张学霞

数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”由此可见，知识和技能是数学学习的基础，而数学的思想方法则是数学的灵魂和精髓。

下面我结合具体的实例谈谈人教版小学数学五年级下册教学中应渗透的几种重要数学思想：

一、转化思想

转化思想方法是指学生在学习新知识时能想办法将新知识转化为已学过的旧知识或将复杂的问题转化为简单问题，从而产生知识或问题间的迁移，是一种以运用旧知识经验来学习、理解新知识的思维方式和解决问题的方法。五年级下册的测量不规则物体的体积、通分、异分母分数加减法等无不渗透了转化的思想。

案例呈现：（通分教学片断）

（一）创设情境，引入问题

最近学校准备要把整个校园美化起来，学校希望美化校园面积的5/6，园林规划部门认为可以美化校园面积的7/9。到底哪一种方案美化的面积大，你们能不能解决这个问题？

（二）结合问题，组织探究，认识通分

⑴形成数学问题，比一比5/6和7/9谁大。

学生可以独立思考，也可以与同伴合作寻找解决的策略。

⑵汇报、交流学习成果，可能有以下方法：（及时加以记录）

A.画图比较。

B.化成小数比大小。

C.把分子变成相同的分数比大小。

D.把分母变成相同的分数比大小。

……

⑶讨论与归纳

引导学生通过分析、比较，总结出把“异分母变成同分母的方法”，即通分的方法。

在上述教学片断中，学生意识到和这两个分数的分子和分母都不相同，无法直接比较大小，但是利用分数的基本性质就可以将它们转化成分母相同的分数，从而比较两个分数的大小。这个转化过程成了学生的一次智慧之旅。

二、数形结合思想

数形结合的思想，是小学阶段最常用的一种数学思想，其实质就是把数量关系和空间形式结合起来，通过数与形的相互转化，去分析问题、解决问题的数学思想。

案例呈现：

用通分的方法计算■+■+■+■这一题，学生用通分的方法或许还能很快地得出答案。若是在算式的后面要一直加到■或■ ……，还愿意用通分的方法吗？学生一定会面露难色，这时“数形结合”的简单快捷就显而易见了。

在解决问题中，计算基于图形，关系就变得非常明晰。

教师可以先画出这样的图形，让学生接着画下去，以找到解决问题的方法：把一个大正方形看成单位“1”（如上图），一次又一次地进行平均分，阴影部分表示计算的结果。从图上很容易看出：■+■+■+■=1-■=■；再接着画下去，就会有■+■+■+■+……=■=1-■=■……这里的1是第一个加数“■”的2倍。数学真是太神奇了！学生很快发现，在加法算式中，如果后一个加数依次是前一个加数的■，结果就等于第一个加数的2倍减去最后一个加数。同理，■ +■+■+■=■×2-■=■……原来加法还可以转化成图形来计算，通过画图，不仅能让我们学会解决某一道题，更重要是能让我们找到解决一类题的方法，发现其中的规律。

上面案例运用“数形结合”的思想方法把代数与几何沟通了，使“形”直观地反映“数”内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，不仅让人回味无穷，也极大地激发了学生探究的欲望，让他们获得成功的体验。

三、分类思想

分类就是根据一定的标准，对事物进行有序的划分、组织的过程。分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要的分类的数学对象，进行不重复、无遗漏地划分。本册教学中多次运用分类的思想方法，如对自然数的分类：按自然数能否是2的倍数可分为奇数和偶数；根据自然数的因数的个数又可分为质数、合数和1；把分数分为真分数和假分数，等等。而这正是本阶段需要学生掌握的重点之一。通过分类，建构了知识网络，又突出了学习的重点。

四、优化思想

“优化”，即“最优化”，是指从问题的许多可能的解答中，依某种指标选择最好的解答。五（下）的《找次品》其原理相对简单——物体均分成三份，就可最大限度地发挥天平的功能（排除三分之二），以实现用最少的次数找到次品。这样的学习材料，学生可以通过动手操作和自主探索，通过多种策略的对比分析，感知到策略的可优化，从而初步体验优化的思想。

案例呈现：（本课执教者为特级教师刘松）

1.通过谈话，引出找次品。

2.初步感知。

师：物体中的次品，有的好找，有的不好找。我这有3瓶木糖醇，其中1瓶少了几个（是次品），怎样才能找出来？

（学生说可以用天平称，教师引导学生思考和交流怎么称）

教师请学生上台演示，一个学生边演示边说：任意挑2瓶，放在天平两边，一边1瓶，如果平衡，那么第3瓶就是次品；如果不平衡，那么翘起来的那边就是次品。

再请其他学生演示说明，强化理解。然后师生共同得出从3瓶中找1瓶，至少要称1次。

3.激发兴趣。

师：如果2187瓶中有1瓶次品，称几次能找出？

（学生都猜729次，教师以此引发学生探究的兴趣）

4.深入研究。

（1）研究5瓶。

师：如果是5瓶，还是用称的方法，至少几次才能找到次品？

（教师请学生用硬币代替瓶子摆一摆、试一试，或者相互交流，然后进行反馈）

生1：应该是2次。天平左右两边各放1瓶，剩3瓶。称1次，如果这2瓶一样重，就在另3瓶中挑2瓶放在天平左右两边，再称1次，就能找到次品了。

教师结合学生回答，板书：5（1、1、3）→（1、1、1），2次。

生2：称法不一样，也是2次。第一次称时，天平左右两边各放2瓶。如果两边不一样重，将轻的2瓶放在天平两边，再称1次，就找到次品了。

教师板书：5（2、2、1）→（1、1），2次。

师：为什么不分成（3、2）？

（生说理由）

（2）研究9瓶。

学生通过实验得出多种方法，其中两种是：①9（4、4、1）→（2、2）→（1、1），3次；②9（3、3、3）→（1、1、1），2次。通过对比得出第②种方法更优。

师：上面两种方法，一开始分的时候有什么不一样？

引导学生发现第②种方法是一开始将总数平均分成3份的，这样的方法可能是最优的。

（3）研究12瓶。

师：刚才的结论是不是具有普遍性？通过一个例子的研究，难道我们就能确信这样的分法就是最优的吗？

学生提出以12瓶为例来验证，师生一起得出12（4、4、4）→（2、，2）→（1、1），3次。教师引导学生用其他称法来检验是不是有比3次少的。

学生通过列举发现，没有比将总数平均分成3份的方法更优的。

……

从案例中可见，在研究5瓶、9瓶时，教师有意让学生展示不同的方法，并且将这些方法放大讨论，以让学生充分感知。在研究12瓶时，教师还特意提出“3次是不是最少” 的问题，引导学生采用不同的方法来验证。在研究9瓶时，开始出现优化策略，但教师没有就此告诉学生这样的方法就是最优的，而是引导学生用科学研究的方法，继续举例验证，通过研究12瓶、27瓶等多种情况，让学生在经验的不断积累中，自主归纳出优化的策略及其有效性。这样的处理，学生的体验也是充分和深刻的。

数学思想的渗透有利于学生用数学眼光去看身边的事物，从而也会产生使用数学的意识，能正确运用数学方法去解决问题！作为一名小学数学教师，我们要有渗透数学思想的意识和自觉性，用心挖掘，在教学中，深入浅出地、潜移默化地让学生领悟某种数学思想方法。

（作者单位：山东省东营市垦利县第二实验小学）

责编/张晓东