冯昌明，木林隆，孙志伟，王耀忠

（1.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092；2.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；3.中国石油集团东南亚管道有限公司，北京 100028；4.中国石油西气东输管道公司，武汉 430073）

1 引言

随着我国高等级公路的大力发展，尤其是在山区丘陵地带公路修建中，桥梁结构得到了广泛的应用。路基修筑中有弃方的情况下，常将其堆于桥梁墩台周围，此外，桥梁墩台附近往往还有路堤堆载。堆载对其周围的桥梁墩台与基础会产生两方面的影响：一是桩周土体在堆载作用下发生下沉，若沉降速率大于桩的下沉量，就会对桩产生负摩阻力，增加桩的竖向荷载并产生不均匀沉降；二是堆载会使桩周土发生水平向位移，引起桩的挠曲、水平变形过大，桩身承受的弯矩较设计弯矩而言过大，从而造成上部结构产生偏移甚至不能正常使用[1]。现行公路桥梁设计中，很少对公路沿线弃方堆于桥梁周围引起的不利因素进行考虑，对施工及运营中堆载引起的工程病害亦未重视，引发了许多工程事故。因此，研究该种堆载对临近桥梁桩基的影响十分必要。

Springman 等[2]用平面应变有限元分析桥台桩-土作用，将桩用板桩墙替代；Nylor[3]发现若要使计算更为准确，需在板桩墙和土体间设置连接单元以模拟桩土间的相对位移；Ellis 等[4]基于平面应变有限元分析，建立了与离心模型试验对比较好的桩-土共同体模型。平面应变有限元分析虽然计算过程简洁，但板桩墙与桩基的承载特性存在明显差异，因此，利用板桩墙模拟桩基并不合理。Xu 等[5]利用多边界元方法分析了被动荷载作用下桩的响应，并提出了土体运动的理论描述，但这种方法无论理论还是实际计算过程都十分复杂，在实际工程中难以应用。Springman[6]用线弹性模型三维有限元分析了路堤建设中对桩产生的侧向荷载；Bransby 等[7]用三维有限元法分析路堤对桥台桩基的影响，计算结果与离心模型试验结果吻合较好。有限元法可以定量地考虑复杂的边界条件和土层变化情况，但模型建立复杂，计算量大。因此，寻求一种分析堆载对附近桩基影响的简单方法对于工程应用是十分必要的。黄茂松等[8]采用两阶段方法分析了浅埋隧道开挖引起的土体移动对隧道顶桩的影响，木林隆等[9]基于两阶段方法提出了能够分析层状地基中隧道开挖对刚性筏板群桩基础竖向影响的解析方法，张陈蓉等[10]采用两阶段分析方法分析了基坑开挖引起的邻近建筑物桩基变形受力响应，梁发云等[11]采用两阶段方法分析了土体水平位移对临近既有桩基承载性状的影响。但这些两阶段法的应用大多集中在分析隧道及基坑开挖问题，而少有将堆载作为分析对象，因此，本文将基于两阶段法分析堆载对桩基的影响。

本文主要基于弹性理论分析堆载作用下自由场中水平及竖向位移及应力，结合有限差分法将自由场位移施加于桩上，分析堆载作用下被动桩内力及位移，并计算相应实例验证方法正确性。

2 堆载对桩基影响的分析方法

桥梁桩基附近的堆载包括沿道路方向延伸的条形路基堆载以及矩形弃方堆载，因此，本章首先基于半无限弹性体中的布西奈斯克解给出任意矩形外荷载作用下土体自由场中的水平及竖向应力及位移；然后基于弹性理论中的明德林解[12]，通过差分方法，将自由场与主动桩的解法结合起来，得到被动桩求解方法。

2.1 自由场分析方法

布西奈斯克给出了在均质各向同性的半无限弹性体表面作用一个竖向集中力Q 时（如图1 所示），弹性半空间中任一点M 的法向位移解[13]：

图1 直角坐标系布西奈斯克解示意图Fig.1 Schematic view of Boussiesq solutions in rectangular coordinate system

以集中荷载作用情况为基础，通过在荷载作用范围内积分即可求得不同堆载形式下土中位移分布。

本文采用二重积分的复合辛普森公式求解布西奈斯克公式积分[14]。求解积分∫∫Ωf(x,y)dx dy时（平面矩形区域为Ω={a≤x≤b,c≤y≤d},如图2 所示），将所求积分区域在x、y 方向分别等分为2n份和2m 份，即

图2 矩形均布荷载积分Fig.2 Integration of rectangular uniform load

将区域Ω划分成4mn个边长为h1、h2的小矩形之后，利用定积分复合辛普森公式，即得二重积分公式：

将布西奈斯克解位移表达式（1）、（2）代入上述二重积分公式，即可求解矩形均布荷载下自由场中相应的位移。

对于在半无限体平面内作用有一无限长度条形分布荷载的情况，基于矩形面积的数值积分求解，只需将式中x、y 的积分上、下界(a、b)、(c、d)中的一个区间相应地设定为无穷区间，如式（6），则积分区域就从矩形ABCD 变成了条形：

2.2 堆载作用下被动桩分析

2.2.1 单桩竖向与水平向承载特性分析方法

分析没有堆载影响时桩基的计算方法，如图3所示，在均质地基中，单桩桩长为L，直径为d，桩顶作用竖向力Q和水平力P，将桩土体沿桩身划分为n 段，Ep为桩身材料的弹性模量，Ip为桩身横截面的惯性矩。

图3 单桩计算示意图Fig.3 Schematic view of single pile analysis

基于差分法得到桩体竖向及水平向位移方程：

式中：{p}、{q}分别为沿桩各结点处的竖向及水平摩阻力和桩底处的端阻力；{w}、{u}分别为各结点处的竖向及水平位移；{Y}、{YL}分别为各结点处承受的竖向及水平荷载；Ip1、IpL1分别为桩体的竖向及水平方向位移系数矩阵。

对桩周土体做同样的划分，结合明德林解建立桩周土体竖向及水平位移方程：

式中：{w}、{u}分布表示桩周土体的竖向位移及水平位移；ISL1为由明德林解得到的土中某一节点水平应力在所有节点造成的水平位移的系数矩阵；IS1为由明德林解得到的土中某一节点竖向应力在所有节点造成的竖向位移的系数矩阵，其第i 行第j 列元素由以下公式给出：

ISL1第i 行第j 列元素由以下公式给出：

式中：x=d/2。

将上述式（8）及式（9）相加，即得到桩周土体水平、竖向位移表达式：

式中：I为单位阵。

2.2.2 堆载对桩基影响分析方法

考虑桩基附近有堆载影响时，首先分析堆载对桩不存在时的土体自由场造成的应力及位移场，再将该应力、位移施加到桩体。本文将堆载在土体自由场产生的位移施加到桩土共同体上，分析位移场作用下被动桩的应力及位移。

2.1 节中得到求解自由场中土体位移的方法。令求得的沿深度分布的土体竖直及水平位移分别为{ws}、{us}，将其作用在桩土共同体上说明被动桩中桩土作用与自由场位移、桩土共同体位移间的关系。

如图4 所示，桩基附近地表作用有堆载P。us所示曲线为无桩的自由场中桩基位置处土体在荷载作用下的位移（以水平位移u为例），u 所示曲线为有桩时，桩-土体的共同位移。由于桩土间相互作用的土抗力q，使得土体位移由us减小到u，即q 使土体发生的位移为us-u。同理，竖向摩阻力p 使土体发生的竖直位移为ws-w。因此，对此时的土体列位移方程，有

图4 被动桩分析示意图Fig.4 Schematic view of passive pile analysis

将土体位移方程与单桩位移方程式（7）联立得

由以上分析便得到了求解堆载作用下被动桩中竖向及水平向应力及位移的分析方法。

3 方法验证

利用上述方法计算堆载作用下自由场及被动桩的算例，与其他方法结果对比，验证方法的正确性。

3.1 表面堆载作用下土体自由场分析验算

如图5 所示，荷载分布矩形ABCD为边长为6 m的正方形，荷载大小P=20 kPa，计算轴线距矩形荷载边界的净距D=2 m。土的泊松比μ=0.3，土的弹性模量Es=5 MPa。计算得到自由场土体在矩形荷载作用下的位移场及应力场。

图6、7为本文方法与有限元法方法计算结果对比图，两者较为接近，仅有竖向位移及桩底附近的竖向应力略有差别，这些差别主要是由于边界约束条件不同造成的，即有限元计算中的模型具有一定的尺寸，其边界会对计算产生影响，而本文方法的计算是基于半无限体模型的。

图5 自由场计算示意图Fig.5 Schematic view of free-field analysis

图6 矩形荷载下简化方法与有限元法的自由场位移对比图Fig.6 Comparison of free-field deformations between simplified method and FEM under rectangular loads

图7 矩形荷载下简化方法与有限元方法自由场应力对比图Fig.7 Comparison of free-field stresses between simplified method and FEM under rectangular load

3.2 表面堆载作用下被动桩分析验算

本节对比本文方法与有限元法对表面均布荷载作用下被动桩的计算结果，计算示意图如图5 所示，桩轴线位于图中计算轴线处。桩体参数：长度L=21 m，直径d=0.5 m，桩的弹性模量Ep=40 GPa；土体参数同3.1 节中的设置。

图8 矩形荷载下简化方法与有限元法的被动桩弯矩对比图Fig.8 Comparison of moments in passive pile between simplified method and FEM under rectangular loads

图9 矩形荷载下简化方法与有限元法的被动桩轴力对比图Fig.9 Comparison of axial forces in passive pile between simplified method and FEM under rectangular loads

图10 矩形荷载下简化方法与有限元法的被动桩水平位移对比图Fig.10 Comparison of horizontal displacements in passive pile between simplified method and FEM under rectangular loads

图11 矩形荷载下简化方法与有限元法的被动桩竖直位移对比图Fig.11 Comparison of vertical displacements in passive pile between simplified method and FEM under rectangular loads

由图8～11 对比可知，矩形荷载作用下被动桩分析中，本文方法结果与有限元结果总体一致，弯矩及水平位移吻合较好，而轴力及竖直位移均略大于有限元结果，原因分析如下：由2.1 节分析知，本文方法计算的土体自由场中竖向位移结果相比有限元结果略大，因此将此结果代入被动桩求解方法中计算，导致求得的被动桩轴力及竖向位移比有限元计算结果偏大。

3.3 工程实例计算验证

陈雪华等[15]在拟建某高速铁路软土地基试验段，进行了桥台桩基在台后填土期间和填筑结束后的长时间跟踪观测，获得了地基台后路基填土过程中的第一手资料。本节将用本文方法计算其现场试验桩的应力，并与其实测成果进行比较。

根据现场资料以及Pastsakorn 等[16]提出的分层地基简化方法，取每层土的弹性模量为其压缩模量的20 倍进行计算，将试验地基简化成弹性模量为190 MPa 的均质土体，其泊松比取0.35；桥台桩基为钻孔灌注桩，设计桩径1.0 m，桩长43 m，桩内布有钢筋，本文计算中根据试验桩的材料组成将其简化为均质材料桩。台后路基填土分布荷载为108.575 kN/m2，路基堆载宽度为10 m，如图12 所示。

图12 工程实例示意图Fig.12 Schematic view of engineering example

图13 简化方法与工程实例的弯矩沿桩身分布对比图Fig.13 Comparison of moment distributions in pile between simplified method and engineering example

将本文计算结果与陈雪华等[15]给出的实测结果进行对比，如图13 所示。由图可以看出，本文方法对该实例中被动桩弯矩的计算结果与陈雪华等[15]在文中根据实测数据计算得到的结果十分接近，说明本文方法合理。弯矩在桩顶附近达到最大值，随后快速衰减至0 附近，然后至桩底趋于稳定。

4 结语

基于布西奈斯克解分析了地表有矩形或条形堆载作用下土体自由场中的水平及竖向位移场，得出堆载作用下自由场水平及竖向分析方法。结合弹性体系中明德林解以及桩的差分方程，分析了堆载作用下被动桩受力及位移，得出地表均布荷载作用下被动桩水平及竖向承载特性的分析方法。通过算例计算对比，发现本文方法计算结果与有限元方法结果及工程案例中的实测结果基本一致，说明本文方法正确，计算结果较为合理。

由此，本文为公路桥梁建设中评估弃方堆载及路堤堆载对临近桥梁桩基的影响提供了简便准确、实用性强的计算方法。

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