陈松良, 蒋启燕

(1.贵州师范学院 数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550018；2.贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550001)

关于108阶群的完全分类

陈松良1, 蒋启燕2

(1.贵州师范学院 数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550018；2.贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550001)

设G是108阶群，对群G进行了完全分类，证明了G共有45种互不同构的类型.若Sylow子群都正规，则G有10种；若Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规，则G有7种；若Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规，则G有28种；若Sylow子群都不正规，则G不存在.

有限群； 同构分类； 群的构造

0 引言

决定n阶群的构造是有限群论中一个基本分类问题.当p是奇素数且p≠3时，文[1]确定了22p3阶群的构造，所用方法与文[2-3] 的相同. 本文用新方法确定2233，即108阶群的全部构造，结论见定理1.

定理1设G是108阶群，则G共有45种互不同构的类型，其中Sylow子群都正规的有10种，Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规的有7种，Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规的有28种，并且不存在Sylow子群都不正规的108阶群.

1 定理证明

引理1如果G是108阶有限幂零群，则G恰有10种互不同构的类型：1)G1≅C108；2)G2≅C54×C2；3)G3≅C36×C3；4)G4≅C18×C6；5)G5≅E27×C4；6)G6≅E27×E4；7)G7≅A×C4；8)G8≅A×E4；9)G9≅B×C4；10)G10≅B×E4.

下面讨论G是108阶非幂零群的同构分类问题.

(i)P是27阶循环群.设P=〈x〉，则CP(Q)=〈x3〉.于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构,因此不难得知G的构造是G11.

(ii)P是交换群C9×C3.设P=〈x,y|x9=y3=1=[x,y]〉，则CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.

首先，设CP(Q)是P的9阶初等交换子群，则CP(Q)=〈x3,y〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，可设ax=b,bx=ab. 这时〈y〉◁G，〈a,b,x〉◁G，从而G=〈y〉×〈x,a,b〉=〈y〉×(〈x〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4),因此G的构造是G12.

其次，设CP(Q)是9阶循环群.注意到P的每个9阶元都可看成P的一个生成元，于是不妨设CP(Q)=〈x〉，而y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以可设ay=b,by=ab. 显然G=〈x〉×(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4)，C3∝E4≅A4，故G的构造是G13.

(iii)P是初等交换群E27.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是G=〈y,z〉×(〈x〉∝〈a,b〉)，而〈x〉∝〈a,b〉≅A4，故G的构造是G14.

(iv)P是非交换群A.这时CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.当CP(Q)为P的9阶正规循环子群时，不妨设CP(Q)=〈x〉，于是y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G=〈x〉∝(〈y〉∝〈a,b〉)≅Z9∝A4，故G的构造是G15.

当CP(Q)为P的9阶正规初等交换子群时，必有CP(Q)=〈x3〉×〈y〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G16.

(v)P是非交换群B.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G17. 证毕.

证明设P=Z27=〈x〉，则Aut(P)是18阶循环群. 又因为Q不正规，所以Q/CQ(P)是2阶群，从而CQ(P)也是2阶群. 当Q是4阶循环群时，设Q=〈a〉，则CQ(P)=〈a2〉，故G的构造是G18. 当Q是4阶初等交换群时，设Q=〈a〉×〈b〉，不妨设CQ(P)=〈b〉，从而G的构造是G19. 证毕.

证明此时显然P的Frattini子群Φ(P)=〈x3〉是3阶群，而Φ(P)charP,P◁G,于是Φ(P)◁G.又不难证明〈x3,y〉 是P的唯一的9阶初等交换子群， 从而它是P的特征子群，于是它又必是G的正规子群. 既然〈x3〉与〈x3,y〉都是Q-不变的，由Maschke定理[4]知,〈x3〉在〈x3,y〉中有3阶Q-不变补子群，不妨设其为〈y〉. 又〈x3,y〉/〈x3〉是9阶初等交换群〈x,y〉/〈x3〉的Q-不变子群，再由Maschke定理知〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中有3阶Q-不变的补子群〈xiyj〉/〈x3〉，其中i=1,2,4,5,7,8,j=0,1,2. 但〈xiyj,y〉=〈x,y〉，故不妨设〈x〉/〈x3〉是〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中的3阶Q-不变的补子群，因而〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 由于Q/CQ(x)同构于Aut(〈x〉)的一个子群，但Aut(〈x〉)是6阶循环群，所以CQ(x)是2阶群或等于Q. 同理，CQ(y)也是2阶群或等于Q，但显然CQ(x)与CQ(y)不能同时等于Q.若CQ(x)是Q，而CQ(y)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(y)=〈a2〉且ya=y-1，因此得G的构造为G20.

当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(y)=〈b〉 ，而ya=y-1，于是G=〈x,b〉×〈a,y〉≅C18×S3，因此G的构造为G21.

若CQ(y)是Q，而CQ(x)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(x)=〈a2〉且xa=x-1，因此得G的构造为G22.

又当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(x)=〈b〉，而xa=x-1，于是G=〈y,b〉×〈a,x〉≅C6×〈a,x〉，因此G的构造为G23.

若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有xa=x-1，ya=y-1，因此G的构造为G24.

若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，而Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，则当CQ(x)=CQ(y)时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，于是xa=x-1，ya=y-1，因此G的构造为G25.

若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，但CQ(x)≠CQ(y)，则不妨设CQ(x)=〈b〉，CQ(y)=〈a〉，于是xa=x-1，yb=y-1，因此G的构造为G26. 证毕.

证明设P=E27=〈x〉×〈y〉×〈z〉.

(i)假定G是超可解的.这时G的主因子都是素数阶循环群，所以不妨设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群，于是CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是Q或2阶群，但不能全是Q. 当Q=〈a〉是4阶循环群时，Q中只有一个2阶子群〈a2〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，则CQ(x)=〈a2〉，且必有xa=x-1，从而G的构造为G27.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q，则CQ(x)=CQ(y)=〈a2〉，且必有xa=x-1，ya=y-1，从而G的构造为G28.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群，则xa=x-1,ya=y-1,za=z-1，因此G的构造为G29.

当Q=〈a〉×〈b〉时，Q中有3个2阶子群〈a〉，〈b〉，〈ab〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，CQ(x)=〈b〉，则xa=x-1，所以G=〈y,z,b〉×〈x,a〉≅E9×C2×S3，于是得G的构造为G30.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中只有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q. 则当CQ(x)，CQ(y)是2个相同的2阶群时，可设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，从而G的构造为G31.

而当CQ(x)，CQ(y)是不同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉，于是不难看出G=〈z〉×〈x,b〉×〈y,a〉≅C3×S3×S3，从而G的构造为G32.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群时，则当它们都相同时，不妨设都是〈b〉，于是易见G的构造为G33.

而当它们中有2个相同但另一个不同时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈a〉，于是G=〈z,b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，且〈z,b〉≅S3，xa=x-1,ya=y-1，从而G的构造为G34.

而当CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)是3个互不相同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉，CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈ab〉，于是xb=x-1，ya=y-1，za=zb=z-1，故G的构造为G35.

(ii)假定G不是超可解的.由于P可看成是3元域F3上的3维线性空间，对于Q中任意一个元素a，它在P上的作用对应F3上3维线性空间的一个线性变换，仍用a表示. 如果P是G的极小正规子群，则Q在P上的作用是不可分解的. 于是Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)是F3上的3次不可约多项式. 但a4=1，所以f(λ)应为λ4-1的因式，这是不可能的. 因此P不是G的极小正规子群. 又G不是超可解的，所以G应有一个9阶极小正规子群，不妨设其为〈x〉×〈y〉. 这时Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)有一个2次不可约因式，且是λ4-1的因式．由此不难得出f(λ)=(λ2+1)(λ-1)或f(λ)=(λ2+1)(λ+1)，从而Q只能是4阶循环群，这时G有2种不同的构造G36，G37. 证毕.

证明设P=〈x,y|x9=1=y3,xy=x4〉，不难验证Z(P)=〈x3〉且〈x3,y〉是P的唯一的9阶初等交换子群，因而它们都是G的正规子群，从而G是超可解的. 类似于引理4的证明，可设〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 若Q是4阶循环群〈a〉，则因为[x,y]=x3∈Z(P)，所以当xa=x-1,ya=y-1时，[x,y]a=[xa,ya]=x3≠(x3)a，矛盾；当xa=x,ya=y-1时，[x,y]a=[x,ya]=x-3≠(x3)a，亦矛盾，因此只能有xa=x-1,ya=y，于是G的构造为G38. 若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则CQ(x)与CQ(y)是2阶群或Q. 类似于上段的讨论，必有CQ(y)=Q，从而CQ(x)必是2阶群，不妨设CQ(x)=〈b〉，于是G的构造为G39. 证毕.

证明P=〈x,y,z|x3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z],[x,y]=z〉，则Z(P)=〈z〉，于是P/〈z〉=〈x,y〉/〈z〉是Q-不变的9阶初等交换群.

首先，如果G是超可解的，那么〈x,y〉/〈z〉有3阶Q-不变子群，不妨设其是〈x,z〉/〈z〉，由此又知〈x,z〉是Q-不变的9阶初等交换群，所以由Maschke定理知〈z〉在〈x,z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈x〉. 同理，因为〈x,z〉/〈z〉是〈x,y〉/〈z〉的3阶Q-不变子群，所以〈x,z〉/〈z〉在〈x,y〉/〈z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈y,z〉/〈z〉，从而〈y〉也是Q-不变子群. 总之，可设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群. 若Q是4阶循环群〈a〉，则xa=x或xa=x-1，ya=y或ya=y-1，za=z或za=z-1，注意到[x,y]=z且Q不正规，所以能够成立的情况有3种：(i)xa=x-1,ya=y,za=z-1；(ii)xa=x-1，ya=y-1，za=z；(iii)xa=x,ya=y-1,za=z-1. 但在(iii)中，若将x,y互换，同时将z,z2互换，则得(i)，因此由(i)或(iii)得到的G的构造同构，这时G的构造为G40. 由(ii)得到的G的构造为G41.

若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则类似于上段的讨论可知，〈a〉在P上的作用可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈a〉P. 同理，〈b〉在P上的作用也可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈b〉P. 所以，如果CP(a)，CP(b)中恰有一个是P时，不妨设CP(b)=P，则G=〈b〉×〈x,y,z,a〉，于是得G的2种不同的构造G42，G43.

如果CP(a)，CP(b)都不是P时，则可能有4种情况出现：(a)xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(b)xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；(c)xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(d)xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y-1,zb=z.

若条件(a)或(d)成立，则CP(ab)=P，又〈a,b〉=〈ab,b〉=〈a,ab〉，由此不能得到G的新的构造. 若在条件(c)中将a,b互换位置，则得条件(b)，所以由(b)或(c)可得到G的一种新的构造G44.

其次，如果G不是超可解的，那么Q在〈x,y〉/〈z〉上的作用是不可分解的. 又〈x,y〉/〈z〉可看成是3元域F3上的2维线性空间，Q中任意一个元素a可看成是F3上的2维线性空间的一个可逆线性变换. 类似于引理5的证明中(ii)讨论，可知Q只能是4阶循环群，且可设Q=〈a〉，xa=y,ya=x-1，再由[x,y]=z得za=z，从而G的构造为G45. 证毕.

引理8设群G的阶为108=22·33，则G的Sylow 2-子群或Sylow 3-子群正规.

由以上8个引理可知，定理1成立.

[1] 刘立，景乃桓. 22p3阶群的构造(p≠3)[J]. 应用数学，1989，2(3)：91-96.

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[3] Lin H L. On groups of ordersp2q,p2q2[J]. Tamkang J Math, 1974, 5(2)：167-190.

[4] Kurzweil H, Stellmacher B. The Theory of Finite Groups[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2004.

[5] Robinson D J S. A Course in the Theory of Groups[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1982.

[6] 徐明曜. 有限群导引[M]. 北京：科学出版社, 1999.

[7] 高辉，高胜哲. 某些s-正规子群对有限群结构的影响[J]. 郑州大学学报：理学版，2011, 43(1)：7-10.

[8] 杨立英，宋玉. 极大子群的次正规完备与有限群的可解性[J]. 四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(5)：655-658.

OntheClassificationofGroupsofOrder108

CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalCollege,Guiyang, 550018，China；2.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang, 550001，China)

LetGbe finite groups of order 108. It was showed thatGhad 45 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was normal,Ghad 10 nonisomorphic types. If every Sylow 2-subgroup was normal and every Sylow 3-subgroup was non-normal,Ghad 7 nonisomorphic types. If every Sylow 3-subgroup was normal and every Sylow 2-subgroup was non-normal,Ghad 28 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was non-normal,Ghad 0 nonisomorphic types.

finite group; isomorphic classification; structure of group

2012-08-16

贵州省自然科学基金资助项目，编号2010GZ77391.

陈松良(1964-)，男，副教授，博士，主要从事代数学及其应用研究，E-mail: chsl2006@yahoo.com.cn.

O 152.1

A

1671-6841(2013)01-0010-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2013.01.003