王晓辉

【摘 要】高等数学作为高职院校理工科专业的一门重要基础课程受到高职院校师生的普遍重视，数列和函数的极限求解作为高等数学的重要组成部分之一，也一直受到人们的普遍关注。文章阐述了高等数学极限求解的几种方法和趣味教学法。

【关键词】高等数学；极限求解；思考

高等数学极限思想的历史悠久，它可以追溯到我国先秦时期著名的哲学家、思想家、道家主要创始人之一的庄子，其著名著作《天下篇》有云：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，体现了我国最早的极限思想。西方有约公元前490-425古希腊芝诺的阿基里斯追龟悖论和约公元前480-410的古希腊安蒂丰的用内接正多边形逼近圆的面积的极限思想等，这些极限思想只是哲学上的思想，如今，人们已经把极限从理论运用到实际中。而且，作为高等数学教学的重要组成部分，极限的教学普遍受到人们的关注。

一、高等数学极限求解的若干方法的思考

极限是高等数学的重要组成部分，数列和函数的极限又是高等数学极限的两个最重要的组成部分。目前，数列和函数的极限在计算机、经济、通信和自动化等许多领域有着普遍的应用。关于高等数学极限求解的方法在基础数学教材或者高等数学基础教材中只做了简单介绍，经过参考各类高等数学极限求解的文献，文章总结归纳了以下几种方法。

（一） 利用连续函数的性质求解高等数学极限的方法思考

连续函数的性质是连续函数在某一点处的极限值等于该点函数的函数值。例如：如果f（x）=x+1，那么

这种极限求解法完全是利用f（x）中x在2处的极限值直接带入求解的，这种方法简单明了，可以一眼看出该函数求解的过程和极限求解的结果。当然这只是正对简单函数的求解，对于复杂的函数极限求解，利用连续函数的性质求解极限这一方法就行不通了。例如：如果f（x）=x+1，求复杂函数 的极限值，这样的复杂函数如果也用上述连续函数的性质求解，那么分母是零，而列数求解中分母是不能为零没有意义的，所以基础数学或者高等数学基础中分数的分母不能为零。所以，运用连续函数的性质在该函数的某一点的极限值等于该点的函数值这个方法来求解 这个复杂函数是行不通的。但是可以先运用通分法再运用分子分母约分法，最后用连续函数的性质求解这个复杂函数的极限。例如： = ，到这里运用分子分母式子相同约分法，那么这个复杂函数就被简单化了，这个复杂函数简化为 ，然后运用连续函数性质求解函数极限，例如： = =2+3=5

（二）利用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解极限的方法思考

虽然运用通分法、约分法和连续函数的性质法的结合可以求解许多复杂函数的极限，但是还是有许多函数是以上方法所不能解的，例如： 对于这个函数的极限，以上方法是不能求出它的极限的。那么，可以运用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解这个函数的极限。

三角函数是高等数学函数极限求解最常见的函数极限求解，而常用的有界函数就是三角函数，如f（x）=x+1和f（x）= 都属于有界函数。例如： 这个极限函数中的x为x到0时的无穷小，xsin 为x到0的有界函数，按照方法有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解这个函数的极限，xsin 仍是x到0的极限，所以这个极限求解出来就是0。

（三）利用极限的运算法则和恒等变换来求解极限的方法思考

极限的运算法则主要是四则运算法、无穷小的性质等法则，而恒等变换则包括通分、约分、比较最高次幂、变量替换等等法。

1、无穷小的性质

无穷小的性质是有限个无穷小的和，乘积仍然为无穷小。例如： a（x+x2+x3）的极限值仍然为0。

2、极限的四则运算法则

极限的四则运算法则的公式是如果 =A， =B，那么 [f（x）+g（x）]= + =A+B。用具体数字举例说明是 f（x）=3， g（x）=4，那么 [f（x）+g（x）]= f（x）+ g（x）=3+4=7。

3、约分法和通分法

约分法和通分法通常是结合起来运用的，约分法是约去式子中等于0的因子，通分法是通过通分把函数化简为连续函数进行求解。约分法试用于分子是0分母也为0型的极限的求解，而通分法则试用于∞±∞的极限求解。例如： 这个函数在极限求解过程中同时运用了约分法和通分法两种方法。

4、分子分母有理化

分子分母有理化比较适合分子、分母中存在根号的情况，它是通过分子分母有理化分解后，运用约分法约去0因子的方法求极限的。例如： = = = = = 2

5、比较最高幂法和拆项消去法

比较最高幂法和拆项消去法一般比较适用于数列求极限。比较最高幂法是通过比较分子分母的最高次幂来求解极限的，在求解极限运用中一般是分子的最高次幂高就是无穷大，如果是分母的次幂高就为0，如果两者的最高次幂相同，那么该式子的极限为最高次幂的系数之比。拆向消去法一般结合分析通项约除中间项来求式子极限，这种极限求解法常运用在数列无穷项求和的问题中。

例如：（1） ， = ， （比较最高次幂法）

（2） = （拆向消除法）

（四）金蝉脱壳法

金蝉脱壳在孙子兵法书上是指通过布置障眼法先稳住敌人，在敌人的视野内留一小部分老弱病残的军队，把自家的主力悄悄抽走，使之脱离敌人设计的陷阱。而在高等数学极限求解中金蝉脱壳主要是运用两个重要极限的过程中，保留式子的形式达到相同因子约去的方法来求解极限的。例如：

（1）如果 =1，那么 = =

（五）夹逼法则

夹逼法则主要用来求解分母按递增或者递减次序排列的无穷数列求和的极限求解。

例如：（1）求极限 （夹逼法则求解）

因为 ，且 = =0所以这个极限的值就是0。

在以上几种高等数学极限求解的方法，是依据基础数学和高等数学教材和其它资料总结归纳出来的，在高等数学极限求解中往往需要几种方法联合起来才能进行极限求解，要想在极限求解中得心应手多加练习方为上策。

二、高等数学极限求解的教学方法

极限思想是人们探索有限、无限问题不断深化过程中取得的，从无限思想萌芽到现在的完善，历经了将近2000年的时间，可以称的上是数学史上一次跨千年漫长的旅途。对于现在职业学院的学生来说，学好高等数学，对学生的各方面都有好处甚至有利于学生的心理健康发展。而极限求解作为高等数学至关重要的组成部分，又是一个比较难的部分，如果学生学会了这部分，对学生的高等数学的学习会起很大帮助，如果学生不能把握这部分，会对高等数学失去学习的兴趣。作为高等数学的教师如何教学生学好极限求解这部分内容至关重要。由于高等数学的枯燥乏味，很多学生不喜欢数学这门学科，其中女生占大多数。对此，职业学院的教师引进极限求解兴趣教学法对学生学习极限求解这部分会大有助益。

（一）数学史极限概念

学生往往比较喜欢听故事，数学教师可以在讲解极限教学之前翻阅一些资料，把数学史的极限概念的形成过程编成一个接一个的小故事，在课堂上讲给学生听，在故事中参杂极限求解的概念和极限求解的方法。多讲历史故事，少讲定义，是一种比较吸引学生的教学方法，教师利用学生的这个兴趣点，展开自己的教学，在极限求解这部分中，能帮助学生尽快的掌握这部分知识。这种教学方法，正是验证了我国春秋时期伟大的教育家、儒家学派创始人孔子的“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”的名言。比如：教师可以从战国时期的庄子一直讲到现代极限求解的现实运用。让学生了解历史的同时还了解到极限在日常生活中的实际应用，这样学生就可以在趣味中不知不觉学习数学史极限的概念了。

（二）用极限简洁、严格精美的语言描述

极限的概念一般的人会认为是维尔斯特拉给出的。1717-1783年，法国数学家达朗贝尔明确的提出极限就是微积分的基本概念。到了19世纪，一些数学家根据以前的研究，重建了微积分的基础，如极限、函数的连续性等都被重新构建。但是，这种构建并不完善，因而引来了许多数学家的质疑，后来18i5-1897年，德国数学家维尔特拉斯完善了极限的概念，成功实现极限概念的代数化。有了极限概念后，无穷小量的问题才得到解决。

（三）用极限概念蕴藏的人生哲理启示学生

很多东西学精之后，发现世界的万事万物都是相通的，高等数学极限概念中也蕴含了深刻的人生哲理。从极限的概念可以看出很多哲理，比如：不要小看每天一点点的改变，时长日久，水滴也可以穿石，每天小的积累一直坚持下去会有大的收获。数学教师可以告诉学生极限教大家的哲理就是做任何事情一定要坚持，如果感觉学极限求解比较难，那么每天坚持进步一点点，永不放弃，最终会学会高等数学的极限部分。在哲学上的量变质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，从量变开始，质变是量变的终结。这是极限概念所表达的最高境界，也是教师教书育人的最高境界。

三、结束语

极限求解作为高等数学的重要组成部分，先后受到多层人士的重视，作为高等数学的教学，也须对极限求解这部分高度重视。文章先详细阐述了利用连续函数的性质求解高等数学极限、利用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解极限、利用极限的运算法则和恒等变换来求解极限、金蝉脱壳法四个求解高等数学极限的方法，结尾简单阐述了几个其它方法，最后又从三部分探讨了极限兴趣教学法。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学[M].高等教育出版社.2007.

[2]陆子芬，李重华.高等数学解析大全[M].辽宁科学技术出版社，1991.

[3]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展[J].数学通报，2006，49（9）.

[4]齐民友. 数学的教育的改革要遵循数学科学的发展（续）[J].数学通报，2006，49（9）.

[5]王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究，2001，4（3）.

[6]赵临龙 杜贵春 王昭海.师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查与分析[J]. 周口师范高等专科学校，2001（2）：59-61.