高中数学教材试验研究概述和分析

2013-08-27俞求是人民教育出版社课程教材研究所北京100081

中学教研(数学) 2013年3期

●俞求是 (人民教育出版社课程教材研究所北京 100081)

根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》编写的实验教材已经在全国大部分地区进行了试验，在此期间各地组织了许多教材研究、培训、备课活动，广大教师通过试验对新课程所提倡的课程理念、课程目标、教学内容、教学方法和教学评价思想进行了认真学习和研究.经过几年的时间，教材试验取得了许多成功的经验，众多研究者也对教材试验中出现的问题进行了广泛而深入的调查和研究，并提出了进一步改进教学的办法.笔者参加了教材的研究和编写，也赴各试验区进行了教材介绍、回访等工作，对教材进行了反复学习，对教材试验中出现的一些问题作了研究、分析和思考.本文概述目前部分教材试验中的问题，并进一步对这些问题作了分析，提出解决问题的对策，希望对后续的试验推广和课程标准、实验教科书的修订完善有所启示.

1 必修模块的教学顺序问题

《普通高中数学课程标准(实验)》对必修5个模块的教学顺序没有作明确规定，必修5个模块的教学顺序问题是高中数学教材试验必须研究确定的问题.在教材试验中也出现了一些突出的问题，如某些地区连续3年按照不同的模块顺序(12345，12453，14523)进行教学［1］.对模块顺序问题，教师们发表了许多意见.

江苏省常州市教育局教研室的孙福明老师指出：按照常规理解，教材必修1～5应该是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制订组提出以数学1为基础，其余4个模块在不影响相关联系和知识准备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求.纵观各地的教学顺序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方教学顺序是必修14523，有些地方是必修15423等.在教材体系方面，知识块的前后位置不尽妥当，给教学带来了不便，如三角知识安排在必修4及必修5讲授，但必修2立体几何及平面解析几何中都要用到三角知识;解三角形后移导致必修2中的立体几何中对一般三角形的计算不能进行.同时高一物理学科也要用到三角知识.

为了解决必修5个模块的教学顺序问题，许多教师作了深入的研究.下面先考察必修5个模块的教学内容及它们之间的联系.

《数学1》包括集合、函数概念、幂函数、指数函数、对数函数以及函数的应用.集合是高中数学的基础知识，为后续的教学内容准备了集合语言和思考问题的观点，为从集合、对应语言描述函数概念提供了准备(函数作为2个数集之间的映射);函数概念是基本而重要的概念，是学习某些具体函数的基础.幂函数、指数函数、对数函数是3类应用广泛的基本初等函数.

《数学2》包括立体几何初步、解析几何初步.立体几何初步部分，根据课程标准，首先利用实物模型、计算机软件观察大量的空间图形，认识基本几何体及其简单组合体的结构特征，能画出空间图形的三视图、直观图，了解一些常见几何体的表面积和体积的计算公式，学习点、线、面之间的位置关系.解析几何初步部分，根据课程标准，内容包括直线与方程、圆与方程以及空间直角坐标系的初步知识.这些内容涉及直线、平面之间的垂直和平行、直线的倾斜角和斜率等有关图形相互关系的讨论，此前就必须准备有关角和三角函数的知识，立体几何中有一些空间图形计算问题会涉及三角函数和解三角形的知识.

《数学3》包括算法初步、统计和概率的部分内容.相对而言，教师们对算法、统计、概率的内容较为陌生，算法内容对于计算机知识也有一定的要求.

《数学4》包括任意角的三角函数概念、平面向量、三角恒等变形.其中三角部分内容包括三角函数概念、三角诱导公式、同角三角函数之间的关系、三角函数图像以及三角恒等变换等，为涉及角的问题准备了工具，应该安排在有关涉及角的知识教学之前.此模块另一章内容是平面向量，涉及向量之间夹角的讨论，应该安排在所需要的角的知识之后.

《数学5》包括解三角形、数列、不等式的初步知识.解三角形知识需要有《数学4》中的三角函数作基础，数列内容主要包括等差数列和等比数列，对于预备知识要求不高，但应该从函数的观点去认识，不等式部分含有线性规划，需要有《数学2》中的直线方程作准备.

我们看到，在以上的教学内容中，集合属于最基础的概念;函数建立在集合概念的基础上，实际上是2个数集之间的特殊对应关系;三角函数是一类特殊函数，涉及的图形极其单纯，就是任意角;向量就概念本身而言，也是非常简单的，但需要讨论向量之间的关系，如2个向量的和、差、数量积等，就要涉及向量之间的夹角，因此应该安排在学习三角函数的内容之后;立体几何与解析几何的内容都必须讨论几何图形互相之间的位置关系，可以用三角函数和向量的工具;解三角形建立在2个定理的基础上，必须在三角函数之后，并可应用于立体几何与解析几何的一些问题中;线性规划以直线方程的知识为前提，必须安排在解析几何初步之后;其他的内容(数列、不等式、算法、统计、概率)所需要的知识准备不多，可以相对比较灵活地安排在不同的位置，当然也会使能够解决的问题范围有所变化.由上可知，5个必修模块之间有如图1所示的逻辑结构关系：

图1

根据以上分析，如果按照必修模块12345的顺序进行教学，《数学2》的教学涉及斜率、讨论垂直、平行相互关系需要用到三角函数的知识，应该在需要的知识准备不够时加以补充;另外，《数学3》的难点内容相对靠前了，而且把《数学1》、《数学4》和《数学5》中一些联系密切的内容分隔开了.普遍认为，这不是一种理想的教学安排，随着试验的延续，许多试验区不再采用此教学顺序.

必修5个模块的教学，比较好的顺序是14523.按照14523的模块顺序，在教完《数学1》后紧接着教学《数学4》、《数学5》，从教学内容的联系性看，可使函数相关的基础知识内容相对比较集中;《数学4》提前，可以为后续内容(如《数学2》中的立体几何初步、解析几何初步，《数学5》的解三角形)作好准备.《数学5》的另外2章内容(“数列”和“不等式”)教学要求不高，学习难度也不大，安排在比较靠前的位置，有利于学生联系函数知识，从函数的观点来认识数列和不等式.不等式是高中数学基础中的基础，在其他数学问题中有广泛的应用.《数学5》中解三角形的知识是解决《数学2》中立体几何问题的必备知识，也为学习物理等创造条件.但《数学5》不等式中的线性规划部分应该安排在《数学2》直线方程内容之后教学;《数学2》后移，适当缩短与后续课程中有关联的知识的时间;《数学3》算法的内容一直没有正式作为高中数学课程的内容，许多教师对于算法内容比较陌生.统计和概率的内容对于教师也相对比较陌生.教学时间后移，有助于教师有较充裕的时间用于熟悉内容，也有利于学生理解和掌握.从试验的情况看，大多数教师对这种顺序是认同的.

从参照现行大纲的高中数学教科书的体系安排来看必修14523的教学顺序安排，全日制普通高级中学教科书(试验修订本)《数学(必修)》的各章内容依次是：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线方程、排列组合与二项式定理、概率、直线平面简单几何体.这与以上必修模块按必修数学14523的顺序比较接近，说明这是一种比较稳妥的安排.

当然，按照14523的顺序，《数学3》放在5个模块最后，产生的一个突出问题是对于课程标准提出的要把算法思想贯穿在整个课程中的设想不能很好地落实，应该在后续的教学中设法加以弥补.鉴于此，有意见认为可以调整模块2和模块3的顺序，按照必修数学14532的顺序进行教学，这也是一种值得考虑的方案.当然，也可以考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题.

2 模块化教材结构问题

除了模块顺序的选择问题以外，教师们还对改变高中课程的模块化设置和调整教学内容安排体系提出了意见.

江苏省常州市教育局教研室的孙福明老师指出：模块教学难以使青年教师系统、整体、有一定高

度地把握教材客观上影响了青年教师的培养模块教学关注了一般学生的学习状态，但对优秀的学生来说，浅尝辄止则会影响他们思维品质的提高.对这部分学有余力的学生来讲，他们希望对知识有一个深刻的认识和系统的理解，因此模块教学对这部分学生来讲是不利的.建议课标组能否适当调整模块之间的知识顺序，兼顾到数学学科的体系特点和学生的认知特点，使这2个方面和谐起来，能使高一高二年级有一定的层次性.

广东省深圳外国语学校的谢增生老师指出：高中教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系问题——模块教学要求小步走，螺旋式上升，使知识体系被打乱，一种知识分成几个不同部分，分散于不同模块，不成体系，导致跳跃式地讲授知识，许多工具性的内容后置或被删除，如集合、函数中都用到的一元二次不等式的知识，要到《数学5》才出现.螺旋式上升与新课程倡导的积极主动、勇于探索的学习方式存在不和谐之处.应该调整顺序，完善学科知识体系使教材内容符合学生的认知规律.该校还针对新课标下高中数学教材内容结构问题调整了顺序，提出了一个教学实施计划方案，具有一定的参考价值.

安徽省原巢湖市教育局教研室的张永超老师也指出：不等式、三角函数等都是数学学习的基本工具，以前的大纲及其配套教材是将解一元二次不等式放在初中，或放在高一起始阶段学习的，但是《课标》却将解一元二次不等式与简单的线性规划、均值不等式集中在一起，安排在《数学5》中，这不便于函数、集合知识的教学.在《数学2》中，解析几何内容只涉及到圆与方程，而双曲线、椭圆与抛物线的定义、标准方程和几何性质等内容却被安排在选修系列1、选修系列2中，因此只要求取得高中毕业学分而不参加高考的学生，则难以学到圆锥曲线的相关知识，对这些学生数学素养的培养十分不利.《课标》在《数学2》平面解析几何初步中列出了有关空间直角坐标系的内容，不仅与章节名称不符，而且这里的空间直角坐标系与选修2-1中“空间中的向量与立体几何”相关内容相隔太远，也属知识割裂的表现.

由于一个模块的课时限制，为了符合模块的课时要求，就导致教材内容结构的逻辑性大大降低，这与数学学科逻辑严密性和数学教材系统性的突出特点不相符合，从而影响教与学.可以设想，如果再进一步把模块课时统一减少那么就将对教材内容的安排增加更多的困难，从而更加影响教材的内容系统性和逻辑性.

中学数学传统教学内容中如初等代数、三角函数、立体几何、解析几何和概率统计的基础知识是高中学生应该掌握的数学基础知识，这些内容应该作为高中数学的必修内容，按这些内容的逻辑关系安排这些学科分支的教材内容，并考虑教学内容之间的互相联系，必修内容是否就不必再设置模块，而是按照过去大纲教材一样按学期确定教学内容.在确定了必修内容以后的其他内容，如微积分的初步知识及目前的一些选修模块和专题的教学内容，则可作为选修课程.这样，既保证了课程的灵活性和选择性，又兼顾了数学课程必要的逻辑性和系统性，而教学内容的学分可根据相应教学内容的分量等因素加以确定.

3 映射、函数、反函数的教学

函数概念是高中数学极其重要的概念，映射与函数的安排顺序、反函数概念的教学要求问题是新高中数学课程教学研究和讨论较多的2个问题.

安徽省萧县教育局教研室的吴仲奇老师指出：关于函数与映射概念的处理，新教材是先给出函数后再给出映射概念，即由特殊到一般.在教学中，就这2个概念作了对比试验，结果发现，先讲函数定义的班级，普遍反映对定义中的“f”表示对应关系理解不清，而先讲映射后讲函数的班级，对函数概念的理解要好得多.因此，这2个概念在逻辑上的顺序和学生接受这2个概念难易顺序并不一致.另外，对于函数概念，新教材上给出的就是映射观点下的定义，从这方面看，也应是先讲映射为宜.

在教材试验回访、调研中有教师也反映：高一数学有的知识点太简单，如幂函数，应用很广，但仅讲一页半;反函数的内容目前没有讲清;新课标实验教材对于反函数概念讲得不够完整，应该完整讲述反函数的定义域、值域、对应关系等，现在概念没有讲清，学生常对于概念提出许多问题，不好回答.广州市执信中学刘仕森校长探访了一些学生，特别是学习困难生，他们认为越讲不清，他们的负担越重，他们希望学生学得更明白一些，不知其理，反而学得辛苦.

为了考察映射、函数、反函数的内容在相关知识体系中的作用，图2给出了与此有关的概念之间的结构示意图.

图2

从映射的观点来认识函数概念，是在初中用变量观点认识函数基础上的深化，映射概念也是学习后续反函数概念的基础.从中学数学教材历史看，改革开放以后中学数学教学改革的一个重要成果是集合、映射观点的引入和广泛地渗透，先讲映射后讲函数，函数概念得到清楚的描述，学生理解没有困难.很重要的是，映射的思想比函数的思想更具有一般性，具有更广泛的应用价值，应该在数学教学中引起重视.

图3是目前高中数学教材中相关内容的知识框架.

图3

在这个知识框架中，映射概念是作为函数概念的推广引入的，映射概念显然没有处于核心的位置，仅仅引入了概念，在课程体系中没有发挥应有的作用.与映射相关的许多概念如一一映射、逆映射、反函数及反三角函数等初等数学的基本概念和知识都因此没有得到重视，也同样没有起到应有的作用.而函数概念本身已经引入了对应的语言，但学生对于对应的概念本身并不很清晰，这就导致了学生不能准确理解函数概念

新课程降低映射的教学要求值得商榷.现在，新课程强调函数内容与实际的联系，实际上，这与重视映射的教学在思想上并不矛盾，如果能够结合起来，既重视映射概念的教学，又能重视函数与实际的联系，那么就能使函数教学达到更高的水平.另外，新课程中反函数概念的教学要求大大降低，实际上，反函数的概念为认识后续的各类函数、关系及其性质提供了理论支撑，有利于学生从联系的观点认识各类函数，对这样的基本概念教学的课时投入是有价值的，教学效率是高的.因此，反函数概念的教学要求有必要予以提高.

4 立体几何的结构与教学要求

4.1 内容整体结构问题

立体几何的教学是高中数学的重要组成部分，新高中数学课程对立体几何的教学作了重大的结构调整和教学要求的改变，立体几何的教学问题是目前讨论的又一个热点问题.在教材试验回访中，教师们对于立体几何的教学提出了许多意见，意见集中在“几何体内容与点线面位置关系的先后顺序、判定定理是否应该证明”这2个方面.

在教材试验回访中，教师们反映：目前对于立体几何中几何体的内容讲得太简单，应该加强一些，现在只是代公式意义不大;立体几何中面积、体积计算的内容应该靠后一些，有些基本概念(如高的概念)没有，不好处理;过去在这方面花很多时间的，现在只是代公式意义不大;立体几何的一些定理的证明没有，中间过程没有，好学生不满足，是否在教学参考中给出补充;必修2将空间几何体放在点线面知识的前面，按照教师用书的说法，认为这样更符合学生的认知规律;从人认识事物来说，确实是先认识一个事物的外表，再认识它内在的本质，但是对于本章教学来讲，在没有学点、线、面知识之前，讲解空间几何体，在很多地方仅能讲到表面问题，很多时候没办法很好地解析学生提出的问题;从学生学习的角度来讲，因为不能知其所以然，所以学习的兴趣明显不高.

新课程首先安排简单几何体的内容，要求利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.对于结构特征，江苏省运河高等师范学校的彭玉忠老师指出：所谓结构特征，就是几何体的特征性质，换言之，即本质属性.确认几何体的结构特征，就是揭示几何体生成的过程和规律由于此阶段对几何体结构特征的研究尚无理论根据，全凭观察和操作来确认，从单一角度分析不足以使学生全面而准确地认识几何体的结构特征.

上面的结构实际上就是指多面体的棱、表面多边形，或者旋转体轴、母线等之间的位置关系，结构特征就是位置关系的特征、特点，实际上应该看成是几何体概念的本质特征.但是由于学生尚未学习空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系等基本知识，包括对于描述几何体结构特征至关重要的有关平行、垂直等概念，因此，对于空间图形的结构特征的描述实际上是不可能真正达到教学要求.如第1章中对于“正投影”的定义：在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.怎样的投影算是正对着的，无法解释.

正如对于新高中数学课程中不等式有关内容的教学不应该先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教学，然后再安排不等式基本性质的教学;也正如在平面几何内容的教学中，不应该先安排多边形和圆的性质的研究，然后再安排有关2条直线相交、平行、垂直等基本关系的研究，以及三角形的基本性质的教学等等，这是让人无法理解的，因为后者为前者作了基本知识的准备.同样，直线与平面的基本关系知识的教学，为几何体的研究奠定了知识基础，使几何体的研究可以顺利推进，这是一个值得重视的问题.

立体几何部分的教学，可以首先借助信息技术和实物展示丰富的立体图形，让学生认识学习立体几何知识的必要性与重要性，然后转入线、面基本元素关系的知识学习，在此基础上，再研究几何体的性质.当然，对于几何体研究的详略程度，则应该有所选择、有所侧重，不必面面俱到，另外几何体表面积、体积公式，从把数学也作为工具性、应用性学科的角度看，其推导则可以根据实际情况有详有略.

4.2 判定定理的证明问题

新课程提倡合情推理与演绎推理的结合，对直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理都不加证明，只是通过操作就加以“确认”，不要求严格加以证明.《课程标准》认为这是培养了合情推理，而笔者认为，这与数学的科学性要求不相符合，通过合情推理只能得到结论成立的一种猜测，结论的正确性还有待于严格的证明才能真正加以“确认”.

此外，如果从节约课时的角度来考虑省略证明判定定理的证明比性质定理的证明更显得重要，因为判定定理的作用在于确定垂直或平行关系的存在，如果这种关系不能确定，就没有什么性质可言了.另外，性质定理的证明比判定定理的证明要容易得多，如直线与平面平行的性质定理、平面与平面平行的性质定理，实际上就是直线与平面平行的定义、直线与直线的平行、平面与平面平行定义的直接应用而已，学生的理解不会存在什么困难.因此，从学生认识能力的角度来看，对于一些不容易证明的判定定理的证明更具有必要性.例如，对于直线与平面的垂直判定定理，定理的证明条件已经完全具备了，可以很直截了当地加以证明，方法简捷明快.现在的教学安排，放弃定理的证明，又承认定理并在需要时就加以应用，定理的证明则安排到了后续选修2-1模块的“空间向量与立体几何”部分，借助空间向量的方法来证明，相隔时间很久，学生们对定理证明的必要性也许不以为然了.判定定理的探索和证明是培养学生的科学探究态度和精神的良好时机，对于怎样从直线与平面内2条相交直线垂直的条件推证出此直线与平面垂直，即与平面内任何一条直线都垂直的问题，学生们一般都会有浓厚的兴趣，而保护和培养这种探究精神和态度对于高中学生尤其重要.平行与垂直判定定理是立体几何中重要而基本的内容，让学生证明这些定理，认识到定理的正确性，这比对结论不求甚解，知其然而不知其所以然而盲目加以应用要好得多.著名数学家姜伯驹院士就曾指出“没有了严格的证明就没有了数学的灵魂和数学的精华.”

目前，对于空间关系的判定定理的证明安排在了数学2-1的空间向量与立体几何部分，这对于选修1-1和1-2的学生就失去了知识的完整性，没有机会认识这些重要的判定定理.从知识结构和知识的难度上来看，空间向量和立体几何的知识可以安排在必修课程中，让所有的学生都学习.否则，就会有很大一部分学生不会解决有关的空间问题.

4.3 空间向量与立体几何

另外，怎样把空间向量和立体几何很好地融合起来，使立体几何的部分内容用向量方法处理，确实是一个有价值研究的问题.向量提供了另一种解决空间图形问题的方法，使学生领略到机械化的数学方法.向量方法具有把某些立体几何问题算法化的特点.从本质上说，向量不必分成平面向量和空间向量，任何一个向量都是空间中的一个向量，因此对于向量的研究应该可以直接从空间向量着手进行高等学校的空间解析几何也正是这样安排的.但中学数学课程中，一般都先学习平面向量，然后安排空间向量，这可以使向量的知识在平面问题中首先及时得到应用，也降低了向量学习的难度，体现了知识安排的阶段性、螺旋式.可以预料，如果较早引入空间向量，就使许多内容的新的处理成为可能，当然这是有利有弊的，是一个值得继续研究的问题.

4.4 其他问题

三垂线定理(及逆定理)给出了一种判定平面内一条直线与平面的斜线(或斜线的射影)垂直的方法，解决了一类重要的问题，具有广泛应用.新课程把它安排到了选修2-1，在一个例题中证明了此结论，但没有相应的巩固和应用性的训练，导致此定理的地位下降、作用减弱.

新课程要求以长方体模型为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，使得空间位置关系讨论的背景过于单一、简单乏味，不能反映现实空间问题背景的丰富性，对于具体空间关系问题的实际背景针对性并非最佳.这样的引导也许并不妥当.

5 极限概念和微积分初步的教学

新课程对微积分初步知识的教学作了重大的改革，加强了导数与积分应用的教学.另外，重要的改革是在不讲极限概念的基础上讲导数的和积分等概念.对此，也有不同的意见.

华南师范大学数学系的黄志达老师指出：微积分基础下放到中学，已有几次反复.在新课程中，“新的突破”就是不讲极限也能讲导数，“极限”2个字在中学课本里已经取消，只讲平均变化率和瞬时变化率之间的关系，举了大量的诸如成本边际、利润边际的实例……极限的概念并不难理解，中学里要用到的简单极限就更容易被理解接受，不给严格的定义，粗浅的定义也可以，何苦去割断体系弄巧成拙呢?

山东省临沭一中的王峰晨老师指出：极限内容的删除给学生学习以及更深地理解数学带来不便.极限是一种重要的数学思想，是看问题的态度.怎么能说要理解好导数就要删去产生导数的极限呢?极限是学习导数必需的，不应该成为学习导数的障碍.

山东聊城大学的房元霞、宋宝和老师通过教学实验得到结论：极限是学生学习导数的关键和难点，教师对无极限的导数表现出不适应.

为分析极限概念的地位和教学价值，图4给出了微积分初步内容概念的结构框架.

图4

如果有人问有哪一个概念是基本而重要的、自始至终贯穿于微积分内容和数学分析学科的?答案是极限的概念.微积分和数学分析几乎可以看成是一门研究“极限论”的学科.微积分初步知识中一些最重要的概念，如导数、连续函数、定积分概念都直接建立于极限概念之上.新课程中不讲极限的概念，以上内容便不容易讲清楚，也不太好描述.重要的是，极限思想是一种重要的数学思想，不讲极限概念本身，也就很难把握极限的思想.实际上，在后续许多内容的教学中，极限符号广泛使用，没有极限的语言使教学显得很不自然，很别扭.

山东省聊城大学的房元霞、宋宝和老师认为：微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，讲导数想避开极限是不可能的……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，当然表现形式上要自然流畅，淡化形式，重在极限思想的描述.

在高中数学中安排微积分初步知识的教学是有一定价值的，但是，微积分本身是数学的一个重要分支，其内容相当丰富.对大多数学生的普遍性教学要求而言，在中学阶段不可能讲授系统的微积分知识，中学数学课程中应考虑到学生的年龄特点，控制教学的要求和难度.而极限概念作为必要的基本概念，在微积分初步中占有不可替代的重要地位，应该在这部分内容的教学中予以重视，至于怎么讲法，必须考虑教学时数的限制.过去曾经引入比较严格的极限概念的教学，还包括了数列极限和函数极限的内容.这是一种讲法，这种讲法对于牢固建立极限概念和思想当然是有利的，不足之处是在极限概念上花费较多的教学课时.另外也可考虑通过一些学生容易接受和理解的数列极限的例子，让学生学习直观的极限概念(一般是在无限变化中无限趋近于定值)，建立不够严密但对后续概念(如导数、连续函数、定积分等)的教学十分必要的极限观念.从我国中学数学教学经验看，只要方法得当，让高中学生掌握比较严格的极限概念也是可能的这就要在教学中贯彻因材施教的原则只要可能，不妨让一部分学生学习比较严格的极限概念，而不必强制性地统一限定和降低教学要求.

另外，高中微积分初步中导数和定积分的教学主要着眼于它们的应用价值，由于课时的限制，内容不能太多.当然，在结构中必要的内容还应该重视，如目前教材教学中不定积分的内容就有必要充实、加强，否则，对于定积分教学的顺利进行就会有影响.另外，一定要限定所涉及的初等函数的范围，只能让学生在高中阶段初步接触微积分的思想.

6 初中数学和高中数学的衔接

新课程对于许多教学内容的教学要求作了调整，因此也引起了初中数学和高中数学教学衔接上的一些问题.

(1)义务教育数学课程标准对于配方法的要求降低，但配方在数学中起重要作用，应该加强.

(2)乘法公式目前初中只有平方差公式和完全平方公式，没有立方和与立方差公式，与此相关的分解因式也降低了要求，而在高中数学教学中，研究函数的单调性、解方程、解不等式、三角恒等变换等许多方面都需要应用这些乘法公式，在初中的教学要求应该提高;另外，从学科教学的角度看，乘法公式也是数学的基础知识，应该予以充实.

(3)多项式相乘初中限制在一次式相乘，为后续的高中数学教学带来困难，例如二项式定理及其相关内容的教学，在初中的要求应该适当提高，应该去掉限制，当然，对于相应运算内容的基础训练应该把握适当的度.

(4)初中根式的运算(根号内含字母的)比较薄弱，特别是分母有理化已不作要求，使高中的代数恒等变形和求圆锥曲线的标准方程产生困难.

(5)解二元二次方程组的知识在高中解析几何中有重要应用，如讨论圆锥曲线、函数图像交点问题中经常用到.

(6)初中只要求会求有理数的绝对值，规定绝对值符号内不含字母，影响了高中数学中一些问题的顺利进行.

解决这些问题有2种途径：一是目前先编写供高中学生使用的衔接教材;二是今后进一步修订初、高中数学教学要求.

7 内容多课时紧的矛盾

新高中数学课程实施以来，学生学习负担过重是一个相当突出的问题，这是课程标准修订中应该引起重视的.

安徽省萧县教育局教研室的吴仲奇老师指出新课程实施中课时较少，给课程目标的实现带来挑战.新教材必修1基本上是一节内容一个课时，如果遵循课标的课时安排，几乎堂堂是新内容，容易造成学生对所学知识浅尝辄止……由于课时减少，弱化了习题课的功能，既影响学生双基的形成，又影响过程与方法、情感态度和价值观目标的实现.

浙江省台州市黄岩区教育局教研室的洪秀满老师指出：新高中数学课程存在内容多、要求高、课时少的问题，如对新课程集合内容的教学要求和课时情况作分析，发现目前教材比过去大纲下教材的内容多了2项，但课时却从过去的6课时减为现在的4课时，使教学出现困难，欲速而不达，并希望对课程标准作修订.

浙江省教育厅教研室的张金良老师、杭州长征中学的朱成万老师指出：调查表明，有50.0%的教师认为工作负担加重，44.0%的教师认为工作负担有些加重，2项之和占94%;50.0%的教师认为学生负担加重，41.3%的教师认为学生负担有些加重，2项之和为91.3%.

华南师范大学数学系的彭上观老师指出：内容多、课时少是学生反映最强烈的问题.调查发现，83.5%的学生认为教师讲课速度快，学习跟不上，没有时间理解和消化所学习的内容.有必要适当调整部分教学内容，如在高一第1学期开设的数学课程不宜过多……，让学生对高中的数学学习有一个适应的过程，以实现初高中的平稳过渡.

江苏省运河高等师范学校的彭玉忠老师指出：新课程文、理科的基础型总课时都分别超过原课程文、理科的总课时，提高型总课时超过就更多了.不仅如此，新课程设定的课时比原课程课时的容量大.据统计，在新课程必修模块的180课时中，有163课时是原课程中的内容，而这些内容在原课程中约占203课时，由上可见，新课程的内容总量比原课程有较大幅度的增加.

从教科书的篇幅看，目前教材必修课5本书(180课时)的篇幅比原高中数学必修课4本书(280课时)的篇幅还大.从实验的情况看，学生负担过重，影响学生对于数学知识的理解和掌握，导致了学生对于数学学习的兴趣下降.

适当增加教学课时是解决课时紧的矛盾的有效办法，在实际教学和课程标准修订中应该考虑增加必修课的教学时间.另外，可以考虑删去一些相对次要的教学内容(这些内容不属于数学基础内容和一些重复设置的教学内容如立体几何中的中心投影、量词、框图、三视图，与初中重复的一些统计等内容.

8 内容体系的其他问题

对于课程标准不同模块的内容安排，教师们还提出其他方面的意见和建议.

在教材回访时教师们指出：简易逻辑的知识，应是学生基本数学修养的一个重要部分，应该贯穿整个高中数学，现在被挪至选修内容中，令人遗憾;4种命题的知识应该在高中开始阶段教给学生，而且结合集合中的并集、交集、补集关系讲解或、且、非，学生也易于掌握.

在《数学2》中，第2章“平面解析几何初步”中安排了“空间直角坐标系”，这与整章的标题不吻合.实际上把这节内容移至选修2-1第3章“空间中的向量与立体几何”应更妥当.

《课程标准》对于不等式的知识非常重视，指出不等关系与相等关系是同样重要的数量关系，专门安排了一个不等式选讲的选修专题.不等式内容是基本的数学知识，而且是工具性的，应该提前学习，但不必在不等式证明上花费太多的时间(如对于三角内容，不必在三角恒等变形上花费过多精力)，而是应该教给学生不等式的一些基本知识，如不等式的基本性质和常见不等式，如绝对值不等式的性质，均值不等式(可以给出一般形式的均值不等式)，就能加强不等式知识的应用价值.

根据我国中学数学教材编写长期的经验，安排中学数学教学内容顺序结构应该遵循一些基本原则：(1)注意与初中数学的衔接;(2)符合数学教学内容之间的逻辑关系;(3)考虑学生的心理发展水平，在内容深浅、难易程度上有一个坡度设计，从易到难、从单一到复合、从简单到复杂地安排教学内容;(4)工具性内容靠前安排;(5)相关内容适当集中;(6)内容安排有利于按教学时段划分.

这些原则对于调整高中数学教学内容结构有重要的指导意义.

以上，对于新课程实施中出现的部分问题发表了一些个人意见.实践是检验真理的唯一标准.应倡导通过有比较的教学实验来判断我们的思想是否符合教学规律.因此，建议研究者根据新课程试验中出现的各种不同观点，设计不同的教学方案，通过教学实验进一步研究，甚至编写用于比较的试验教材(可以是部分内容的教材片断)，拿出有说服力的实验数据作判断，这样才有利于我国中学数学教育的科学发展有利于我国中学数学教材建设的科学发展，有利于学生的发展和培养.

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