解析C－半群生成元的Kato扰动

2013-03-20杨延涛赵华新

郑州大学学报（理学版） 2013年1期

杨延涛，赵华新

(延安大学数学与计算机科学学院陕西延安716000)

0 引言

算子半群的扰动理论作为半群理论的重要内容之一，近二三十年取得了显著的发展，已涉及到多类半群，国内外许多学者对此也作了大量的研究工作［1－8］．Tanaka在1989年引入了解析C－半群的概念，其中C是Banach空间X上的有界单射线性算子，且，其后有学者也做了相应的研究．本文给出了与文献［9］条件不同的特征刻划，并得到解析C－半群新的扰动定理．

设X为Banach空间，B(x)表示X中一切有界线性算子全体构成的空间．D(A)，R(A)，ρc(A)及R(λ，A)分别表示A的定义域，值域，C－预解集及C－预解式．

定义1［8］设A:D(A)→X是线性算子，如果存在闭线性算子A，使得 D(A)⊂D(A)，Ax=Ax，x∈⊂XD(A)，即 A⊂，则称A是可闭化算子为A的闭化算子．

定义2［9］设X为Banach空间，C是X上的有界单射线性算子，且，称有界线性算子族{T(t):＜δ}(0＜δ≤)是解析C－半群，若满足下列条件:

定义3［9］若解析C－半群)对任意给定 ε∈(0，δ)存在正常数Mε，使‖T(t)‖≤Mε，对}成立，则称)是一致有界解析C－半群．

引理1［9］设A为解析C－半群的无穷小生成元，B为闭线性算子，s．t．D(A)⊂D(B)，CD(B)⊂D(B)和‖Bx‖≤a‖Ax‖ +b‖x‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，对 x∈D(B)成立，则存在δ＞0，使得当0≤a≤δ时，则A+BC是解析C－半群的无穷小生成元．

引理2［9］线性算子A是一致有界解析C－半群的无穷小生成元．当且仅当满足下列条件:

(c)对 ε∈(0，δ)，存在正常数Mε，使得，对

引理3［10］设A为解析C－半群成立;)的无穷小生成元，B为可闭化线性算子，使得 D(A)⊂D(B)，CD(B)⊂D(B)，‖Bx‖≤a‖Ax‖ +b‖x‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，对 x∈D(B)成立，则存在δ＞0，使得当0≤a≤δ时，A+是解析C－半群的无穷小生成元．

1 主要结果

定理1 设A为一致有界解析C－半群的无穷小生成元，B为可闭化算子，满足D(A)⊂D(B)，CD(B)⊂D(B)，‖Bx‖≤a‖Ax‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，对 x∈D(B)成立．当 0时，则 A+是一致有界解析C－半群的生成元．

证明假设T(t)为一致有界解析C－半群，则由引理2可知，存在常数M＞0，对任意δ＞0，ρε(A)⊃{λ:有

又因

则

和

算子B是A的一个Kato扰动，亦即B满足条件:

(ⅰ)D(A)⊂D(B);

综上所述，在小学数学教学中培养学生的自主学习能力，需要加强教师对学生自主学习能力的重视，转变教师观念，积极进行课堂改革，形成有效的教学模式，引导学生进行自主学习，促进学生自主学习能力的培养。

则存在常数k，M'＞0，使得A+BC－kI也满足(1)和(2)式，但(2)中的常数M变为此处的常数M'．证明任意x∈X，λ∈∑，k∈R+，则 λ+k∈∑且

利用A(λ+k－A)－1C=(λ+k)(λ+k－A)－1C－C和条件

可得

因此，算子(I－B(λ +k－A)－1C)－1存在，又因 λ +k∈ρc(A)，故(λ +k－A)－1C 存在，利用

便知 λ +k∈ρc(A+BC)，λ∈∑，即

结合(2)，(5)便得

联合(4)，(6)，定理得证．

推论1 设A为一解析C－半群的无穷小生成元，B是A的Kato扰动，且BCx=CBx，对x∈D(B)成立，则A+BC－kI(k＞0)是一解析C－半群S(z)的无穷小生成元，A+BC是解析C－半群T(z)=ekzS(z)的无穷小生成元．

证明因A为解析C－半群的无穷小生成元，便知算子A满足(1)，(2)式，B是A的Kato扰动，则算子A+BC －kI也满足(1)，(2)，因此，由引理3 知(a)，(c)成立，又 BCx=CBx，对 x∈D(B)成立，易推出对 x∈D((λ －(A+BC －kI))－1)有(λ －(A+BC －kI))－1Cx=C(λ －(A+BC －kI))－1x，(b)成立．

又CD(A)是A的核心，故存在xn∈CD(A)，使得