袁 力,姜 琴

(1.郧阳师范高等专科学校 数学与财经系，湖北 十堰 442000; 2.郧阳师范高等专科学校 计算机科学系，湖北 十堰 442000)

一个矩阵多项式求逆问题的推广

袁 力1,姜 琴2

(1.郧阳师范高等专科学校 数学与财经系，湖北 十堰 442000; 2.郧阳师范高等专科学校 计算机科学系，湖北 十堰 442000)

矩阵求逆是高等代数研究的重要问题，建立在此基础上的矩阵多项式求逆问题，因其复杂灵活的形式而成为一个研究难点.从一个二次矩阵多项式的求逆问题出发，运用逆矩阵定义、多项式互素、线性方程组理论给出了该问题的三种解法，并通过第三种方法进一步推得了此类矩阵多项式的求逆公式.

矩阵多项式；逆矩阵；多项式互素

0 引言

判断一个矩阵是否可逆以及如何求其逆在高等代数的教材中已经有了初步的介绍，但由于矩阵展现形式众多，不同特点矩阵逆的求法至今仍是一个研究热点.2002年黄光鑫从伴随矩阵角度出发得到了一种求可逆阵的新方法.[1]2005邓义华给出了循环矩阵求逆的两个简便方法.[2]2008年邵逸民对几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵进行了研究并得到了一些有价值的结论.[3]2011年徐兰对矩阵求逆的方法进行了归纳，并给出了十四种逆矩阵的求法，是此类问题的一次较为系统的总结.[4]

1 主要结论

矩阵多项式的逆矩阵是逆矩阵问题的最直接延伸，也是高等代数中一类常见且非常重要的问题，但直接运用上述逆矩阵的求法来解决矩阵多项式的求逆问题往往很繁琐并且需要一定的变换技巧，那么如何才能更有效地解决此类问题呢？下面我们从一个矩阵多项式的求逆问题出发，来对此类问题的有效解法展开讨论.

例1 设A为n阶方阵，且A3=2E，B=A2-2A+2E，求B-1.

解：方法一:因B=A2-2A+2E=A2-2A+A3=A(A+2E)(A-E),由A3=2E可得

(1)

又因为A3+8E=10E,则(A+2E)(A2-2A+4E)=10E.

(2)

再由E=A3-E=(A-E)(A2+A+E)，

可得(A-E)-1=A2+A+E.

(3)

由(1)、(2)、(3)式可得

B-1=[A(A+2E)(A-E)]-1

=(A-E)-1(A+2E)-1A-1

方法一通过对矩阵多项式B进行因式分解，然后运用逆矩阵的定义分别求出每一个因子的逆，进而获得B-1.但并不是所有多项式都能在定义的数域上进行因式分解，即使能够进行，用定义来求每一因子的逆也不是一件容易的事情，所以方法一只适用于特定条件下矩阵多项式的求逆问题.

由文献[5-6]所得的结论，可以给出例1的另一种解法.

定理1 设A为n阶矩阵，C为复数域，f(x),g(x)∈C[x]且f(A)=0,则g(A)可逆的充分条件是(f(x),g(x))=1;若存在u(x),v(x)∈C[x],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,则g(A)-1=v(A).

上述结论提供了一种判断矩阵多项式是否可逆及求逆的方法，下面利用该定理对例1进行求解.

方法二：设f(x)=x3-2，g(x)=x2-2x+2,则f(A)=0,利用辗转相除法

可知

(f(x),g(x))=(x3-2,x2-2x+2)=1，

使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

故由定理1可知B=g(A)=A2-2A+2E可逆

对于矩阵多项式的求逆问题,文献[7-8]也做了一些有益的探索并提出了一些有价值的结论:已知n阶方阵A满足n次多项式，若可逆矩阵xA+yE的逆满足n-1次多项式，可以把xA+yE的逆先设出来，然后通过逆矩阵的定义结合待定系数的方法来确定矩阵多项式的逆；若n阶方阵A满足n次多项式，但是A的k次幂多项式的逆不是n-k次多项式，则需要把A改写为n-1次多项式，此时A的k次幂多项式的逆必为n+1-k次多项式．

遗憾的是，上述结论作者只做了定性的描述,并没有给出严密的逻辑证明,这给其应用带来了一定的困难.[7-8]下面对上述工作进行完善并给予证明，同时应用所得结果给出例1的第三种解法.

定理2 若n阶矩阵A满足A3-KE=0，矩阵B满足B=A2+mA+nE,其中m,n,k满足n3+k2+m3k-3mnk≠0,记d=n3+k2+m3k-3mnk，则B可逆，且有表达式：

B-1=d-1[(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E].

证明：因A3=KE，则A4-kA=0.

设B-1=x1A2+x2A+x3E,

由定义可知BB-1=E,

即(A2+mA+nE)(x1A2+x2A+x3E)=E,

利用已知条件化简，可得

(x3+x2m+x1n)A2+(x1k+x2n+x3m)A+(x1mk+x2k+x3n)E=E.

由等式左右两边同次项系数相等，可得方程组

简记为AX=B,当|A|≠0时，方程组有唯一解

且|A|=n3+k3+m3k-3mnk=d≠0.

故方程组的解为

由此可得

B-1=d-1[(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E].

定理2提供了一种求一类矩阵多项式逆矩阵的新方法，只要多项式对应项的系数满足定理条件，就可以很方便地判断其是否可逆并求得逆矩阵.下面运用该定理对例1进行求解.

方法三：已知m=-2,n=2,k=2，则d=n3+k2+m3k-3mnk=20≠0.

从而

例2 已知n阶方阵A满足A3=5E，B=A2+3A-2E，试讨论B是否可逆，若可逆并求B-1.

解：已知m=3,n=-2,k=5，则d=n3+k2+m3k-3mnk=242≠0.

故B可逆且

对于二次矩阵多项式的求逆问题,与前两种方法繁琐的变换过程及较为复杂的计算相比,只要系数满足定理条件,代入求逆公式即可获得结果.定理2为此类矩阵多项式求逆提供了一种一般且易于推广的解决方法.

[1] 黄光鑫.一种关于求可逆矩阵的新方法[J].重庆师范学院学报,2002(1):35-36.

[2] 邓义华.一类矩阵的逆矩阵和特征值问题[J]．洛阳师范学院学报，2005(2):33-34.

[3] 邵逸民.几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵[J].通化师范学院学报,2008(12):5-6.

[4] 徐 兰.也谈矩阵逆的求法[J].长春理工大学学报,2011(2):126-127.

[5] 吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学,2004(4):89-91.

[6] 王新哲.关于矩阵多项式的逆矩阵求法的一个注记[J].大学数学,2007(5):170-172.

[7] 赵晓萍. 矩阵多项式的逆[J].吉林师范学院学报,1999(3):9-10.

[8] 杨春艳.对矩阵多项式求逆的两点研究[J].牡丹江大学学报,2010(8):113-114.

[责任编辑邓杰]

AGeneralizationofaMatrixPolynomialInversion

YUAN Li1, JIANG Qin2

(1.Mathematics and Finance-Economics Department of Yunyang Teachers′ College, Shiyan Hubei 4442000; 2. Computer Science Department of Yunyang Teachers′ College, Shiyan Hubei 4442000, China)

An important study of higher algebra is matrix inversion, on the base of which is matrix polynomial inversion, which is a difficulty because of its complex and changeable forms. Starting from a inversion of quadric matrix polynomial, three resolutions are given by the way of the definition of inverse matrix, polynomial coprime and theory on the linear system of equations and the inverse formula of the polynomial matrix is generalized by the third resolution.

matrix polynomial; inverse matrix; polynomial coprime

2012-06-18

湖北省教育厅科研计划项目“贝叶斯统计方法在期权定价中的应用研究”(B20126001)；郧阳师范高等专科学校教研基金项目“高等代数课程教学内容和课程体系改革的深化与实践”(2012007)；郧阳师范高等专科学校科研基金项目“贝叶斯统计方法在期权定价中的应用”(2011B06)

袁 力(1977—)，男，湖北十堰人.讲师，硕士，主要从事代数学及数学模型研究.

O151

A

1674-5248(2013)05-0015-03