李昂，马强，岑翼刚，赵瑞珍，岑丽辉

(1.北京交通大学 信息科学研究所，北京100044;2.宜昌供电公司 电能计量中心，湖北 宜昌443000;3.中南大学 信息科学与工程学院，湖南长沙410083)

随着社会的进步和通信技术的不断发展，人与人之间的视频传输变得越来越频繁，这就对通信过程中的数据存储和传输设备提出了更高的要求.传统的奈奎斯特采样定理指出，信号的采样频率必须大于或等于信号带宽的2倍，才能准确地恢复和重构出原信号.显然，对于视频信号的传输，奈奎斯特采样定理具有很大的局限性.

近年来，由 Donoho、Candes[1]及 Tao 等[2]提出了一种新的信息获取理论称作压缩感知(compressed sensing或 compressive sampling，CS).这一理论的着眼点放在了信号的稀疏性，即信号在合适的稀疏基下可以变换到相应的稀疏域，从而呈现出信号的稀疏性.另外，对于如何将信号在稀疏域进行压缩感知处理，很多算法被提出，例如利用峰值变换[3]、利用单层小波变换[4]等.

在处理监控视频信号时，还要充分考虑到视频中帧与帧之间的相关性.对相邻2帧做差，得到的差值图像本身就具有一定的稀疏性.另外，在帧图像重构的过程中，可以通过参考帧图像对当前帧图像进行运动估计和运动补偿，从而进一步提高视频重构质量.

1 压缩感知理论

考虑一个可压缩实值信号f(f∈RN×1)，信号长度为N，则该信号可以由一组正交基展开Ψ=ψ1ψ2… ψN[]，如式(1):

式(1)为正交变换的反变换，正变换为α=ΨHf.其中，ΨΨH=ΨHΨ=Ι，Ψ∈CN×N，Ι为单位阵，α 是信号f在Ψ下的稀疏表示.若式(1)中的α只有K个非零元素(N≫K)，其余的元素为0或者接近于0，则认为该信号是稀疏的.

信号可稀疏表示是压缩感知的先验条件.在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为如下2步[5]:

1)设计一个大小为M×N( M≪N)的测量矩阵Φ对稀疏信号进行观测，得到M维的测量向量.

测量值y是一个M维向量，这样使测量对象从N维降为M维.观测过程是非自适应的，即测量矩阵的选择不依赖于信号f.测量矩阵的设计要求信号从f转换为y的过程不会破坏原始信号的信息，否则，重构是不可能的[6].由于信号f是可稀疏表示的，测量过程可以表示为

式中:Θ是一个M×N矩阵.若Φ满足有限等距性质(restricted isometry property，RIP)，即对于任意 K-稀疏信号f和常数δk∈(0，1)，矩阵Φ满足:

则K个系数能够从M个测量值中准确地被重构.RIP性质的等价条件是测量矩阵Φ和稀疏基Ψ不相关.

2)由M维的测量向量重构信号.

当矩阵Φ满足RIP准则时，重构K-稀疏系数α最直接的方法是通过在l0范数下求解式(2)的最优化问题:

从而得到稀疏系数α的估计.由于式(3)求解时，方程个数远小于未知数的个数，即l0范数下的求解是NP-Hard问题.Donoho等[7]指出，当 Φ 和 Ψ 不相关时，求解一个更加简单的l1范数优化问题会产生相同的解.即l0极小化问题可转化为l1范数下的最小化问题:

通过求解式(4)，可以得到稀疏域重建的结果.求解l1范数下极小化问题常用算法有3类:贪婪追踪法、凸松弛法和组合算法，例如匹配追踪法(matching pursuit，MP)[8]、正交匹配追踪法(orthogonal matching pursuit，OMP)[9]、梯度投影法 (gradient projection，GP)[10]、链式追踪法[11]等.

2 基于压缩感知的监控视频恢复

监控视频的特点是背景基本不变，视频图像数据有着极大的相关性，也就是有大量的冗余信息.对于监控视频，背景不是重要信息，压缩感知主要是针对监控视频中的运动物体进行处理的.

对于YUV视频数据来说，本文研究的是对其Y分量所构成的部分进行处理.首先，将视频序列进行分组，每组包含相同的帧数.为了达到更好的恢复效果，在关键帧的选取上，选取一组帧图像(奇数个)的中间帧作为关键帧.帧与帧之间差值的获取比较简单，即后一帧减去前一帧的结果作为差分的结果.对差值图像运用压缩感知技术进行采样，而关键帧不进行压缩感知处理，完全保留所有采样点.另外也可先对帧图像先感知，再做差分，此时则应该对2帧图像采用相同的测量矩阵，即应有式(5)成立:

式中:f1和f2是相邻的2帧.由式(5)可知，对2帧图像的差值采样等效于分别对2帧图像先采样再进行差分[12].

由于监控视频中每一帧图像的背景总是基本不变的，当场景中的物体运动比较缓慢或者运动物体尺寸比较小时，帧与帧的差值在空域就具备稀疏的性质.但当场景中物体运动比较迅速或者运动的物体尺寸比较大时，空域的稀疏性将急剧下降.因此，为了使差值都具有稀疏的性质，本论文对差值进行进一步处理，即利用二维小波变换，将差值图像投影到比较稀疏的域.

以视频序列的第1组为例进行说明，该组由5帧图像组成，第3帧为关键帧.视频的采样过程如图1所示.

图1 视频采样过程Fig.1 The sampling process of surveillance video

获得采样值以后，接下来就根据采样值重构原来的视频序列.首先，根据最小l1范数优化方法重构出差值图像，本文采用正交匹配追踪算.然后，用关键帧加上或减去差值图像获得与其相邻的2帧图像的重构，之后，这2帧再做参考帧，和差值图像做加法或减法得到下一帧或上一帧的重构图像.视频的恢复过程如图2所示.

图2 视频恢复过程Fig.2 The reconstruction of surveillance video

在恢复视频序列的过程中，应该充分利用视频序列中帧与帧之间的相关性和连续性，把运动估计和运动补偿技术添加到视频序列的恢复过程中来.运动估计可以用来估计物体的位移，从而得到运动矢量.运动补偿可以根据得到的运动矢量，对参考帧中由于运动而产生的位移进行调整，从而得到尽可能接近于当前帧的预测帧.

根据运动估计和运动补偿的特点和作用，本文将其应用到视频序列中非关键帧的重构过程中，采用的是全搜索算法.该算法分为2步:1)在搜索窗口内，按从左至右、从上到下的顺序逐个像素进行搜索，分别计算各个像素的MAD值，直到遍历搜索窗口内所有的点.2)在所有记录下来的MAD值中寻找到MAD值最小的点，即最小块匹配误差点，该点对应的位置即为所求的运动矢量.这里，MAD是指平均绝对误差，按照式(6)进行计算:

式中:(i，j)是位移矢量，fk和fk－1分别为当前帧和参考帧的灰度值，M×N为宏块的大小.

基于全搜索算法，运动估计和运动补偿的算法原理介绍如下:先确定当前帧中的待匹配块，设其左上角的坐标为(p，q)，然后在参考帧中对应的搜索窗口内找到与待匹配块MAD值最小的块，即预测块，设其左上角坐标为(u，v)，那么所求的运动矢量即为(u－p，v－q)，这就是运动估计的过程.在运动补偿过程中，参考帧中的预测块根据运动矢量平移到当前帧中待匹配块的位置.如此反复，当参考帧中所有预测块都按照相应的运动矢量平移到了相应的待匹配块的位置时，就完成了对当前帧的运动补偿.

首先将关键帧作为参考帧，关键帧的前一帧的重构图像或后一帧的重构图像作为当前帧，进行运动估计得到运动矢量，再根据运动矢量进行运动补偿，得到前一帧或后一帧的优化重构图像.再将得到的优化图像作为参考帧，其前一帧的重构图像或后一帧的重构图像作为当前帧，重复前面的运动估计和运动补偿的过程，从而得到对应帧的优化重构图像.以此类推，完成整个视频序列的每一组中的非关键帧的运动估计和运动补偿，从而恢复出整个视频序列.整个过程如图3所示.

图3 视频序列的运动补偿Fig.3 The motion compensation of surveillance video

对于一个实际的处理系统来讲，上述内容分别对应编码端和解码端的处理过程.编码端:1)将视频序列进行分组，每组包含相同的帧数;2)在关键帧的选取上，选取一组帧图像(奇数个)的中间帧作为关键帧;3)用传统的方法对关键帧进行熵编码;4)每组后一帧减去前一帧获得差值图，并将差值图进行小波变换;5)在小波域对差值进行压缩感知，获得差值的采样值，并进行熵编码.解码端:1)通过熵解码获得关键帧和差值的采样值;2)将差值的采样值利用OMP算法进行重构，并进行小波反变换，获得重构的差值图像;3)由关键帧和差值图像获得该组非关键帧的重构图像;4)通过运动估计和运动补偿对该组非关键帧进行优化.

3 实验仿真

实验是建立在MATLAB运行环境下实现的.实验中处理的视频对象为监控视频hall(QCIF格式)，共有300帧图像，每帧图像的大小为144×176，播放时间为10 s.采取服从N(0，1)正态分布的随机矩阵作为测量矩阵，用sym8小波函数对差值图像进行小波变换，分解层数为4层.将视频序列分成60组，每组5帧，并且中间帧作为关键帧.

每幅差值图像的采样点数为44×176时，在未进行运动估计和运动补偿的情况下，重构序列的平均峰值信噪比为40.263 4 dB.重构视频序列如图4所示.

当对图4的结果进行运动估计和运动补偿之后，重构序列的平均峰值信噪比可以提高到42.178 4 dB.得到的重构视频序列，如图5所示.

图4 未进行运动补偿的重构视频序列Fig.4 The reconstructed surveillance video without motion compensation

图5 已进行运动补偿的重构视频序列Fig.5 The reconstructed surveillance video with motion compensation

由图4～5可以得出，在未进行运动估计和运动补偿的情况下，视频序列虽然可以重建出来，但背景和运动的人物还是存在比较明显的模糊现象.经过运动补偿以后，这种模糊现象明显降低，反映到数据上就是重构视频序列平均的峰值信噪比增加.也就是说，运动补偿可以减少较小的采样率给重构视频序列带来的不利影响，可以实现对重构视频序列的优化.

2种情况下，重构图像与原来图像的平均峰值信噪比(PSNR)随采样点数的变化情况如图6所示.

图6 平均峰值信噪比随采样点数的变化情况Fig.6 The change of the average PSNR along with the number of sampling

由图6可以看出，随着采样点数的增加，2种情况的平均峰值信噪比都是逐渐增加的，但是经过运动补偿的视频序列的重构质量相对较高，且平均峰值信噪比受采样点数影响较小，具有很好的鲁棒性.

为了验证在不同场景下本文算法的有效性，对背景变化的foreman(QCIF格式)的视频序列进行实验，仿真结果如图7所示.说明本文算法仍可获得比较好的重构效果，具有一定的普适性.

图7 平均峰值信噪比随采样点数的变化情况Fig.7 The change of the average PSNR along with the number of sampling

4 结束语

在压缩感知理论的基础上，提出了一种基于帧间差值和运动补偿的视频压缩感知重构的方法，该方法充分利用了帧与帧之间的连续性和相关性，并进行了实验，获得了较好的实验效果.在实验仿真时，对视频序列的分组比较固定，采样点数比较统一，并且是对整帧图像进行处理.若是采用根据运动剧烈程度自适应分组和自适应采样，并且将帧图像分成子块进行处理，效果会进一步得到优化.

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