张亚林

(天津大学理学院 天津300072)

0 引言

本文考虑差分方程 － ▽(pnΔyn)+qnyn= λwnyn，n∈Z，其中Z为整数集，Δyn=yn+1－yn，▽yn=ynyn－1，λ 为谱系数，pn，qn，wn为实数且 pn＞ 0，wn＞ 0，pn+N=pn，qn+N=qn，wn+N=wn，N 为非负整数．

对于二阶微分方程，文［1－2］考虑了二阶线性微分方程(p(x)y'(x))'+(λs(x)－q(x))y(x)=0在周期和半周期边界条件下的特征值问题，得出两种边值问题中特征值的分布，以及周期与半周期特征值交替出现的著名结果．他们发现研究特征值分布的重要工具是D(λ)［2］，它是λ的解析函数．D(λ) ＜2，所对应的λ的范围分别被称为上述特征值问题的稳定区间、条件稳定区间、不稳定区间．Atkinson［3］考虑了差分方程cnyn+1=(anλ +bn)yn－ cn－1yn－1，n∈［0，m －1］∩Z在边值条件y－1=αym－1，y0= βym下的特征值问题，其中，an，bn，cn，α，β 为实数，an＞ 0，cn＞ 0，αc－1= βcm－1，发现问题中所有特征值为实数;文［4－5］给出了差分方程在周期和半周期条件下特征值之间的关系，得出与微分方程相类似的结果;文［6］研究了自伴二阶差分方程的谱问题;文［7］研究了有限区间上的离散哈密顿系统;文［8］研究了一维Dirac方程的周期边值问题，获得了特征值的基本性质，将特征值的存在问题转化为一个整函数的零点问题，并用复分析的方法获得了该整函数零点的渐进形态，从而获得了特征值的渐进估计和迹公式;Bohner［9］给出了特征值个数与零点个数之间的关系，运用Leray-Schauder度的理论研究了带紧扰动的增生算子的特征值问题，并得到了正负特征值．

本文利用文［2］中的方法，给出周期差分方程Floquet解的分类，并利用这个结果给出不同自伴边值条件下的特征子空间之间的关系．

1 有关引理

差分方程 －▽(pnΔyn)+qnyn=λwnyn，n∈Z等价于递归方程

其中，an=pn+pn+1－ qn，bn=pn+1＞ 0，并且 an，bn满足

引理1 设xn为(1)的非零解，则存在非零常数ρ，使

证明 令un和vn为方程(1)的两个线性无关解，由(2)知un+N和vn+N也是方程(1)的两个解，且线性无关，故存在常数Aij(1≤i，j≤2)使得

其中矩阵A=(Aij)为非奇异矩阵．方程(1)的任意一个解可表示为xn=c1un+c2vn，c1，c2为任意常数．由

因为det A≠0，故存在ρ≠0使(5)成立．定理得证．

引理2 设un和vn为方程(1)的两个解，差分方程(1)的Wronskian行列式W［u，v］(n)=

证明 因为un和vn为方程(1)的两个解，故

(6)两边乘以vn，(7)两边乘以un，所得两方程两边对应相减得 － bn－1(un－1vn－ unvn－1)+bn(unvn+1－ un+1vn)=0，n∈Z，两边从n累加到

由bn+N=bn易得

引理得证．

如果 un，vn满足初值条件 u0=v1=1;u1=v0=0，由(4)得 A11=uN，A12=uN+1，A21=vN，A22=vN+1，再由(9)，知 det A=1．定义判别式为 Δ(λ)=A11+A22，则 Δ(λ)=uN+vN+1，此时(5)式变为

引理3 设un，vn为方程(1)的基本解，则当时，方程(1)的所有解无界，当时，方程(1)的所有解有界;当时，方程至少有一个周期解，另一个解yn或者是周期解，或者yn+kN随k线性变化．

证明 由引理1，当 ρ1≠ ρ2时，方程(1)存在线性无关解 xn，yn，使得 xn+N= ρ1xn，yn+N= ρ2yn，即 xn+kN=ρk1xn，yn+kN= ρk2yn，k∈ Z;当 ρ= ρ1= ρ2时，方程(1)存在非零解 xn，使得 xn+N= ρxn．设 yn是与 xn线性无关的另一解，则 yn+N=c1xn+c2yn，c1，c2为任意常数，于是

由(9)知 ρc2=1，由(10)知 ρ2=1，故 c2= ρ，即 yn+N=c1xn+ ρyn，进而，yn+kN=kc1ρk－1xn+ ρkyn，如果c1=0，可得 yn+N= ρyn．

因此根据Δ(λ)取值，分5种情况讨论方程(1)的解:

1)如Δ(λ)＞2，则ρ1＞1，0＜ ρ2＜1，故k→+∞ 时xn→+∞;k→－∞ 时，yn→+∞，故方程所有解无界．

2)如Δ(λ)＜－2，则ρ1＜－1，－1＜ρ2＜0．论证同Δ(λ)＞2的情况，此时方程的任意解也是无界的．

3)如 －2 ＜ Δ(λ)＜ 2，则ρ1，ρ2为共轭虚数，且ρ1ρ2=1，则设ρ1=exp(iθ)，ρ2=exp(－ iθ)，(θ≠mπ，m ∈ Z)．此时 xn+kN=exp(ikθ)xn，yn+kN=exp(－ ikθ)yn，故 xn，yn有界，因此方程的任意解都有界，且由(10)知

因此方程的任一解zn=c1xn+c2yn(c1，c2为任意常数)，有

4)如Δ(λ)=2，则ρ=1，故xn+kN=xn，yn+kN=kc1xn+yn，所以方程有一个解是周期为N的解，另一个解或者周期为N(c1=0时)，或者随k线性变化．

5)如 Δ(λ)= －2，则 ρ= －1，故xn+kN=(－ 1)kxn，yn+kN=kc1(－ 1)k－1xn+(－ 1)kyn，所以方程有一个周期为2N的解，另一个解或者周期为2N，或者随k线性变化．

定义1 如果(1)的所有非零解在(－∞，+∞)有界，则称(1)为稳定的;如果存在非零解在(－∞，+∞)有界，则称(1)为条件稳定的;如果所有非零解在(－∞，+∞)无界，则称(1)为不稳定的．

因为Δ(λ)关于λ是解析的，我们给出定义2．

引理4［10］令λ ≥λ ≥…≥λ 表示Δ(λ)=2的N个零点，λ'≥λ'≥…≥λ'表示Δ(λ)= － 2

NN－11NN－11的N个零点，这些零点重数最多为2，λN必为Δ(λ)=2的简单零点，则当N为偶数时，λN＞λ'N≥λ'N－1＞λN－1≥ …≥ λ'1＞ λ1，当N为奇数时，λN＞ λ'N≥ λ'N－1＞ λN－1≥ … ≥ λ1＞ λ'1．(λ'N，λN)，(λN－1，λ'N－1)，(λ'N－2，λN－2)… 为稳定区间，在这些区间上，(1)只有有界解;(λN，∞)，(λ'N－1，λ'N)，(λN－2，λN－1)… 为不稳定区间，在这些区间上(1)只有无界解．

引理3的证明见文［10］．

引理5 令k为正整数，则(1)存在周期为kN的解，当且仅当存在整数l，使得Δ(λ)=2cos(2lπ/k)．

2 主要结果

由边值条件xkN=x0，xkN+1=x1易知特征函数可扩展到整数集上，且xn+kN=xn，因此Λn(k)为方程有非零的kN周期解时对应的λ值．此时，{Λn(k)}包含{λn}，当k为偶数时{Λn(k)}包含{λ'n}．由引理5，Δ(λ)=2cos(2lπ/k)，l为任意整数．因此 Λn(k)(n=1，2，…，N)为 Δ(λ)=2cos(2lπ/k)的 N 个根．，用 λ(t)(n=1，2，…，N)表示此问题的n特征值，并且λ1(t)≤λ2(t)≤…≤λN(t)．

由边值条件易知特征函数可扩展到整数集上，且xn+N=xnexp(iπt)，n∈Z，由引理1知ρ=exp(iπt)，代入(10)可得 Δ(λ)=2cos πt(－ 1 ＜ t≤1)，故 λn(t)(n=1，2，…，N)为 Δ(λ)=2cos πt的 N 个根．

令Σ ，Ψ表示(i)和(ii)对应的特征值的集合，S表示(1)的条件稳定区间．即Σ ={Λn(k):n=

故Σ ={λ:Δ(λ)=2cos(2lπ/k)，l∈ Z}，Ψ ={λ:Δ(λ)=2cos πt，－ 1 ＜ t≤1}．因此，容易得到定理 1，2，3．

证明 因为有理数在实数域中稠密，因此{2lπ/k}在［0，π］中稠密，故{2cos(2lπ/k)}在［－2，2］中稠密，其中 l为整数，k为自然数，且2cos(2lπ/k)⊂［－ 2，2］．所以Σ—=S，定理得证．

定理2 Ψ=S．

定理3 令exp(iπtr)(r=1，2，…，k)为k次单位根，其中 －1 ＜tr≤1，则当t=tr时(i)所对应的特征函数的集合与(ii)所对应的特征函数的集合相等．

证明 令 un(t)为自伴问题(ii)中任一特征值所对应的特征函数，则 t=tr时，un+kN(tr)=un(tr)exp(ikπtr)=un(tr)．因此un(tr)为(i)中某个特征值对应的特征函数．反过来，令vn(k)为自伴问题(i)中某特征值所对应的特征函数，则vn+kN(k)=vn(k)，下面证明vn(k)为(ii)中t=tr时某特征值对应的特征函数．由已知exp(ikπtr)=1(－1 ＜ tr≤1)，因此vN+kN(k)=vn(k)exp(ikπtr)．当n=0，k=1时，vN(k)=v0(k)exp(iπtr)，当 n=1，k=1时，vN+1(k)=v1(k)exp(iπtr)，因此，vn(k)符合(ii)中的边界条件，即vn(k)为问题(ii)中t=tr时的特征函数．定理得证．

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