刘阜平， 丁 勇

（太原理工大学，山西 太原 030024）

射影线束形成的抛物线与椭圆抛物面的相似断层表示

刘阜平， 丁 勇

（太原理工大学，山西 太原 030024）

利用图示法，说明了二射影对应线束形成抛物线时，线束中的特殊线影响了抛物线的形状。如果任意五边形的顶点在一条抛物线上，由相似五边形的顶点确定的另一条抛物线与其“相似”。我们可以用一系列平行的截平面来表示椭圆抛物面，这些平行的截平面上抛物线相似，称为相似断层表示法。这种表示法为我们实现用计算机绘制三维椭圆抛物面奠定了理论基础。

射影线束；相似抛物线；椭圆抛物面；断层法

同向二射影线束，如果仅仅存在一对对应平行直线时，对应直线的交点轨迹形成抛物线[1]。一对对应线束与另一对对应线束是不同的，它们怎样影响抛物线的形状？平移二线束之一怎样影响抛物线的形状？怎样选用合适的正投影图来表示椭圆抛物面，从而更有利于计算机自动生成其三维图形，这些都是我们需要解决的问题。

1 正放位置抛物线

如图1所示，任意同向二射影线束L1L2通过平移和旋转都可以建立透视对应位置，这种透视对应位置非常有利于二线束对应直线的作图。二线束L1L2中两对对应主直线为m1m2和n1n2、两对特殊的“等角线”为x1x2和y1y2，一对对应线束和另一对对应线束的不同可以用x1和 y1夹角（或x2和 y2夹角）α来表示，称为二线束度量角。α≠90°，因为α=90°时，L1L2为合同线束。

图1 α=43°同向二线束L1L2

如图2所示，如果我们平移线束L1L2在d1g2重合时，对应直线交点形成抛物线，这时y1y2交点是抛物线的顶点，x1（或x2）是抛物线的轴线方向。显然，如果二线束底L1L2位置固定，不同α角的线束得到不同的抛物线。

图2 正放位置抛物线

当然，在图2中，如果旋转线束L1（或L2），让x1x2交点是抛物线的顶点，y1（或y2）是抛物线的轴线方向，也可以得到同样的抛物线。

由于这种抛物线形成时，二线束底L1L2连线d1g2是抛物线轴线的垂线，为了叙述方便，称为正放位置抛物线。

如图3所示，如果我们固定线束L2不动，让L1沿L1L2连线平移到 L3位置，形成“相似”抛物线。这是因为由于五边形的顶点在一条抛物线上，另一个对应相似五边形顶点确定了另一条抛物线，为了表示这种对应关系，我们引用了相似抛物线的概念。

2 斜放位置抛物线

如图4所示 ，如果我们平移二线束底 L1L2在任意直线b1上时，L1L2连线不是抛物线轴线的垂线，这时形成的抛物线称为斜放位置抛物线。如果令d1d2交点为D，g1g2交点为G，则L1D中点与L2G中点连线是抛物线轴线，此时属于L2的切线为b2，属于L1的切线为s1。我们固定线束L1不动，让线束L2沿L1L2连线平移到L3位置，线束 L1L3形成的抛物线与 L1L2形成的抛物线相似。

图3 相似抛物线的形成

图4 斜放位置抛物线

我们知道，圆是正多边形逼近形成，相似正多边形形成大小不同的圆。如图5所示，对于L1L2形成的抛物线，也可以看成由多边形逼近形成，只是这时的多边形中有一个点为无穷远点。这种多边形也有相似的对应图形。如 L1L3与 L1L2二线束对应直线的交点形成多边形相似。这里，对于“相似”抛物线的概念，是指二线束沿底连线平移后形成的抛物线。

图5 多边形逼近形成抛物线

如图6(b)所示，如果L1不是沿L1L2连线平移，而是沿任一条直线d1移动到L3位置，形成的抛物线并不相似。因为存在着对应五边形不相似情况。如图6(a)中L1L2M12N12D12五边形和L3L2M32N32D32五边形。这时L1L2形成的抛物线与L3L2形成的抛物线，只是轴线方向相同，并不相似。

抛物线仅限于二线束沿底的连线平移后形成。观察下面一种情况：

如图7 (a, c)所示，L1L2连线为b1线 ，抛物线通过五点形L1L2M12N12D12。如图7(b, d)所示，如果我们让L2沿抛物线轴线方向移动到L3位置，L1L3连线为a1线，抛物线通过对应五点形L1L3M13N13D13。显然，两个五点形中有3个三角形同向或反向相似，但两个五点形并不相似，因此对应抛物线不相似。

图6 平移线束L1到L3形成抛物线线不相似

图7 二线束底在a1和b1上形成抛物线不相似

如图1所示，a1和b1是对称于y1的线，a2和b2是对称于y2的线，这样的对应“等角线”有若干条，但并不形成相似抛物线。而 n1m1和m2n2是这些“等角”线中特殊的两条，因为它们夹角为90°。

综上所述，对于正放位置抛物线，合适选择二线束度量角α可以得到相对应的抛物线。同一对对应线束，斜放位置不同，得到不同“大小”形状的抛物线。二线束沿底的连线平移，可以得到相似抛物线；二线束底的连线，如果分别是对称于y（y1或y2）线的“等角”线中的两条，并不能得到相似抛物线。

3 椭圆抛物面的断层表示

3.1 正放位置椭圆抛物面

见图8，椭圆中有若干对共轭直径，其中长短轴的特殊性是人所共知的。另外还有一对特殊共轭直径，它的长度相等，称为等共轭径，用AB、CD表示。AB（或CD）也把椭圆平分成等积的两部分，和长短轴不同的是，这两部分并不对称。

当我们把一条等共轭径AB放置为正平线，把另一条CD等分，作一系列平行于正平面的截平面，得到的抛物线相似。由此得到椭圆抛物面的正投影图。因为它的正面投影是由若干个平行的相似抛物线截交线来表示，为了叙述方便，称为相似断层法。如果这若干个平行的相似抛物线为正放位置抛物线，形成的椭圆抛物面称为正放位置椭圆抛物面，如图8所示。

二线束中各对应直线交点的运动轨迹，如图9所示。

y1y2交点的运动轨迹始终属于铅垂面，该铅垂面是属于等共轭径CD的半椭圆，如图9(a)所示。

两条主直线m1m2和n1n2交点始终在变径圆上运动，它的运动轨迹也是属于CD的半椭圆，如图9(b)所示。

任取对称于y线的直线a1a2和b1b2的交点，其运动轨迹也是属于CD的半椭圆，如图9(c)所示。

属于一对非固有点x1x2交点的运动轨迹是椭圆柱面，我们可以称为方向柱面，如图9(d)所示。正放位置椭圆抛物面方向柱面轴线为铅垂线。

如果把椭圆等共轭径CD放置为正平线，等分 AB，得到另一种位置椭圆抛物面。两种位置椭圆抛物面虽然观察方向不同，形状相同。显然，椭圆抛物面也可以看成由AB（或CD）为轴的半椭圆束组成。

在图8中，如果用传统方法，把椭圆长轴（或短轴）放置为正平线，让一系列平行的正平面截交线为相似抛物线，通过作图证明，这时通过短轴（或长轴），即侧平面上截交线不是抛物线。

3.2 斜放位置椭圆抛物面

图8 椭圆抛物面断层表示

图9 两线束中对应直线交点轨迹分解图

如图10所示，如果我们保持水平面上椭圆不动，让二线束L1L2形成斜放位置抛物线，这时形成的椭圆抛物面称为斜放位置椭圆抛物面。此时方向柱面轴线是正平线。对于二线束 L1L2，每一对对应直线交点运动轨迹都是属于CD的半椭圆。

图10 椭圆抛物面斜放置断层表示

关于斜放位置椭圆抛物面性质还需进一步研究。

4 结 束 语

为了用计算机绘制三维的椭圆抛物面，我们只需选择属于椭圆的一条等共轭径，共轭径两端点为两对应线束的底，属于线束的平面垂直于椭圆面，该平面上二线束形成抛物线。让该平面平行移动，二线束底随平面和椭圆交点平移，得到一系列平行且相似的抛物线。由于二射影对应线束，不仅可以形成抛物线，还可以形成圆、椭圆、双曲线等[1]，因此，这种方法还可以推广到其它二次曲面，如椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面等。

[1] 刘阜平, 丁 勇. 射影线束形成二阶曲线及其退化形式[J]. 图学学报, 2012, 33(4): 22-26.

[2] 南开大学数学系《空间解析几何引论》编写组编. 空间解析几何引论[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978: 150-160, 231.

[3] 刘阜平, 丁 勇. 空间二射影对应点列形成的单叶双曲面[J]. 图学学报, 2012, 33(5): 28-31.

The Similar Cutting Layers of Parabola and Elliptic Paraboloid Formed by two Projective Line Pencil

Liu Fuping, Ding Yong
( Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi 030024, China )

With drawing, a changing parabold is formed by the two projective line pencils formed. If the five vertexes of a pentagon are on a parabold, another parabold formed by a similar pentagon is similar to this one. In order to draw elliptic parabolaid using computer, a series of parallel cutting planes can be used which are similar parabolds to show the curves. This is referred to as cutting layers method.

projective line pencils; similar parabold; elliptic paraboloid; cutting layer method

O 185

A

2095-302X (2013)05-0062-04

2012-10-28；定稿日期：2013-01-04

刘阜平（1957-），女，江苏阜宁人，副教授，主要研究方向为射影几何。E-mail：dylfp@sohu.com

丁 勇（1955-），男，安徽铜陵市人，副教授，主要研究方向为射影几何，计算机三维CAD。E-mail：vhalf2010@sina.com