王苗苗，柯福阳

（1.同济大学 测绘与地理信息学院，上海 200092；2.南京信息工程大学 遥感学院，江苏 南京 210044）

大量实践表明，利用GPS进行平面相对定位的精度很高（平面相对精度已达到了0.1～1ppm，甚至更高［1］），这是常规的测量技术所难以达到的。由于GPS测量所用的高程基准面（WGS－84参考椭球面）与实际应用中的高程基准面（似大地水准面）不同，因而需要在两个高程基准面之间以一定的精度进行转换。由于受区域性的大地水准面精度及电离层延迟误差等因素的影响，进行基准转换后的高程精度还不够高［2］，未能够发挥GPS测量提供三维坐标的优越性，因而有必要对GPS高程测量的理论和高程测量的方法进行研究，以促进其在测量实践中的应用。

似大地水准面和参考椭球面之间的距离，称作高程异常，记为ζ，大地高与正常高之间的关系可以表示为

传统的几何水准测量方法虽然精度高，但实施起来不但费时而且效率不高。利用GPS测量成果和水准测量成果确定似大地水准面的方法称为GPS水准。

GPS水准高程的基本思想是：在GPS网中联测一些水准点（要求这些点分布均匀、密度适宜），再利用这些公共点上的正常高Hr和大地高H（GPS测量获得）求出它们的高程异常值ζ，然后根据这些点上的高程异常值ζ与平面坐标x，y（由GPS网平差获得）的关系，用最小二乘法拟合出测区高程异常分布的数值模型（即拟合出测区的似大地水准面），最后利用拟合的似大地水准面进行内插计算，获得其他待定点的高程异常值ζ，利用式（1）或式（2）求出各未知点的正常高［3］，其主要方法有平面拟合法、曲面拟合法、曲线拟合法和神经网络法。

1 多项式曲面拟合法

多项式曲面拟合法的基本思想是：在小范围GPS网内，将似大地水准面看成曲面，将高程异常值ζ表示为相应点的平面坐标x，y的函数，根据网中起算点（进行了GPS测量同时又进行几何水准测量的点）已知的高程异常值ζ将测区的似大地水准面形状确定下来，然后求出其余各个待定点的高程异常值ζ，根据ζ＝H－Hr求出其他点的正常高Hr。假设n个点的高程异常ζ与其平面坐标x，y都有以下关系：

式中：f（x，y）为ζ中趋势值（拟合的似大地水准面），ε为拟合误差。

设

式中：a0，a1，a2，a3，a4，a5，…为待定系数。写成矩阵形式有

式中：

对于每一个已知点，都可列出方程（5），在∑ε2＝min的条件下，解出各未知参数ai，再按式（5）求出待求点的高程异常ζ，从而求出正常高Hr［4］。

2 神经网络法

人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN），亦称为神经网络（Neural Network，NN），是对人脑的抽象、简化和模拟，反映人脑的基本特征。人工神经元（Neurons）是神经网络的基本处理单元。一种简化的神经元结构如图1所示，是一个多输入、单输出的非线性原件。

图1 人工神经元模型

xj（j＝1，2，…，N）为神经元i的输入信号，wij为突触强度或连接权；ui为由输入信号线性组合后的输出，是神经元i的净输入；θi为神经元的阈值或偏差，用bi表示；vi为经偏差调整后的值，也称为神经元i的局部感应区。各个参数的关系如下：

f（·）是激励函数，其作用是对神经元的输出进行限制，将神经元的输出信号压缩（限制）在一个允许的范围内，使其成为有限值。通常，神经元输出的扩充范围在［0，1］或［－1，1］闭区间，yi是神经元i的输出。

BP神经网络（BackPropagation NW）利用网络自适应映射能力实现非线性运算，是一种误差反向传播的多层前馈网络［5］，由输入层、隐含层（可以有多个）、输出层组成，各层之间无反馈连接，各层内神经元之间无任何连接，仅相邻层神经元之间有链接。含有两个隐含层的BP网络如图2所示［6］。

图2 含有两个隐含层的BP神经网络

GPS高程拟合的实质是求一个映射关系，该映射关系实现从R＝2（表示GPS点的平面坐标或者大地坐标）到R＝1（表示GPS点的高程异常或者正常高）的映射［7］。即

对于样本输入集合X，输出集合Y，可以认为存在某一映射关系G，使得

可见高程拟合是求出一个映射F，使得在某种意义下，映射F是映射G的最佳逼近。这种映射能够避免人为地构建数学模型所带来的误差（避免了对似大地水准面的人为假设），能够得到较高的精度，而且转换的精度稳定。

一种BP神经网络的学习样本集是（x，y，ζ），其中（x，y）是输入参数单元，ζ是输出参数单元。BP网络的工作方式分为两个阶段：一是学习阶段，通过对所选样本进行学习，不断地调整各个神经元之间的权值，使网络学习的结果最大限度地逼近样本已知值；另一个是BP网络的计算阶段，在该阶段利用训练调整好的BP网络进行实际计算［8］。利用BP人工神经网络进行高程拟合的模型是通过对已知样本数据的不断反复学习而构造的一个自适应的非线性动态系统，通过多次迭代实现输入信号和输出信号的高度非线性映射而建立的高程拟合模型。

用神经网络方法对GPS高程进行转换的优点在于它可以利用地面坐标系中的数据或GPS坐标系中的数据直接获得正高Hg或正常高Hr。在应用神经网络转换GPS高程时，网络结构的设计十分重要，网络隐含层层数的确定、隐含层节点数的确定、网络训练的目标误差、网络训练次数、学习速率选择和初始权值等的设置都会对训练结果产生影响［7］。隐含层层数和隐含层的节点数决定建立的神经网络的规模［9］，而神经网络的规模与网络的性能密切相关［10］。

3 实例分析

数据为某市的GPS控制网数据，区域面积约为140km2。已知数据中有26个点，点的平面坐标x，y和大地高H、正常高Hr都是已知的。26个点的分布，如图3所示。点的分布总体上呈现不均匀状态。

图3 已知点分布图

研究GPS高程拟合精度和起算点的空间分布、起算点的个数和拟合方法之间的关系，选择二次多项式曲面拟合法和BP神经网络拟合法，用6种拟合方案进行拟合、处理分析，并分别计算精度指标，根据精度指标的计算结果比较各个方案，见表1。6种拟合方案如下：

表1 6种拟合方案的设计

1）取网中分布不均匀的7个水准点进行二次多项式曲面拟合；

2）取网中分布均匀的7个点进行二次多项式曲面拟合；

3）取网中分布均匀的11个水准点进行二次多项式曲面拟合；

4）取网中分布均匀的11个水准点进行BP神经网络拟合；

5）取网中分布不均匀的11个点进行BP神经网络拟合；

6）取网中分布均匀的7个水准点进行BP神经网络拟合。

表2为6种拟合方案的内、外符合精度及平均误差、中误差。

表2 6种拟合方案的内外符合精度 mm

由表2可知，方案2的内、外符合精度都高于方案1，即方案2的内部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案1；方案2的内符合精度高于方案3，但是外符合精度低于方案3，即方案3的外延性高于方案2。方案4的内、外符合精度都高于方案3，方案2的内、外符合精度都高于方案6，即拟合点较多时，方案4的内部符合程度和外部符合程度都高于方案3，拟合点较少时，方案2的内部符合程度和外部符合程度都高于方案6。方案4的内、外符合精度都高于方案5，即方案4内部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案5；方案4的内、外符合精度都高于方案6，即方案4内部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案6。

由表2可知，方案2的精度高于方案1的精度，是由于起算点的空间分布造成的，即拟合点均匀分布时拟合效果较好；方案3的精度高于方案2的精度，是由于起算点的数量造成的，即拟合点数量较多则拟合效果较好。方案4的精度高于方案3的精度，方案2的精度高于方案6的精度，是由拟合方法造成的，即拟合点较多时，BP神经网络法的拟合效果较二次多项式拟合法好；拟合点较少时，二次多项式曲面拟合法的拟合效果较BP神经网络法好。方案4的精度高于方案5的精度，是由于起算点的空间分布造成的，即起算点均匀分布时拟合效果较好；方案4的精度高于方案6的精度，是由于起算点的数量造成的，即起算点的数量较多则拟合效果较好。

图4是采用二次多项式曲面拟合法时，点的数量相同而分布情况不同得到的检查点高程异常残差图。表明拟合点相对均匀分布时，检查点的拟合残差在0m上下分布较拟合点不均匀分布时的分布更具有对称性，与表2的结果一致。

图4 二次多项式曲面拟合法比较点的分布

图5是采用二次多项式曲面拟合法时，点的分布都较为均匀而数量不同得到的检查点高程异常残差图。表明拟合点的数量较多时，拟合残差在0m上下分布较拟合点数少时对称，与表2的结果一致。

图5 二次多项式曲面拟合法比较点的数量

图6是拟合点分布都相对均匀且数量相同均为11个点，采用不同的拟合方法得到的检查点高程异常残差图。表明采用二次多项式曲面拟合法和神经网络法时，残差分布都较集中，但神经网络法的拟合效果相对较好，与表2结果一致。

图6 11个点时拟合方法比较

图7是拟合点分布都相对均匀且数量相同均为7个点，采用不同的拟合方法得到的检查点高程异常残差图。表明采用二次多项式曲面拟合法和神经网络法时，二次多项式拟合法的残差在0m上下分布较神经网络法好，与表2结果一致。

图7 7个点时拟合方法比较

图8是采用神经网络拟合法时，点的数量相同而分布情况不同得到的检查点高程异常残差图。表明拟合点相对均匀分布时，检查点的拟合残差在0m上下分布较拟合点不均匀分布时的分布更具有对称性，与表2的结果一致。

图8 BP神经网络法比较点的分布

图9是采用神经网络拟合法时，点的分布都较为均匀而数量不同得到的检查点高程异常残差图。表明拟合点的数量较多时，拟合残差在0m上下分布较拟合点数少时对称，与表2的结果一致。

图9 BP神经网络法比较点的数量

图10和图11是根据两种方案绘出的三维曲面图，直观地反映该范围内的高程异常分布。

图10 均匀分布的7点二次多项式曲面拟合高程异常曲面

图11 均匀分布的11点二次多项式曲面拟合高程异常曲面

4 结 论

利用GPS高程拟合的方法代替常规的水准测量获取高精度的水准高程是有效的。在未考虑测区面积和地形改正等因素的前提下，通过对本实例的分析比较，可以得出以下结论：

GPS高程测量的精度不仅与起算点的空间分布有关，还与起算点的数量和拟合方法有着密切关系。一般来说，采用同样的拟合方法，起算点数量越多、分布越均匀，则拟合精度越高。在点的数量相同且较多，分布都相对均匀的前提下，BP神经网络法拟合效果高于二次多项式拟合法；在点的数量相同且较少，分布都相对均匀的前提下，二次多项式曲面拟合法的拟合效果高于BP神经网络法。

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