严兰兰， 韩旭里， 邬国根， 黄国辉

（1. 东华理工大学理学院，江西 抚州 344000；2. 中南大学数学与统计学院，湖南 长沙 410083）

二/三阶三角Bézier曲线

严兰兰1,2， 韩旭里2， 邬国根1， 黄国辉1

（1. 东华理工大学理学院，江西 抚州 344000；2. 中南大学数学与统计学院，湖南 长沙 410083）

构造了两组由三角函数形成的基函数，并由这两组基函数定义了两种新的曲线，分别称为二阶、三阶T-Bézier曲线。这两种曲线分别具有和二次Bézier曲线、三次Bézier曲线一样简单的结构，而且都具有 Bézier曲线的基本性质，如凸包性、对称性、几何不变性、端点插值和端边相切性。此外，在普通Bézier曲线的G1光滑拼接条件下，二阶T-Bézier曲线可以达到G3光滑拼接，三阶T-Bézier曲线可以达到G2光滑拼接。另外，给出了用二阶T-Bézier曲线来构造与给定多边形相切的曲线的方法，该方法简单有效，而且曲线对给定的多边形是保形的。

曲线设计；Bézier曲线；连续性；切线多边形

Bézier曲线具有结构简单、直观等诸多优点，从而成为计算机辅助几何设计中表示曲线的重要工具之一。虽然如此，在实际应用中，Bézier曲线依然表现出一些不足，主要表现在3方面：（1）由于单一的Bézier曲线无法表示复杂的形状，所以为了满足实际工程的需求，往往需要构造组合Bézier曲线，而为了保证组合曲线的光滑性，相邻曲线的控制顶点间必须满足一定的连续性条件，当对光滑性要求较高时，条件会比较复杂从而难以实现。（2）由于Bézier曲线的形状由其控制顶点唯一确定，所以若要修改曲线的形状，必须改变控制顶点，重新计算曲线方程。（3）Bézier曲线不能表示工程上常用的除抛物线以外的圆锥曲线。

对于Bézier曲线的（2）、（3）个缺点，很多文献提出了解决办法。如文献[1-6]构造了含参数的、性质类似于Bernstein基函数的新的基函数，使得由之定义的曲线在具备 Bézier曲线基本性质的同时，还具有形状可调性。文献[7-11]在非多项式空间上构造了性质类似于 Bernstein基函数的新的基函数，使得由之定义的曲线在具备Bézier曲线基本性质的同时，还能表示一些圆锥曲线和超越曲线。但是对于Bézier曲线的上述第一个不足，很少有文献专门对其研究。

为了克服Bézier曲线的（1）个不足，使曲线能够在相对简单的条件下实现更高阶的光滑拼接，这里构造了结构类似于二次Bézier曲线的新曲线——二阶T-Bézier曲线，以及结构类似于三次Bézier曲线的新曲线——三阶T-Bézier曲线。这两种曲线不仅保留了普通Bézier曲线的诸多优良性质，而且在普通Bézier曲线的光滑拼接条件下，二阶T-Bézier曲线可以达到光滑拼接，三阶T-Bézier曲线可以达到光滑拼接。

1 基函数及其性质

1.1 二阶基函数

为二阶三角 Bernstein基函数，简称二阶T-Bernstein基。

如图1所示，二阶T-Bernstein基的图形。

图 1 二阶T-Bernstein基

二阶T-Bernstein基具有下列性质。

4） 端点性质：在首末端点处，有

1.2 三阶基函数

为三阶三角 Bernstein基函数，简称三阶T-Bernstein基。

如图2所示，三阶T-Bernstein基的图形。

图 2 三阶T-Bernstein基

三阶T-Bernstein基具有下列性质。

4） 端点性质：在首末端点处，有

2 曲线及其性质

2.1 二阶曲线

为二阶三角Bézier曲线，简称二阶T-Bézier曲线。

由基函数的性质，易知二阶 T-Bézier曲线具有凸包性、几何不变性、对称性。由式(2)～(5)以及式(10)可知，在T-Bézier曲线的端点处，有

由式(11)、(12)可知，二阶T-Bézier曲线具有普通Bézier曲线的端点插值、端边相切性。由式(12)～(14)可知，二阶 T-Bézier曲线在起点、终点处的一阶至三阶导矢分别共线。

如图3所示，由相同控制顶点所确定的二阶T-Bézier曲线（实线）和普通二次Bézier曲线（虚线）。从图中可以看出，二阶 T-Bézier曲线对控制多边形的逼近性优于二次Bézier曲线。

图 3 二阶T-Bézier曲线与二次Bézier曲线

2.2 三阶曲线

为三阶三角Bézier曲线，简称三阶T-Bézier曲线。

由基函数的性质，易知三阶T-Bézier曲线具有凸包性、几何不变性、对称性。由式(7)～(9)以及式(15)可知，在三阶T-Bézier曲线的端点处，有

由式(16)～(18)可知，三阶 T-Bézier曲线也具有普通Bézier曲线的端点插值、端边相切性，且三阶T-Bézier曲线在起点、终点处的一阶、二阶导矢分别共线。

如图4所示，由相同控制顶点所确定的三阶T-Bézier曲线（实线）和普通三次Bézier曲线（虚线）。从图4中可以看出，三阶T-Bézier曲线对控制多边形的逼近性优于三次Bézier曲线。

图 4 三阶T-Bézier曲线与三次Bézier曲线

3 组合曲线的连续性

其中 C＞ 0, 则两曲线G3连续。

证明：由式(11)～(14)知

要使两曲线G3连续，必须

其中， β1, β2,β3为参数，且 β1＞ 0（见参考文献[12]）。将式(20)代入式(21)并整理，得到

对于普通 Bézier曲线和大多数文献中给出的扩展Bézier曲线而言，在式(19)所给条件下，相邻曲线间只会达到 G1连续，而二阶 T-Bézier曲线却可以达到G3连续。如图5所示，由两条二阶T-Bézier曲线段构成的G3连续的组合曲线。

图 5 G3连续的组合二阶T-Bézier曲线

其中 C＞ 0, 则两曲线G2连续。

证明 该定理的证明方法和过程与定理1相同。

如图6所示，由两条三阶T-Bézier曲线段构成的G2连续的组合曲线。

图6 G2 连续的组合三阶T-Bézier 曲线

4 二阶T-Bézier曲线的应用

给定闭多边形 P0, P1,…,Pn，其中 P0=Pn ，下面分析如何构造一条封闭的组合二阶T-Bézier曲线，使之与给定闭多边形的每一条边都在指定点相切[13]。假设闭多边形第i条边上的切点为

其中， ki∈ (0,1)(i = 1,2,… ,n) 为切点调节参数。

式(11)、(12)和式(23)～(25)可知

由式(26)、(27)可知，第i条二阶T-Bézier曲线段与给定闭多边形相切于点 Ti和 Ti+1。另外，由定理1可知，相邻二阶T-Bézier曲线段在连接点处均G3连续。

这里提供构造与给定多边形相切的曲线方法具有以下优点：

1） 曲线的所有控制顶点直接由给定闭多边形顶点和切点确定；

2） 相邻曲线段在连接点处 G3连续，可以满足工程上的大部分需求；

3） 与普通的二次Bézier曲线一样，由于二阶T-Bézier曲线段不存在拐点，且曲线的凹凸性与控制多边形一致，所以整条曲线对给定的切线多边形是保形的。

如图7所示，与给定多边形相切于指定点的二阶T-Bézier曲线。图中点线为给定的切线多边形，打星号点为指定的切点，实线为二阶T-Bézier曲线。

图7 与给定多边形相切的二阶T-Bézier曲线

5 总结与展望

这里定义的二阶和三阶T-Bézier曲线，均可以在比较简单的条件下实现较高阶的光滑拼接，可以满足大多数工程实际中的需求。下一步的目标是寻找既能简单拼接，又能表示圆锥曲线，而且还具有形状可调性的新曲线。

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[3] 严兰兰, 宋来忠. 带两个形状参数的Bézier曲线[J].工程图学学报, 2008, 29(3): 88-92.

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[5] 杭后俊, 余 静, 李汪根. 三次Bezier曲线的一种双参数扩展及应用[J]. 计算机工程与应用, 2010, 46(31): 178-205.

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Triangular Bézier Curve of Order Two/Three

Yan Lanlan1,2, Han Xuli2, Wu Guogen1, Huang Guohui1
( 1. College of Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

Two sets of basic functions formed by triangular functions are constructed, and two new kinds of curves based on them are defined. We call them T-Bézier curve of order two and T-Bézier curve of order three respectively. They have the same simple structures with quadratic Bézier curve and cubic Bézier curve respectively. They have many properties of usual Bézier curve, such as convex hull property, symmetry, geometric invariance, endpoint interpolation and end edge tangent property. In addition, under the G1continuity conditions, the T-Bézier curve of order two can achieve G3continuity, and the T-Bézier curve of order three can achieve G2continuity. Furthermore, the method of using the T-Bézier curve of order two to construct combination curve with given tangent polygon is also given. This method is simple and effective. The curve is conformal to the given polygon.

curve design; Bézier curve; continuity; tangent polygon

TP 391.72

A

2095-302X (2013)05-0071-05

2012-12-18；定稿日期：2013-04-07

国家自然科学基金资助项目（11261003，11271376，60970097）

严兰兰（1982-），女，湖北浠水人，博士研究生，讲师，主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：yxh821011@yahoo.com.cn