陈尚弟，卫慧慧

（中国民航大学理学院，天津 300300）

素数阶射影平面的一种新构造

陈尚弟，卫慧慧

（中国民航大学理学院，天津 300300）

射影平面是由欧氏平面加上一条非固有直线构成的，它在射影几何中的存在性是一个重要的研究课题。在组合设计中，射影平面与仿射平面有着密切的联系，并且一个q阶射影平面对应一个（q2+q+1，q+1，1）对称设计，一个q阶仿射平面对应一个（q2，q，1）可分解设计。本研究从无穷远元素和射影直线入手，给出射影平面的定义，进而利用矩阵的初等变换及矩阵对角线上元素的位置变换的理论，构造了一个可分解设计的平行类，最后通过增加q+1个无穷远点的方式得到素数阶射影平面的一种新构造，并且举例验证了构造的有效性和正确性。

射影平面；仿射平面；设计；矩阵

在区组设计中，一个q阶射影平面的存在等价于一个q阶仿射平面的存在，也等价于q-1阶正交拉丁方的存在。因此，可以通过研究仿射平面来研究射影平面。

人们在研究有限射影几何时，通常利用有限域和有限群的知识来构造射影平面。文献[1]讨论了素数幂q阶射影平面的存在性等价于包含一个q阶正规子群的q（q-1）阶2-可迁子群Sq的存在性，并给出了几种2-可迁子群Sq的构造方法。文献[2]通过有限半域构造有限射影平面，并给出任意一个有限半域决定一个不满足Desargues定理的射影平面。文献[3]详细介绍了图论的知识并讨论了有限射影平面的点线关联图，给出了通过图论知识构造射影平面的方法。文献[4]通过初等数论知识和关联矩阵的定义给出一类对称设计的设计方案，从而得到素数阶射影平面的构造法，对于解决实际问题容易而且快速。文献[5-7]讨论了非素数幂阶射影平面的存在性，并证明10阶射影平面是不存在的。文献[8]给出了一个q阶射影平面对应一个（q2+q+1，q+1，1）对称设计，故研究q阶射影平面的存在性问题，转化为研究（v，k，1）设计的存在性问题。

本文旨在研究射影平面的构造，第1节中引出了关于有限关联结构的知识；第2节给出了对称设计及射影平面的概念，并讨论了它们之间的联系；第3节具体给出了q（q为素数）阶射影平面的另一种构造，从而推出素数阶射影平面均存在。

1 有限关联结构

定义1 设P和B为两个不相交的非空有限集合，I为P与B之间的二元关系，即I⊆P×B，则称K=（P，B，I）为一个关联结构。P的元素为点，B的元素为区组，I为关联关系。设Pi∈P，P={P1，P2，…，Pv}，若（P，x）∈I，则称点P与区组x关联并记作PIx。若点P与区组x不关联，则记作

为方便，常用（P）表示与点P关联的区组集，用（x）表示与区组x关联的点集。因此（Pi）∩（Pj）表示既与点Pi关联又与点Pj关联的区组集。通常以v表示点集P的基数，b表示区组集B的基数，即并称v为P的阶。

定义2 设P={P1，P2，…，Pv}，B={x1，x2，…，xb}，K=（P，B，I）为有限关联结构。对1≤i≤v，1≤j≤b，K的关联矩阵是v×b的（0，1）-矩阵，定义如下

对1≤i≤v，令ri表示B中与点Pi关联的区组数；1≤j≤b，令kj表示P中与区组xj关联的点的个数；对1≤i，j≤v，i≠j，令λi，j表示B中同时与点Pi及Pj关联的区组数。ri为点Pi的重复度，kj为区组xj的长度，λi，j为Pi与Pj的相遇数，即

2 对称设计及有限射影平面

2）对任意xj∈B，有kj=k；

3）对任意Pi，Pj∈P，i≠j，都有λi，j=λ，

则称K是一个（v，k，λ）平衡不完全区组设计，简记为（v，k，λ）-BIBD。

定义4（v，b，r，k，λ）-BIBD称为对称设计，如果b=v，对称设计简记为SBIBD。

定义5 设K=（P，B，I）是一个（v，k，λ）-BIBD。B中不交的区组集满足并集是P称为一个平行类，把B分为r个平行类的划分称为一个解，则K=（P，B，I）称为可分解设计，如果B至少有一个解。简记为（v，k，λ）-RBIBD。

定义6 设K=（P，B，I）为有限关联结构，P的元

定义3 设v、k、λ为给定的正整数，v≥k≥2，λ≥1，K=（P，B，I）为有限关联结构。若以下条件满足：素为点，B的元素为直线，称K为有限射影平面，若K满足下列公理：

l）对P中任意两个不同的点Pi与Pj，都存在B中唯一的一条直线L，使得PiIL与PjIL；

2）对B中任意两条不同的直线L1与L2，都存在P中唯一的一点Pi，使得PiIL1与PiIL2；

3）P中存在4个点，其中任意三点都不与同一条直线关联。

定理1 设K为一个q阶射影平面，则q≥2，且

1）每一条直线都恰好包含q+1个点；

2）过每一点的直线都恰有q+1条；

3）任意不同的两点都恰好同时落在唯一的一条直线上；

4）任意两条不同的直线都恰好有唯一的一个交点；

5）共有q2+q+1个点；

6）共有q2+q+1条直线。

定理2 任意一个q阶射影平面可以看作一个（q2+q+1，q+1，1）-SBIBD；反之，对于k≥3，任意一个（v，k，λ）-SBIBD可以看作一个q=k-λ阶射影平面。

定理3（Bruck，Ryser） 设q≡1或2（mod 4）且n的无平方因子部分有形如4t+3的素因子，则不存在q阶射影平面。例如，q=6，14，21，22，30，33，38，42，46，…阶射影平面是不存在的，但q=10，12，15，18，20，24，26，28，…阶射影平面的不存在性还未被证明。

3 有限射影平面的构造

构造给定一个素数q，设Fq={1，2，…，q}，令

其中：∞i（i=1，2，…，q）是不同于点（x，y）的q+1个点，称之为无穷远点。显然，可以得到1。为方便表示，将X中的点（x，y）记作axy，并记Ii是由点∞i组成的一维列向量，即Ii=（∞i∞i… ∞i）T（i=1，2，…，q），T代表矩阵的转置。然后考虑下列步骤：

第1步把q2个点axy按行序排列成q×q矩阵，可得

第2步在矩阵A0的末尾添加一维列向量I0得到q×（q+1）矩阵π0，即

把矩阵π0的每一行看作一个区组，可以得到q个区组长度为q+1的区组，如下

第3步首先对矩阵A0中的元素做一些标记。把从矩阵左上角到右下角这条对角线上的元素a11，a22，a33，…，aqq称为矩阵A0的主对角线，也称为第0条对角线，元素a21，a32，…，aq，q-1，a1q为矩阵A0的第1条对角线。以此类推，设1≤l≤q-1，称元素al+1,1，al+2,2，al+3,3，…，al，q为矩阵A0的第l条对角线。

下面构造q×q矩阵Ar（1≤r≤q-1）。

令0≤i≤q-1，把矩阵Ar-1的第i条对角线上的元素作为矩阵Ar的第i+1行上的元素，可得到q-1个q×q矩阵Ar（r=1，2，…，q-1）

重复第2步的过程，可以得到q×（q+1）矩阵πr

及q个区组长度为q+1的区组

第4步把q2个点axy按列序排列成q×q矩阵，可得

同样，重复第2步的过程，可以得到q×（q+1）矩阵

第5步由q+1个无穷远点组成一个区组，记作

定理4 上述构造是一个q阶射影平面，即（q2+ q+1，q+1，1）-SBIBD。

证明从构造过程易知，设B为区组集，则每个区组包含q+1个点，即k=q+1；下面验证每对不同的点出现的区组数，分为3种情况讨论：

1）从矩阵Ar（0≤r≤q）的构造知，每对不同的点（x，y），（m，n）恰好出现在一个区组中，其中1≤x，y，m，n≤q。

2）从矩阵πr（0≤r≤q）的构造知，每对不同的点（x，y），∞r恰出现在一个区组中，其中1≤x，y≤q，∞r是不同于（x，y）的无穷远点。

3）B＇={∞0，∞1，…，∞q}作为一个区组，每对不同的点∞i，∞j（0≤i≠j≤q）只出现在区组B＇中。

由此可知，（X，B）是一个（q2+q+1，q+1，1）-BIBD。

由每个矩阵πr（0≤r≤q）可以得到q个区组，则B中总区组数b=q（q+1）+1满足b=v。因此，（X，B）是一个（q2+q+1，q+1，1）-SBIBD。

推论存在其中n为偶数。

根据该定理可以直接构造出，当k-1为素数时的（v，k，1）设计和素数阶射影平面，从而可以得到下述定理。

定理5 素数阶射影平面均存在。

下面给出一个实例具体说明上述构造。

实例构造一个（13，4，1）-SBIBD。

给定一个素数q=3以及q+1=4个无穷远点{∞0，∞1，∞2，∞3}，根据第1步、第2步可以得到1个3 ×4矩阵

根据第3步可以得到2个3×4矩阵πi（i=1，2）

根据第4步可以得到1个3×4矩阵

根据第5步，由4个无穷远点{∞0，∞1，∞2，∞3}组成区组B＇={∞0，∞1，∞2，∞3}。

把矩阵πi（0≤i≤3）的每一行看作一个区组可得到区组总数b=3×4+1=13，且每个区组包含4个点，即k=4。因此，可得到（13，4，1）-SBIBD。

[1]DHANANJAY P MEHENDALE.Finite projective planes[J].Sir Parashurambhau College，2003，12（8）：27-43.

[2]DONALD ERVIN KNUTH.Finite Semifields and Projective Planes[D]. California：California Institute of Technology Pasadena，1963.

[3]FELIX LAZEBNIK，ANDREW THOMASON.Orthomorphisms and the construction of projective planes[J].London Mathematical Society，2003，13（8）：1-15.

[4]阙树福.素数阶射影平面的一种构造法[J].福建林学院学报，1996，16（11）：346-348.

[5]LAM C W H.The search for a finite projective plane of order 10[J].The American Mathematical Monthly，1991，4：305-318.

[6]LAM C W H，THIEL L，SWIERCZ S.The nonexistence of finite projective planes of order 10[J].Canad J Math，1989，41（6）：1117-1123.

[7]BRUCK R H，RYSER H J.The nonexistence of certain finite projective planes[J].Can J Math，1949，11（1）：88-93.

[8]沈 颢.组合设计理论[M].上海：上海交通大学出版社，2008.

（责任编辑：杨媛媛）

New construction of projective planes of prime order

CHEN Shang-di，WEI Hui-hui
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

The existence of projective plane which consists of Euclidean plane and an extrinsic straight line is an important research subject in projective geometry.There is a close connection between affine plane and projective plane in combinatorial design.A projective plane of order q corresponds to a（q2+q+1，q+1，1）symmetrical design，and an affine plane of order q corresponds to a（q2，q，1）resolvable design.Beginning with infinity element and projective line，the definition of projective plane is given.Furthermore，the elementary transformation of matrix and the position transformation of the diagonal elements are used to get the parallel classes of a resolvable design.Finally，a new construction of projective plane of prime order is obtained by adding q+1 points into each parallel class.The correctness and efficiency of the construction are validated through an example.

projective plane；affine plane；design；matrix

O157

：A

：1674-5590（2014）05-0061-04

2013-09-11；

：2013-10-14

：国家自然科学基金项目（61179026）

陈尚弟（1964—），男，山西应县人，教授，博士，研究方向为代数、图论、编码与密码.