朱长青， 田德生

(1 湖北工业大学工程技术学院, 湖北 武汉 430068; 2 湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)

虽然在通过建立数学模型解决生物学问题[1-2]的过程中，对具有功能反应的捕食-食饵系统的定性研究已获大量结论[3-6]，但由于生物现象的复杂性，功能反应函数Φ(x)只依赖食饵密度，却不能很好地解释生态系统的现象.因此，生物数学还要从生物学的具体生态背景以及需要和特点，对某一类具体的生物模型进行分析研究，探求新方法、新手段，才能更加深入的了解其分支动力学性态.

1 系统平衡点分析

本文取功能反应函数Φ(x)=cx2(my2+x2)-1，则此类比率依赖Holling-Ⅲ的食饵-捕食者模型形式如下：

其中：r,k,c,d,m,β均为正常数(H1).

假设：β-d>0(H2).

y1=qx1．(4)

将式(4)代入(3)得

从而

定理1.1 在系统(1)中，假设(H1)、(H2)成立，则P0(0,0),P1(k,0)是系统(1)的鞍点.

证明 为了方便计算，在系统(1)中记

计算可得

，

因此

同理，

所以，P0(0,0),P1(k,0)是系统(1)的鞍点.

定理1.2 在系统(1)中，假设(H1),(H2)，(H3)成立，则系统(1)存在唯一的正平衡点P2(x1,y1)，且

1)当β≥2d时，P2(x1,y1)是系统(1)稳定的焦点或结点;

证明 1)从前面的论述，系统(1)存在唯一的正平衡点P2(x1,y1)这是显然的，下面来证定理的后半部分.

由定理1.1的证明，经计算可得

由条件(H3)知

因此

T=Px′(x1,y1)+Qy′(x1,y1)=

所以当β≥2d时，有D>0,T<0,故P2(x1,y1)是系统(1)稳定的焦点或结点.

2)当条件(H4),(H5)成立时，

T=Px′(x1,y1)+Qy′(x1,y1)=

所以，当(H4)、(H5)成立时，有D>0,T>0.故P2(x1,y1)是系统(1)不稳定的焦点或结点.

2 正解的有界性

定理2.1 在系统(1)中，假设(H1),(H2)，(H3)成立,则系统(1)的所有正初始条件的解有界.

证明 为了便于表述，作如下记号：

l1:x=k(y>0);

B2={(x,y)|00}.

由定理1.1知，P0(0,0),P1(k,0)是系统(1)的鞍点，且易验证从正y轴上的点出发的轨线，最终进入P0点，从正x轴上的点出发的轨线，最终进入P1点，又沿着l1，有

沿着l2，有×

现在设从任一点(x0,y0)(x0>0,y0>0)出发的正轨线γ0+，若(x0,y0)∈B1,则定理的结论成立;若(x0,y0)∈B2B1,则沿着直线段

有

这表明轨线γ0+总是向下，而最终进入B1.

若(x0,y0)∉B2，即(x0,y0)在l1及其右侧，则沿着l:x=θ2(k≤θ2≤x0).有.可见轨线γ0+总是向右，而最终越过l1进入B2.

综合上述证明可知，系统(1)的所有正初始条件的解有界.其轨线走向见图1．

图 1 系统(1)正轨线图

定理2.1表明系统(1)为耗散性系统.

定理2.2. 在系统(1)中假设(H1)～(H5)成立，则系统在B1中存在极限环.

证明 根据定理1.2可得，在定理2.2的假设条件下，P2(x1,y1)为系统(1)唯一的不稳定焦点或结点.以l1,l2,x轴，y轴构成闭曲线(即B1的边界线)为外境线(即图1中OP1AB，由定理2.1及其证明可知，从外境线上出发的轨线都是指向B1的内部，或者停留在边界线上，因此根据Poincaré-Bendxon定理得，系统(1)在B1内至少存在一个极限环.定理2.2得证.

3 结论

前面对系统(1)进行了定性分析，系统(1)是比率依赖Holling-Ⅲ捕食食饵模型，这是一个自治系统.通过对定理1.1的证明得到了该系统的鞍点，即在系统(1)中，如果(H1)、(H2)成立，则P0(0,0),P1(k,0)是系统(1)的鞍点.通过对定理1.2的证明得知了该系统存在唯一的正平衡点,即在系统中，如果(H1),(H2)，(H3)成立，则系统(1)存在唯一的正平衡点P2(x1,y1)，且：

1)当β≥2d时，P2(x1,y1)是系统(1.4)稳定的焦点或结点，

2)当(H4)、(H5)成立时，P2(x1,y1)是系统(1)不稳定的焦点或结点.通过对定理2.1的证明得到了该系统的所有正初始条件的解有界,即在系统(1)中；如果(H1),(H2)，(H3)成立,则系统(1)的所有正初始条件的解有界,并且表明该系统为耗散性系统.通过对定理2.2的证明得到了该系统极限环存在的一些结果,即在系统(1)中假设(H1)～(H5)成立，则系统在B1中存在极限环.

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