鲁红英，王林琪

(1.成都理工大学 信息科学与技术学院，四川 成都 610059;2.成都理工大学 能源学院，四川 成都 610059)

0 引言

20世纪70年代初，美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂提出了将定性和定量分析结合的层次权重决策方法—层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)，该方法主要是针对一些较为复杂、较为模糊的问题做出决策，合理地将定性与定量的决策结合起来，按照人们思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题.［1-3］1982年以来，层次分析方法以其系统性的分析方法、简洁实用的决策方法和所需定量数据信息较少的特点，在我国社会经济各个领域内迅速得到了广泛的重视和应用.如在能源系统分析、经济管理、科技、文化、军事、环境和社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用.

1 层次分析法的基本原理

在日常生活中，往往会遇到面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案，这就是所谓的决策.层次分析法求解问题的基本思路遵循“分解-建立-计算-检验-评判”的原则，首先根据问题的性质和要达到的总目标，分解影响决策所要考虑的因素，按照因素间的相互关系及隶属关系建立合理的多层次结构模型，根据诸因素的相对重要性构造判断矩阵，计算矩阵的特征向量(权向量)，进行一致性检验，最后对所要决策的问题做出综合评价.运用层次分析法建立模型时，基本步骤是:建立层次结构模型;构造判断(成对比较)矩阵;层次单排序及其一致性检验;层次总排序及其一致性检验(如图1所示).

图1 层次分析法建模步骤

2 层次分析法求解过程

2.1 建立层次结构模型

根据所需决策的问题进行深入分析，将有关因素自上而下分层(目标—准则—方案)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，构造出一个层次结构模型(如图2所示).层次结构模型一般分为目标层、准则层和方案层三层.目标层即最高层，目标层中只有一个元素，表示决策的目的、要解决的问题，最后要达到的总目标;准则层即中间层，表示实现预定总目标所涉及的中间环节表示考虑的因素，它可以由若干个层次组成;方案层即最底层，表示为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等.

图2 层次结构模型

2.2 构造判断矩阵

层次结构反映了各因素之间的关系，在决策者的心目中，准则层中的各指标在目标衡量中所占的比重并不一定相同，而是各占一定的比例.Saaty等人提出采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵办法，即每次取两个因子Xi和Xj，以Aij表示Xi和Xj，对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为X-Z之间的成对比较判断矩阵(简称判断矩阵).［4-5］在构造判断矩阵时，确定aij的值，引用数字1-9及其倒数作为标度，1-9标度的含义如表1所示.

表1 1-9标度含义

2.3 层次单排序及一致性检验

在层次结构模型中，层次单排序是指对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序.［6-8］

(1)计算成对比较矩阵的最大特征值λmax及其对应的特征向量W.

设给定判断矩阵A，

式中λmax为 A的最大特征根，W为对应于λmax的正规化的特征向量，W的分量ωi即是相应元素单排序的权值.为检验判断矩阵的一致性，需要计算一致性指标CI、平均随机一致性指标RI和一致性比率CR.

(2)计算一致性指标CI

(3)查找随机一致性指标RI

表2 随机一致性指标RI

(4)一致性比率CR

当随机一致性比率CR＜0.1时，认为层次分析排序的结果具有满意的一致性，即权系数的分配是合理的;否则，要调整判断矩阵的元素取值，重新分配权系数的值.

2.4 层次总排序及一致性检验

层次总排序是指计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值.［9］

(1)计算层次总排序

设准则层A中 m个因素 A1，A2，…，Am对总目标Z的排序为a1，a2，… am，方案层B中n个因素对准则层A中因素为Aj的层次单排序为b1j，b2j，…，bnj(j=1，2，…，m)

(2)计算层次总排序的一致性比率CR

设B层B1，B2，…Bn对上层(A层)中因素Aj(j=1，2，…m)的层次单排序一致性指标为CIj，随机一致性指标为RIj，则层次总排序的一致性比率为:

当CR＜0.1时，认为层次总排序通过一致性检验.层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值.到此，根据最下层(决策层)的层次总排序做出最后决策.

3 实例试算

在商品房选购时，选购者考虑的主要因素有:价格、楼层、方位、通透性等情况，基本确定从三款房型中选择一款套型.根据已有信息建立了一个层次结构模型(如图3所示).

图3 房屋选购层次结构

根据层次分析法的原理及求解过程，准则层的判断矩阵如表3所示，方案层的判断矩阵如表4所示.

表3 准则层判断矩阵

表4 方案层判断矩阵

表5 层次总排序结果

从表5中可以得到:根据层次总排序的结果，单一排序和总排序的一致性检验值CR均小于0.1，该决策结果是可以接受的.该选购者最满意的房屋套型是套型2，最不满意的套型是套型3.同时也可以得到:价格最高的是套型1，楼层最好的是套型2，方位最好的是套型1，通透性最好的是套型2.

［1］许树柏.层次分析法原理［M］.天津:天津大学出版社，1998:52.

［2］王莲芳.层次分析法引论［M］.北京:中国人民大学出版社，1990:37.

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［5］Saaty T L.Exploring the Interface between Hierarchies，Multiple Objectives and Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1978(1):57-68.

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［7］胡 彦，张俊婷，陈 诚.一种改进的判断矩阵排序的优化模型［J］.合肥学院学报，2008(4):18-22.

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