江 杰 ， 岂伟楠

（内蒙古科技大学 信 息工程学院， 内蒙古 包 头 0 14010）

近年来，随着新型材料、微机电（MEMS）、微惯导（MIMU）以及飞行控制等技术的迅速发展，小型四旋翼飞行器得到了进一步的发展，逐渐成为各国科技人员关注的焦点。小型四旋翼飞行器是一种具有4个螺旋桨，并且螺旋桨呈十字交叉结构的旋翼式飞行器，它通过调整4个电机的转速来实现俯仰、横滚、偏航等飞行动作，并具有可悬停、机动性好、结构简单等优点。

飞行控制一直是小型四旋翼飞行器的关键技术，国防科技大学的聂博文设计了基于反步法的控制器，哈尔滨工业大学的王树刚设计了基于H∞回路成形的控制器，东北大学的王丽新设计了基于滑动模态的滑模变结构控制器[1-3]。目前有关于四旋翼飞行器控制算法的研究多集中在非线性控制方面，由于非线性控制对系统模型准确性有很高的要求，在模型误差存在的条件下，PID控制更加有效。本文在四旋翼飞行器动力学建模的基础上设计了PID控制器。

1 四旋翼飞行器动力学模型的建立

恰当的坐标系选取有利于对四旋翼飞行器的运动过程进行分析，在描述四旋翼飞行器绕三坐标轴平动、转动的过程中，常选择载体坐标系。分析、定位飞行器在空间的位置时，则在导航坐标系中研究、分析较为方便。上述定义的两个坐标系如图1所示。

图1 导航坐标系和载体坐标系Fig.1 Navigate and body coordinate system

选取导航坐标系为绝对坐标系，记为n。以原点On为水平面内一点，Xn轴位于水平面内，指向正东方向，其Yn轴位于水平面内并且与Xn轴垂直且指向正北方向，Zn轴与Xn轴和Yn轴构成的平面垂直且方向为垂直向上，符合右手法则。

机体坐标系建立在飞行器机体上，记为b。其原点Ob在飞行器重心位置上，Ob-XbYbZb在小型四旋翼飞行器对称平面内，Xb轴与Xn轴平行且指向右方，Yb轴与Yn轴平行且指向前方，Zb轴与Zn轴平行且指向上方。

机体坐标系绕3个轴旋转与导航坐标系所成的夹角分别称为俯仰角θ、横滚角φ，航向角ψ。姿态角定义如下：

俯仰角θ：为机体坐标系Xb轴和导航坐标系XnOnYn平面的夹角。

横滚角φ：为机体坐标系Yb轴和导航坐标系XnOnYn平面的夹角。

航向角ψ：为机体坐标系Xb轴在导航坐标系XnOnYn中投影与OnXn的夹角。

为在建立飞行器运动方程时考虑所有这些因素将是极其复杂的，因此我们采取抓主要矛盾、略去次要因素的方法进行研究。作如下假设：

1）飞行器为刚体且质量是常数；

2）地面坐标系为惯性坐标系；

3）忽略地球曲率，即采用所谓的平板地球假设；

4）重力加速度不随飞行高度而变化；

5）对于面对称、轴对称布局的飞行器，其不仅几何外形对称，而且内部质量分布也对称[4]。

在机体坐标系中，定义推力T（T∈R）为飞行器4个旋翼产生升力总和，因此在机体坐标系中飞行器受到的拉力可以表示为如式（1）所示：

式（1）中 Fi表示四旋翼飞行器第 i（i=1，2，3，4）个旋翼产生的升力，四旋翼飞行器在被看作为刚体的时候，其运动规律可用沿空间三个线坐标和三个角坐标的运动形式来表示，即飞行器的线运动（飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动），以及围绕飞行器机体中心轴转动的角运动（俯仰方向角运动、横滚方向角运动、偏航方向角运动）。

首先讨论小型四旋翼飞行器在导航坐标系下沿Xb、Xb、Zb3个轴向的线位移运动方程，如式（2）所示：

其中系数ki（i=1，2，3）表示飞行器在导航坐标系中Xn、Yn、Zn方向上的空气阻力系数，由于飞行器在实验阶段处于低速飞行状态，故该系数可以忽略不计。

飞行器绕质心的旋转的角运动包括俯仰角运动、横滚角运动、偏航角运动，根据力矩平衡原理，得到飞行器在导航坐标系下 Xn、Yn、Zn的角位移方程，见式（3）所示：

式中l为飞行器重心到每个螺旋桨的距离；Mi为第i个螺旋桨产生的转动力矩；I为对应轴的转动惯量，=Iz/l，Ki（i=4，5，6）表示飞行器在角位移运动时的空气阻力系数，其中k=k6l，选取式（4）作为四旋翼飞行器控制系统控制输入量：

式（4）中 u1、u2、u3、u4分别为飞行器的升力、横滚力、俯仰力、偏航力。把四旋翼飞行器垂直、俯仰、横滚、偏航通道的4个输入力用矩阵的形式表示为U=[u1u2u3u4]T。把四旋翼控制系统模型分解为飞行器在上述4个独立的运动控制通道，把式（4）带入到式（2）、（3）中，在忽略与速度平方成比例的空气阻力系数ki的条件下[5-6]，系统数学模型可以简化为如式（5）所示：

2 PID控制器设计

采用准LPV法对四旋翼飞行器控制[8]系统建立线性空间模型，使用了近似方法并忽略了四旋翼飞行器力和力矩之间弱耦合[7]。建立四旋翼飞行器系统的一个状态空间实现，其中设定飞行器垂直方向速率z˙、俯仰方向角速率θ˙、横滚方向角速率φ˙和偏航方向角速率ψ˙为4个输出变量；x轴方向线速率，y轴方向线速率，z方向线速率z，俯仰方向角加速率θ˙，滚动方向角加速率φ˙，偏航方向角加速率ψ˙，重力加速度 g，俯仰角 θ，横滚角φ和偏航角ψ为状态变量；输入为u1、u2、u3、u4所构成的矩阵，进一步根据准LPV法可以得到四旋翼飞行器系统状态空间如式（6）所示：

通过求解相关系数矩阵，带入飞行器实际模型参数，并在小角度范围下有cosθ=1cosφ=1，得到在状态空间形式下的传递函数，如式（10）所示：

四旋翼飞行器在实验过程中机体处于小角度范围为进行变化进行，故可以有 cosθ=1cosφ=1，式（10）简化为：

系统最终的线性模型由飞行器机体模型和无刷电机模型共同组成，无刷直流电机被描述为一个一阶惯性环节，电机调速器控制信号和旋翼产生升力之间的传递函数为：

d为电机电子调速器控制信号与电机升力之间的比例系数，比例系数的选取一般是通过实验测量得到的d值的大小对系统仿真影响较小，因此在四旋翼飞行器控制器设计中取d=1来进行系统仿真，并设旋翼升力F和Ud之间的关系为G2（s），G2（s）如式（14）所示：

故系统最终的线性模型为：

根据如式（15）所示传递函数对飞行器4个通道设计控制器，其中在垂直速率方向（kP=15、kI=0.01），偏航角速率方向（kP=3，kI=0.01）使用 PI控制算法，在俯仰角速率方向（kP=3.8，kD=1.1）、横滚角速率方向上（kP=3.8，kD=1.1）设计 PD 控制器。当t=3 s时各通道分别加入脉宽为3 s的方波信号，仿真结果如图 2、图3、图4、图5所示。

3 结 论

图2 垂直速率通道方波响应Fig.2 Vertical speed of square response

图3 俯仰角速率通道方波响应Fig.3 Pitch speed of square response

图5 偏航角速率通道方波响应Fig.5 Yaw speed of square response

通过观测系统在方波信号下的响应曲线图2、图3、图4，在系统动态性能指标中，上升时间﹤0.5秒，调节时间﹤1秒，超调量﹤20%，设计的控制器在垂直速率、俯仰速率、横滚速率、偏航速率通道上满足系统控制要求。

[1]王树刚.四旋翼直升机控制问题研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学，2006.

[2]聂博文.微小型四旋翼无人直升机建模及控制方法研究[D].长沙：国防科学技术大学，2006.

[3]王丽新.基于滑模理论的四旋翼直升机的姿态控制研究[D].沈阳：东北大学，2009.

[4]吴森堂，费玉华.飞行控制系统[M].北京：北京航空航天大学出版社，2005：46-47.

[5]Castillo P，Dzul A，Lozano R.Real-time stabilization and tracking of a four-rotor miniRotorcraf[H].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2004，12（4）:510-516.

[6]Bouabdallah S，Noth A，Siegwart R.PI vs LQG control techniques applied to an indoor micro quadrotor[J].IEEE Trans on Intelligent Robots and Systems，2004（3）:2451-2456.

[7]Papageorgiou G，Glover K.Taking robust LPV control into flight on theVACC harrier[C].Proceedings of the 39th IEEE conference.on Decision and Control，2000:4558-4564.

[8]吴中华，贾秋玲.四旋翼几种控制方法研究[J].现代电子技术，2013（15）:88-90，94.

WU Zhong-hua，JIA Qiu-ling. Severalcontrolmethods research of quadrotor[J].Modern Electronics Technique，2013（15）:88-90，94.