王秋宝 王凡梅

摘要：高等数学是大学本科一门重要的公共基础课程，本文针对高等数学教学现况，结合作者自身的教学实践以及课程本身的特点和教学目的，以微积分的基本定理的教学为例，探讨对高等数学的教学方法的改革。

关键词：高等数学；微积分基本定理；教学方法

一、微积分的研究对象

谈到微积分，很多教师会和学生交代其是牛顿和莱布尼茨所发明，其实只能说是二人完成了主要部分。早在笛卡尔引入了变数，运动也就进入数学，微分和积分也就立刻变成了必要。正如列宁在《谈谈辩证法问题》中指出：数学中的加号与减号，微分与积分，与力学中的作用与反作用，以及化学中原子的化合与分解是相同的。我在此文中继承列宁的说法，高等数学中的微积分是研究微分与积分这对矛盾的学科。

二、高等数学的教学现况

我们现今的教学，由于课程科目多，所以很多课程要面临缩减课时，进而就要精简内容，尤其是高等数学就不得不对很多定理只叙述，不证明推理。而对于教育的受体——学生，为了考试，也就疲于应付，埋身于题海之中，苦不堪言。也正是因为这样，使得很多大学生对高等数学产生“恐惧”，从心理上拒绝，这样就会影响到听课效率，进而学习效率也会降低，而数学是注重逻辑的学科，前后知识环环相扣，学生一次课跟不上，那就次次跟不上，导致最后放弃。

当然，对于基础的工具课程，熟练其计算方法势必要有足够练习作为保障，但是“磨刀不误砍柴工”，在具体实施之前应该对所要加工处理的对象有个整体的把握。对于一些定理，我们是可以根据学生专业特点对其证明过程做一些适当的舍弃，以免学生产生畏惧，但是作为高校教师的我们一定要注意虽然证明可以舍弃，但是其定理的思想一定要交代清楚。不然，会使得学生仅仅掌握高等数学知识，而在数学素质的提高上收效甚微，考试时也只能是依葫芦画瓢，对于知识并没有真正理解掌握。长此以往，学生会产生疑惑：“高等数学除了应付考试还有何用？”

针对传统数学教与学方面存在的种种不足以及高等数学本身的特点和教学目的，我以高等数学微积分中的基本定理为例，探讨一下除了在教学上采用多媒体这些先进工具之外，更应该去了解和学习的是对知识本身的深层挖掘以及理论联系实践的重要性。

三、微积分基本定理的教学

微分与积分的启蒙思想可以追溯至上千年之前，直到牛顿和莱布尼茨给出并且证明了如下的微积分基本定理，才标志着微积分的诞生。故而，这个基本定理也叫牛顿——莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。定理1：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且存在原函数F（x），则f（x）在[a，b]上可积，且F（x）是f（x）的一个原函数，则

■f（x）dx=F（b）-F（a）

在讲授这个定理时，教师经常会把此式和定积分的计算放在一起，将其作为定积分计算的依据，使得定积分的计算有了一个完善、令人满意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。这是一个很大的误导，会导致学生把这个定理认定是一个简单的计算的理论依据而已，对其重要性会失去认识，更严重的是使得学生失去了解微积分本质的机会。对于这个定理，我可以改写成下面两种等价的形式：定理2：若函数f（t）在区间[a，b]上连续，且x是[a，b]内的一个点，令

F（x）=■f（t）dt

则F（x）在[a，b]上可微，并且dF（x）=f（x）dx。

定理3：若函数F（x）在[a，b]上可微，且dF（x）=f（x）dx，那么

■f（t）dt=F（x）-F（a）

这两种不同的表现形式反映整体性质的积分和反映局部性质的微分在某种意义下是相互决定着的，这是一对互逆的运算。这个定理之所以成为基本定理，是因为其是整个微积分的核心部分，也是联系微分和积分的必不可少的桥梁。为了深刻认识其重要性，可以先回顾一下一元函数的微积分定义。

定义1：设函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，若极限

■■

存在，则称其为函数f（x）在x0处的导数，记作■或f'（x0），即■■=■。而相应的df（x0）称为函数在x0处的微分。

定义2：设函数f（x）在[a，b]上的一个有界函数，在[a，b]内任取n-1个节点，a=x0

对于一元函数的定积分在几何上可以理解为曲边梯形的面积，就最简单的幂函数而言。我们可以看到利用“分割、近似、求和、取极限”方法来求得积分都是极难的。更何况，采用不同的分割方法会得到不同的极限形式，即使就某一种你得到极限也无法证明其即为所求。但是，有了前面的基本定理，只要我们想到微分和积分是互为逆运算，那么求积分的问题仅仅就是寻求f（x）的一个原函数，这种做法绕开了刚才的难点，不会受到求极限或者不同分割方法的困扰。

在此之后，我们应该对其物理上的意义在做些探讨，对于一个函数，如果其表示物体直线运动的速度，那么其在区间[a，b]的定积分可以理解为物体从时刻a到b的路程。在多元函数微积分的基本定理中物理意义更是十分重要。为了说明这一点，我们先回忆下多元函数的微积分基本定理的几个表现形式：格林定理、斯托克斯定理以及高斯定理。这三条定理在数学上表述的都是一个内容：一个区域边界上与其内部积分的关系。南开大学的陈省身先生曾经指出，对于这几个公式，都可以归结为外微分形式和积分之间的关系，即我们在一元函数微积分中提出的微分和积分，这里只不过是将微分发展为外微分，何为外微分可以参考文献。我们可以据此将三个定理中的公式总结如下：

■■ω=■dω

这个公式告诉我们：外微分形式在一个区域上的积分等于比自身低一次的外微分形式在区域的边界上的积分。也就是说，外微分与积分就和物理的正电和负电，化学的化合和分解一样是互相抵消的。这个公式是微积分学的顶峰，是数学中美轮美奂的定理之一。当然要陈述清楚这点，需要学生对外微分要有一个认识。按照很多大学课程的设置，在学生学习这几个定理的同时，大学物理正好学到几个重要的“度”：即梯度、旋度和散度。在我们的课程里可以将其和微积分基本定理联系起来，对于函数f（x）这几个度分别对应着它的一次，二次和三次外微分形式。那么我们的那几个基本定理也就有了它们的物理意义。借助于此学生也就会理解在教材里指出那几个公式的物理意义是什么意思？还可以引导学生去思考为何没有其他的微积分定理以及物理上为何没有第四个“度”，这样理论联系实际学生学起来才会事半功倍，对数学才不会“望而生畏”。

四、小结

上面我以微积分基本定理为例来说明在教学方法的改革中，我们不应该只注重整合教学大纲，使用多媒体教学工具，甚至利用网络中微博、微信等建立网络教学互助平台等这些外在的内容，更要加强在具体课堂教授中对知识本质的把握，帮助学生尽快抓住其根源，达到学习时事半功倍的目的。

参考文献：

1.《马克思恩格斯选集》第3卷，人民出版社，1995年。

2.《毛泽东选集》第1卷，人民出版社，1991。

3.《列宁选集》第2卷，人民出版社，1995年。

4.同济大学数学系编，《高等数学（第六版）》[M]，高等教育出版社，2009。

【责编 张景贤】