符 蓉

(华中科技大学文华学院城建学部土木工程系，湖北武汉 430070)

0 引言

粘弹性阻尼器作为一种理想的耗能构件，目前正广泛的应用到结构抗风抗震工程领域当中。当结构设置了粘弹性阻尼器后，结构的一些动力特性将会发生改变，因此正确描述粘弹性阻尼器的本构关系是研究结构动力特性的基础。采用分数导数描述的粘弹性阻尼器本构关系可以仅用较少的参数构成粘弹性阻尼器的力学模型，并能反映外部激励频率的变化对粘弹性阻尼器的力学性能的影响，被认为是一种能精确描述粘弹性阻尼器特性的模型。本文研究了结构设置粘弹性阻尼器后的受迫振动，推导了结构对简谐激励的稳态响应，讨论了粘弹性阻尼器参数对结构幅频特性的影响。

1 粘弹性阻尼器的分数导数模型

粘弹性阻尼器主要以支撑的形式附加在结构上。当结构受到外激励作用产生层间位移时，就会带动粘弹性阻尼器两侧钢板和中间钢板产生相对运动，从而使钢板之间的粘弹性材料产生剪切变形，耗散能量，实现减小结构反应的目的。粘弹性阻尼器的力学特性由分数导数描述为:

其中，kd，cd，α均为与粘弹性阻尼器有关的常数。而 Riemann-Liouville分数导数的定义为:

2 设置粘弹性阻尼器结构的计算模型

设置粘弹性阻尼器结构的动力特性分析是十分复杂的，因为结构一般为多自由度体系，但是一些重要的结构动力特性可以通过分析单自由度结构获得。为了分析的方便，本文以设置粘弹性阻尼器的单自由度结构为研究对象，如图1所示，其中，m，c，k分别为结构的质量、阻尼系数和水平刚度。粘弹性阻尼器以斜支撑的形式附加在结构上。

图1 设置粘弹性阻尼器的单自由度结构计算模型

结构在水平简谐激励作用下，其动力方程为:

无量纲化后为:

3 结构的稳态响应

当结构不受到外激励时，进行Laplace积分变换可以证明，不计平衡点的微小漂移时相应的自由振动方程:

渐近于平衡点。由于Riemann-Liouville分数导数为线性算子，则可以假设的结构的稳态响应与激励有相同的频率。

即:

将式(6)代入式(4)，并注意到分数导数的求导公式:

可以得到:

将sin(ωt－φ －απ/2)和 sinωt分别写成 sin[(ωt－φ)－απ/2]和 sin[(ωt－φ)+φ]，利用三角公式展开并令 sin(ωt－φ)和cos(ωt－φ)项系数相等，得到:

分别消去φ和A，依次可以得到稳态响应的振幅为:

将式(11)和式(12)代入式(6)，即可以得到系统的稳态响应。

4 结构的幅频特性分析

稳态强迫振动的振幅与结构在静荷载P作用下产生的静位移P/(k+kd)的比值称为动力放大因子β，即:

将放大因子 β写作频率比s=ω/ωt的函数，其中 ωt=，则 β(s)为:

由式(14)可以得到与不设置粘弹性阻尼器结构类似的结果如下:

粘弹性阻尼器的粘性系数由系数ζd和α体现。现在通过数值分析讨论ζd和α对幅频特性的影响。假设ωn=2.0 rad/s，ωd=0.5 rad/s，ζ=0.02。α =0.2，0.4，0.6，0.8 时动力放大因子 β 随频率比s变化的曲线分别如图2～图5所示，在每个图中，曲线由上至下依次取 ζd=0.0，0.25，0.5，0.75，1.0。

图2 α=0.2的幅频特性曲线

图3 α=0.4的幅频特性曲线

从图2～图5可以看出，幅频特性存在最大值，即出现共振。增大ζd和α均可以使共振的幅值减小。由于结构的自身阻尼ζ=0.02很小，所以当附加阻尼ζd=0.0时共振时基本在s=1时出现。随着ζd的增加以及α的存在使得共振不在s=1出现。对于给定的α，共振频率随ζd增大而显著减小。对于给定的ζd，共振频率随着α增大而增大，但是变化不是很明显。

图4 α=0.6的幅频特性曲线

图5 α=0.8的幅频特性曲线

5 结语

本文建立了由分数导数型本构关系描述的粘弹性阻尼器结构的动力方程，得到了该结构对简谐激励的稳态响应，并分析了粘弹性阻尼器参数对幅频特性的影响。由于分数导数是线性算子，传统的叠加原理依然适用，根据本文的结果可以得到系统对一般周期激励的稳态响应。

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