刘芸江 肖 瑶 李 曼 戴 铂

（空军工程大学信息与导航学院，陕西 西安710077）

引 言

电离层对短波通信、地空和星间信息链路以及空间平台的运行有重要影响，严重时甚至造成系统功能的部分丧失［1］，因此，建立电离层预报模型，实时调整系统工作参数，对维持系统的工作性能至关重要.

电离层F2层临界频率foF2是电离层最重要的参数之一，能反映电离层的平均特性，该参数一直是国内外的研究热点.foF2可以通过长期预报模型进行预报，但是在一些对实时性要求比较高的应用中，采用1～3d的短期预报更具实际意义［2］，长期以来，国内外学者对该类问题开展了大量研究［3］：自相关分析法［4-5］，采用线性滤波器的方法处理以往的观测数据进行预报；多元线性回归法［6-7］，利用大量观测数据训练相关系数进行预报；人工神经网络法［8-9］模拟电离层非线性变化过程，预报尺度灵活；暴时电离层预报模型［10］充分利用观测点所在的地磁纬度和季节等影响因素，修正预报结果；电离层同化模型［11］引入数据摄入技术，对观测数据进行同化处理；相似日方法［12］基于自相关分析法，在观测数据中寻找相似序列进行预报；综合预报模型［13］合理确定不同预报方法权值，充分发挥各方法的特点进行预报.目前，采用灰色理论开展短期预报的研究还未见报道.在分析电离层foF2观测数据的基础上，试图基于灰色理论实现foF2参数短期预报.

1 理论分析

1.1 灰色理论基本原理

灰色理论是针对数据量少，无经验的不确定性问题而提出的，其中GM（1，1）模型是灰色理论预测的核心模型［14］，其工作原理如图1所示.

图1 GM（1，1）模型工作原理图

图1中，AGO表示累加处理，MEAN表示均值处理；a为模型发展系数；b是通过辨识得到的灰作用量，作为灰因；x（0）（k）为实际观测数据，作为白果.GM（1，1）模型的工作原理符合灰因白果律，以灰色理论为基础，弱化原始时间序列的随机性，建立微分方程形式的预报模型，具体表达式为

1.2 建模分析

目前电离层变化无法用解析方法来精确描述，但其在短时间内变化较为平稳，且具有一定的相关性，这种相关性可以用于预报［15］.短期内电离层观测数据是灰色少量的，不能建立白色预报模型，因此，可基于灰色理论对foF2的短期预报展开研究.

1）灰色距离信息熵

用于预报的电离层观测数据时间尺度关系到预报模型的精度与效率.将已观测记录的foF2日中值等间隔的排列成一个样本序列S，如式（2）所示

式中，N为灰色预报长度.

选取样本序列S的均值ˉS为参考值，根据灰关联系数和范数定义，利用灰色距离测度来分析数据，确定ˉS的最佳数值.

离散样本序列中的s-i与ˉS的灰色距离测度如式（3）所示

式中，ξ为分辨系数，且ξ∈（0，1］.

灰色距离信息量如式（4）所示

样本序列S的灰色距离信息熵如式（5）所示

对于样本序列S，数据s-i的GI（s-i）越小，则该样本点数据之间不确定性越小［14］，而GH（S）值在一定程度上反映了样本序列的不确定性，选取最佳N值使样本序列的GH（S）值最小.

2）基于残差修正的GM（1，1）模型

令S1为样本序列S的AGO序列，根据式（1），则样本序列S的预报模型数学表达式

式中：s（k）对应样本序列S中的s-k；p1（k）为白化背景值，其值为S1的紧邻均值生成序列.

为提高GM（1，1）模型预报的精度，建立残差值ε（k）的GM（1，1）模型，利用残差 GM（1，1）模型的预报值（N＋m）补偿原预报值（N＋m）.

对残差序列｛ε（k）｝以长度为 N-l截尾，得到建模可用的残差尾段序列εtail，如式（10）所示

为残差截尾序列εtail建立式（1）模型，其时间响应函数为

通过建立基于残差修正的GM（1，1）模型获取指定时间的预报值，N点以后m点预报值即为ε（M＋m）.

3）误差处理

由式（9）、（12）可得预报模型的最终残差值

样本序列S预报模型的相对残差Δ（k）和平均相对残差Δ（aνg）为

令 E＝［ε′（1），ε′（2），…，ε′（N）］、Q＝（CTC）-1，则预报值均方差δ（k＋1）估算公式为

预报值精度ρ如式（16）所示

2 实验结果分析

分析所用foF2数据来自文献［16］，观测站地理位置如表1所示.

表1 观测站地理位置

根据式（5），取 N 值范围为［2，60］，计算2009年4个观测站foF2日中值的平均灰色距离信息熵，如图2所示.

图2 2009年各站foF2的平均灰色距离信息熵

图2中，平均灰色距离信息熵出现两个谷值，分别处在 ［6，9］和［26，28］区间.因此，当 N 取值为［6，9］或 ［26，28］区间内时，样本序列数据之间的不确定性可认为最小，但在区间 ［6，9］中，平均灰色距离信息熵取值相对震荡不稳定，本文取N值的最佳大小为27，这也体现了太阳自转对地球造成27 d周期性的影响作用.

利用2009年北京站观测的foF2日中值，建立灰色预报长度为27的基于残差修正的GM（1，1）预报模型，提前1d预报foF2日中值，如图3所示.每日foF2日中值的预报值变化相对平滑，与观测值较为吻合.虽秋季预报误差较大，该季节太阳活动相对较为剧烈［16］，但从总体上很好地反映了电离层foF2值的变化特征.

分别对2009年各站观测数据进行预报检验，针对不同季节，按照提前1、2和3d计算预报平均误差.foF2预报值平均相对残差Δ（aνg）如表2所示， 平均精度ρ如表3所示.

表2 不同季节各站foF2预报值平均相对残差/MHz

图3 2009年北京站foF2预报值与观测值比较

表3 不同季节各站foF2预报值平均精度/%

由表2和表3可得：1）foF2的短期预报平均误差与电离层本身的变化特性类似，与地理位置、季节、太阳活动性有关；2）秋季的预报残差较大、精度较低，这与太阳活动水平有关；3）低纬度地区的预报残差较中纬度地区大，这是由于中国低纬度观测站位于电离层赤道异常驼峰附近，该区域电离层变化异常剧烈；4）从数值上看，提前1d预报平均相对残差 在 ［0.13，0.94］MHz 以 内，平 均 精 度 在［90.1%，97.9%］以内，提前2d预报平均相对残差在 ［1.47，2.82］MHz以内，平均精度在 ［70.7%，84.4%］以内，而提前3d预报平均相对残差在［2.33，3.62］MHz以 内，平 均 精 度 在 ［62.4%，70.4%］以内.

3 结 论

本文将灰色理论应用于电离层foF2短期预报中，以灰色距离信息熵判定N值的最佳大小，构建基于残差修正的GM（1，1）预报模型，并以2009年中国地区多个观测站的观测数据进行检验，结论如下：

1）平均灰色距离信息熵的计算结果反映了太阳自转造成的27d周期性影响作用；

2）由于电离层赤道异常驼峰的影响，低纬度地区预报精度明显低于高纬度地区，且在太阳活动较为剧烈的季节，预报模型误差较大；

3）基于灰色理论的预报模型，提前1d预报结果的平均相对残差在1MHz以内，预报值精度均在90%以上.

该预报方法数学模型易于建立，数据量要求低，适用于提前1d预报，对今后的电离层预报研究具有一定的参考价值.

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