里的所有学生这个集合中，如果一群人中存在两个人住在同一间宿舍，那么就称这一群人相关，否则就称这一群人无关，如此在教室里所有学生这个集合中，能否选出一个“代表团”(也就是子集合)，使得“代表团” 中的这群人是无关的，但再添加进任何一个人进来之后，这个人群就相关了，亦即这个“代表团”是一个极大无关组.

对这个问题，大部分学生会很快得出结论，这样的极大无关组是存在的，通常不唯一，但是无论怎么选取，这个极大无关组的人数是不变的，等于教室中所有学生分布的宿舍总数.于是我们进一步问，如何构造这个极大无关组？大部分学生也可以在我们的引导下回答：首先任选一个学生进入“代表团”，而与他相关的学生离场，然后在剩余的学生中再选一人进入“代表团”，与“代表团”相关的人再离场，如此反复做下去，总有一个时刻，教室中除“代表团”以外，再无其他成员，此时这个“代表团”就是要求的极大无关组.而且根据这个构造法，学生也很容易理解为什么这个极大无关组通常不唯一(除非所有学生全体本身就是无关组)，为什么极大无关组的元素个数是不变量.

然后我们指出，对于向量组为有限集时的极大线性无关组，跟人员的极大无关组是非常相似的，其存在性的结论和证明与人员问题的结论和证明几乎一致.当向量组为无限集的情况，此时极大无关组的存在性等价于集合论中的一条公理(也就是Zorn引理)，对非数学系的学生就可以到此为止了，对数学系的学生，可以酌情陈述Zorn引理和选择公理，并指出它们的等价性，而选择公理是显而易见的.

进一步，对极大无关组的替换原理，我们也可以通过这个例子类比.我们可以问学生，假如我们开一个学生代表大会，会议代表团要求是一个极大无关组，代表团里有一个学生临时来不了了，应该如何选择替补呢？学生很容易想到，在与缺席学生相关的学生中选一个替换.然后再问学生，对向量组的极大线性无关组中的向量，是否可以被替换，可以被什么样的向量替换？此时我们写出表达式

l1α1+l2α2+…+lnαn=β，

这里α1,α2,…,αn是一个极大线性无关组.我们指出，如果系数lj≠0，那么就说明β与αj有关系(β的线性表示必须用到αj，直观上容易理解这种“有关系”)，可以用β替换αj，否则线性表示β用不到αj，那就不能替换.

另外，对向量组线性相关组的一些定理，也可利用此例类比.例如，任何一个线性无关组的子组必定线性无关，反之，如果一个向量组的某个子组线性相关，那么这个向量组线性相关.而这些结论，如果单靠死记硬背，经常会被记错.

2 矩阵相似对角化条件的类比教学

矩阵相似对角化的条件，是学生比较难理解与记忆的一个定理.特别是对非数学系的学生，由于讲不到特征子空间、根子空间等知识点(甚至有些数学系的学生，也仅仅通过λ-矩阵得到Jordan标准型，而绕过特征子空间和根子空间)，不容易体会代数重数与几何重数的差异.我们在教学过程中，亦采用类比的方法，帮助学生理解记忆.

我们将矩阵的特征值比作一个家庭中的孩子，n个特征值就是n个孩子，不同的特征值代表不同年龄的孩子，于是一个矩阵的特征值就有两种情况：n个特征值互不相同，相当于n个孩子年龄互不相同；有相同的特征值，相当于n个孩子中有多胞胎.我们将特征向量比作孩子上学使用的教材，如此对上述两种情形，就分别比喻为下述事件：n个孩子年龄各不相同，那么家庭无论如何也只能为每人各购买1套教材，相当于每个特征值都能分配到1个线性无关的特征向量；n个孩子中有多胞胎，那么对k胞胎，经济条件好的家庭可以为每个孩子购买1套新教材，经济条件差一点的家庭，可以少购买几套让这些孩子共同使用，但是至少要为这k胞胎购买1套，类比为k重特征值的线性无关的特征向量个数可能是1到k中的任何一个数.然后我们指出，一个n阶方阵可以相似对角化，当且仅当这个矩阵有n个线性无关的特征向量，相当于这个家庭的经济条件必须要好，可以保证每个孩子都可以分配到1套新教材.这样一来，学生不仅能够较好的记住这个结论，也能比较容易地搞清矩阵可以相似对角化的充分条件和必要条件，而在采用这种方法之前，学生经常会把矩阵的特征值互不相同混淆为矩阵可对角化的必要条件，或相应把矩阵有相同的特征值混淆为矩阵不能相似对角化的充分条件.

3 线性空间的比喻类比教学

线性空间是线性代数中最核心的概念，这个概念的抽象程度超过了之前的所有概念.大部分学生都会对为什么要定义这样一个抽象对象产生困惑.我们在教学中做这样一个比喻，在生物学中，生物学家会把具有共同特点的生物归类，比如哺乳动物、藻类植物、昆虫等，而数学上，我们也希望把具有共同特点的数学对象归类.为什么要归类呢？因为同类的对象往往有相似的性质，比如医学中研究一种新药，在临床应用前，会先对一些哺乳动物做实验，假如药物对哺乳动物的效果良好，那么对人类很可能也会有效.数学上也是同样的，我们之前已经对矩阵，特别是列向量空间已经研究得比较清楚了，那么对列向量这个数学对象具备的一些数学性质，很可能与它具有同样性质的线性空间也具备，一旦这一结论得到验证，立刻就会产生事半功倍的效果.做这样一个比喻后，学生就会觉得定义线性空间这个概念是很自然的事情.

在线性空间的概念陈述中，也存在一些难点，比如加法、数乘、零元、负元可以不是传统意义下的加法、数乘、零元、负元，最经典的例子就是正实数集合关于实数乘法和实数乘方构成线性空间.我们在教学时在讲解零元、负元时也采用一定的比喻手段.我们提出零元的概念后，我们指出零元是线性空间这个集合中的一个非常特殊的元素，零元只是我们赋予它的一个名字，它本身有可能跟传统意义上的零没有明显的联系，比如一个国家，总统是个特殊的人物，但他的姓名中未必能体现他是总统(比如美国总统叫奥巴马)，所以线性空间中的零元素有可能是数字0，有可能是0矩阵，有可能是0常值函数，也有可能是跟0没有明显联系的数学对象.同样，对于一个元素的负元，也是与它有特殊关系的一个对象，其原始表达式并不见得是在该元素前添加负号(虽然大部分情况下是)，就好像一个人与其配偶的关系，两个人的姓名未见得能体现出夫妻关系(比如在当今中国大陆，女性结婚后就不改变姓氏).有了这样的铺垫，学生对这些抽象概念就能比较准确地理解.

4 线性变换与一次函数

线性变换的概念同样比较抽象.对非数学系的本科学生，线性变换通常是线性代数课程的最后一部分内容，学完就要期末考试了，留给学生复习体会的时间很短；而对数学系学生而言，线性变换几乎是高等代数课程最重要的内容，是后续数学专业课程的基础，如果不能理解好这一概念，就会严重影响高等代数后半以及后续专业课程的学习.我们在这部分的教学中将线性变换与一次函数作比较.首先我们问学生，中学代数在对实数了解清楚后，提出的新概念是什么？我们引导学生想到函数，也就是实数到实数的一个映射.那么最先学习的函数又是什么呢？我们引导学生想到一次函数，特别是没有常数项的一次函数.那么一次函数有什么样的特点呢？我们引导学生想到保持加法保持数乘.这时我们指出，现在我们已经对线性空间有了清楚地了解，那么接下来应该研究的就是线性空间到其自身的映射，而其中最简单的映射就是保持加法保持数乘的映射，这就是线性变换.在讲到线性变换的矩阵时，学生就会联想到原来线性变换像与原像之间的关系

形式上跟没有常数项的一次函数的表达式是一样的，于是学生就会觉得这些内容是很自然的.

在本文的最后，我们指出，我们在文中多次提到类比的方法，这并不代表我们以类比取代严格的叙述和证明，严格的叙述和证明是数学的根基，是每一个数学工作者必备的素质，也是训练每一个理工科学生思维严谨性的必须环节.我们采用类比的手段，仅仅是给学生增强概念的直观性，缩短学生理解抽象概念的时间，提高学生的学习效率.在学生对抽象概念有了一定的理解后，我们依然要回到严格的数学证明，最终引导学生完成从抽象到形象，从形象再到抽象的学习过程.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系，线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社，2007.

[2] 谢红梅.化归思想方法在线性代数课程中的体现[J].高等数学研究，2012,15(1):103-106.

[3] 代国兴.大学数学若干教学手段教学效果分析[J].高等数学研究，2012,15(1):107-110.

[4] 王军霞,黄娟.将数学实验融入线性代数的教学[J].数学教学研究，2011,30(2):48-51.