赖静LAI Jing

（阿坝师范高等专科学校，汶川623002）

0 引言

从1990年开始，日本经济就进入从快速增长转为长期低迷的周期。不过直至2000年才发现造成这种现象的原因，如日本的人口出生率较低，人均寿命不断增加，人口总量持续下降以及经济实力和人口主要集中在东京等地区。因此需要一种对各类信息进行定量分析的工具，从而了解经济资源，包括劳动力、生产材料、资金的分布情况，这也就是本文的出发点。首先最好是建立一种经济模型来获取地区之间经济资源的分布情况。尽管如此，该模型需要考虑到所有GDP宏观指标的变化。为了找出全国经济变化的原因，本文在马尔可夫链的基础上建立一种新的随机模型。这是一种简单的预测模型：在一个数字序列中，可以用前一项包含的信息推出后一项。此外它还是西姆斯1980年提出的向量自回归模型的一种形式。在经济预测方面，已经存在一些基于马尔可夫链的模型，并且大多数研究人员也提倡使用这些模型来衡量国家或地区之间经济融合的程度。在预测经济时，虽然诸如马尔可夫链一类的随机模型比计量经济模型更容易，但预测的结果并不总是可靠的。因此为了增加预测的可靠程度，我们进行蒙特卡罗试验，并给定一个预测区间。

1 预测模型

马尔可夫链是一个著名的推导概率链的工具。对于每个马尔可夫转移矩阵M=（pij）它的转移概率pij满足0≤（pij）≤1，Σi=1pij=1，一个线性概率链可推到为pt+1=Mpt，t=0，1，2…。令向量 Ft为周期 t内所有地方县市 GDP，Ft+1表示周期t+1内的值。假定矩阵Mt是Ft在Ft+1上的映射，因而有

假设Mt是特定时间下的转移矩阵，周期s后的共享向量Ft+s可表示为

因此，目前的国内生产总值GDP实际上可由马尔可夫链构造出一种模型。接下来我们会介绍一种用真实的经济数据估算转移矩阵Mt的方法，研究表明该方法可以度量收入分布的收敛性。通过收集每个国家或地区的经济数据，为样品总量假定一个合适的网格线，基于这个网格线对每个损益表进行分类，采用矩阵估算的方法对每个国家和地区的响应时间进行汇总。这种情况下，收入由高到低大体上可以被分成5种情形。然而这不能反映个人或区域内部收入的变化，因此为探讨地方县市经济数据的变化，本文在计算时作了以下处理，实现过程如下：

令Ft是一个3×1的矩阵，在时间t上的转移矩阵Mt是一个3×3的矩阵，形如

然而当概率矩阵Mt的每列之和等于1，即

公式可能无法保持马尔可夫链的特性。

因此我们引入了GDP增长总率gt作为调整参数，

有了这个参数后，公式就可以保持马尔可夫链的特征。

从而可将公式（4-1），（4-2），（4-3）变形为：

然而对矩阵Mt来说，光有这三个限制条件不足以证明它有唯一的的解，因而需要更多的限制条件。单位矩阵提供了Mt的一个平凡解，虽不是最理想的，但它同样是一种限制条件。假设分布在时间上变化不大，则矩阵Mt的元素和单位矩阵的元素类似。使用这种方法可以将矩阵Mt推广到N*N，基于下面的最小化过程可以估计Mt的每个元素。

其中ijk是单位矩阵i中第i行j列的元素，gt是GDP增长率总和

利用非线性规划可以求解这个最小化问题，从而可以得at,jk出的唯一解。

第三，我们需要为预测模型构造一个转移矩阵M。因为转移矩阵式在特定时间下通过估计得到的，所以我们考虑到使用元素的平均值

文中涉及到的预测，模拟和蒙特卡罗实验都是基于平均转移矩阵

2 数据

本文中涉及到的数据来自于47个地方县市的年度财政报告。GDP平减指数是基于2000年的同比价格指数。从1996年开始到2000年官方每年都发布了实际GDP环比价格指数，而1995年及之前的数据是用1995年的实际GDP环比价格的增长率来估计的。1990-2007年使用的数据也是官方公布的财政年度数据。为了将财政年度转换为日历年度，我们将官方公布的GDP数据除以4，然后将本年第一季度的GDP加入到上一财年中。

其次，在分析中县市之间的人口差异是我们遇到的一个问题。既然本文探讨的是各县市的GDP变化，故将2007年确定为人口基准年，使用2007年的人口数据就可以将人均国内生产总值转化为地方县市GDP总量。因此,若某年度的人口规模小于（或大于）2007年的,那么该年度的GDP的估值也相应地大于（或小于）2007年，故可以消除测量周期内人口数量变化对预测造成的影响。

3 仿真

我们把仿真过程分为三个部分。首先,基于方程（9）我们使用马尔可夫链对2008-2020这个时间段进行预测。接下来我们将一个经济震动值加入到马尔可夫链转移矩阵中，然后对新的预测结果进行分析。模拟的经济震动是一些自然灾害造成的，如2011年3月发生的日本大地震。最后，我们为经济震动之前和之后转移矩阵中的每个元素增加一个不确定性，并进行蒙特卡罗实验目的是为了让计算结果具有鲁棒性和准确性。从今以后，在展示分析解析细节和结果的时候，我们可以将蒙特卡罗实验分为经济震动之前和经济震动之后两个部分。

3.1 蒙特卡罗实验前不确定性轨迹分析 表1显示了基于方程（9）转换矩阵的部分预测结果。这个转移矩阵是基于1990-2007年方程7的最优化问题并通过算术平均进行计算得到的。该表显示转移中北海道对北海道概率的为0.991877，北海道对青森县为0.000117。我们使用转移矩阵已经预测到2020年的结果。由于仅仅通过乘以一个转移矩阵不可能描述整个日本经济的增长情况，所以我们需要在转移矩阵中插入一个模拟的1%的外生增长率从而导致概率的变化。其次，需要考虑到大地震带来的经济震动。2011年日本东部的大地震直接或间接地对许多县市造成破坏，其中东北的岩手县、宫城县和福岛县遭受的破坏最为严重，灾后的经济恢复需要花费相当长的时间。反映灾难对经济造成冲击的一种方法是改变转移矩阵元素的值。许多因素对GDP来说都很重要，如资本存量，在自然灾害中，资本往往会遭受到重大损失，从而对GDP造成负面影响。因此我们可以用一个小于1的因子去乘以转移矩阵中的每个元素，使得GDP小于经济震动前的值。接下来假定地方县市受经济震动的程度：青森0.95，岩手县0.90，宫城县 0.90，福岛县 0.90、茨城县 0.95，千叶县 0.97，东京0.97。这些经济震动率适用于所有的县市。

通过比较有无灾难发生的情形，在进行蒙特卡罗实验之前评估确定性路径。这些数字可以同时代表发生地震的县市和整个国家的情况。每个县市的经济增长率有所不同，因而区域之间自然也存在差异，此外一旦插入经济震动后，在发生经济震动的年份国家和地方县市的经济增长率会有所下降，但之后会慢慢恢复。然而经济复苏并不能克服经济冲击带来的经济增长率的下降问题。人们普遍认为转移矩阵中的元素一年只会变化一次，原始矩阵会结转到下一年。接下来我们分析一下仿真结果是如何对整个国民经济的变化进行预测的。表2显示了从2007年到2020年地方各县市GDP总的变化情况，而非年度平均变化。既然给定了每年1%的外生增长率，那么在此期间的经济变化会超过13%。低于平均增长率10%或者更多的地方县市有北海道，千叶县，神奈川县，大阪市，和兵库县，如果不算上北海道和冲绳县，除了爱知县外，其它许多经济强县（市）都会低于平均增长率水平。因此该模型显示的经济变化表明地区性差异是可约的。另一方面，从震后经济变化情况来看，受地震影响大的县市其经济增长率下降的幅度也大，受地震影响小的县市其经济增长率下降的幅度也小。而在其余的县市，它们的经济增长率也受地震影响而有所下降，但下降的幅度基本可以被忽略。

3.2 蒙特卡罗实验后不确定性轨迹分析 接下来，我们讨论一下这些不确定性轨迹的情况。蒙特卡罗实验需要的数据基于对方程（9）中的转移矩阵进行估计而获取到的信息。该实验基于”不确定性是转移矩阵的要素之一”这个假设进行的。即给表1中的数据给定一个区间,利用蒙特卡罗实验进行预测。根据正态分布的平均值和标准偏差，假定表1中的数据具有一定的区间宽度。表1中的数据就是平均值，而标准偏差可以从1990-2007每一年的转移矩阵中计算机得到的。即蒙特卡罗实验是根据正态分布的平均值（表1）和正态分布的标准偏差（表3）产生一个随机数进行的。既然实验包含了对经济震动的模拟，所以就得比较经济震动发生之前一段时间和发生之后一段时间的情况进行比较。假设在进行蒙特卡罗实验时，产生了300个随机数字，实验的次数越多，预测的结果就会越精确，但是计算也会更复杂。所以本文在研究中，将为实验重复的次数设定在一个范围内，这样处理起来就更简单些。

表1 转移矩阵（平均）

表2 每个县市GDP的变化（2007-2020的变化率单位%）

表3 转移矩阵的标准偏差

表4 震前各县市GDP的平均值和变异系数（蒙特卡罗实验后1）

表5 震前各县市GDP的平均值和变异系数（蒙特卡罗实验后2）

表4和表5显示蒙特卡罗实验之后，每一个县市在经济震动发生之前GDP的平均值和变异系数。变异系数（CV）=标准偏差/算术平均值,因为设置的时间是2020年，所以变异系数的值变大了。在给每一年的转移矩阵产生一个随机数的时候，和当前的时间相差越久，不确定性就会增加的越多，然而这个值大约为2%。由于表3中的数值非常小，因而不确定性明显也很小。当前日本的经济增长率小于1%，尚不清楚使用标准偏差是否会带来2%的不确定性。此外，尚未观察到变异系数中的地区性差异。

表6和表7显示蒙特卡罗实验后，每个县市在经济震动之后GDP的算术平均值和变异系数的情况。由于地震发生在2010-2011年间，2010年的数据和表4和表5中的数据相同，所以就被忽略了。表的右半部分显示地震发生前的比较情况。在发生地震的县市，平均值之间的差异在2015-2020年间会变小，灾后经济将逐步恢复。尽管变异系数在发生地震的县市会变大，但是在其他县市会略有降低。或许将来经济恢复的不确定性和变异系数一样会因为地震的原因而增加。

最后我们探讨一下地震发生前后蒙特卡罗实验样本重复的程度。在蒙特卡罗实验中采用对数和0.005的宽度，在各县市震前的水平上计算2015-2020年间的平均值，从而可以建立一个频率表。然后就可以计算出地震发生前后蒙特卡罗实验样本的重复率。表8显示，若样本重复率接近100%的话，地震发生前后概率分布是相同的。一般情况下尽管重复率接近100%，没有发生地震的县市仍没有显现出来，因为地震对这些县市只造成一些轻微的影响。另一方面，宫城县和福岛县没有任何重复的蒙特卡罗实验样本，即使假定存在不确定性，他们仍不能扭转灾后经济下滑的趋势。受地震影响较小的一些县市，如东京，它们的样本重复率大概为30%。即使这个县市遭受了地震的影响，不确定性也会抵消地震带来的负面效应。

表6 震后各县市GDP的平均值和变异系数（蒙特卡罗实验后1）

表7 震后各县市GDP的平均值和变异系数（蒙特卡罗实验后2）

表8 地震前后多样性分布（%）

4 结论

本文在研究中使用了随机模型以此来显示日本各地方县市GDP的变化情况，并对它们进行预测。此外在研究中我们还采用了随机模型的概率元素，分析预测了经济震动如日本东部大地震对经济造成影响的情况。我们同样也考虑到把经济恢复趋势作为一种可行的方法来预测今后自然灾害可能对经济造成的冲击。在蒙特卡罗实验中加入不确定性之后，应用随机预测模型证明一些负面影响如灾难冲击是可以被忽略的。然而这种随机预测模型也需要不断进行改进，例如县市间的相互影响较小，尽管如此，仍会对劳动力、原材料和资金带来越来越大的影响。尽管存在一些不足，该模型仍对日本经济的未来提出发人深省的问题。

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