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简单迭代法的应用研究

2013-01-21苏丽娟

赤峰学院学报·自然科学版 2013年9期
关键词:迭代法线性方程组高维

苏丽娟

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)

1 简单迭代法

迭代法是一种常用的数值计算方法,是从某一给定初始值p0出发,重复(有限次)进行某种计算过程(处理、操作),从而不断接近精确值,实现所求结果.在此过程中会产生一个迭代序列,其序列极限就是待求的精确值.

所谓的简单迭代法,又称定点迭代法、不动点迭代法或者Picard迭代法,它是一种特殊的迭代法,其迭代公式必须满足:pn+1=g(pn),其中g(x)称为简单迭代函数.

鉴于简单迭代公式pn+1=g(pn)中,只包含两个相邻的迭代项pn和pn+1,且后一项pn+1可由前一项pn显示表达出来,因此在计算中简单迭代法非常便于实现,具有很好的可操作性.简单迭代法在实际使用中,最关键的事情就是确定简单迭代函数g(x).下面将探讨简单迭代法在数值分析中的一些重要应用[1,2].

2 在计算函数不动点中的应用

给定一个函数φ(x),若存在p∈R,满足p=φ(p),则称x=p为函数φ(x)的一个不动点(或者定点).

关于上述不动点x=p的近似值,就可以用简单迭代法来计算,只需取简单迭代函数g(x)=φ(x)即可.

此时,计算不动点的简单迭代公式为:

3 在求解非线性方程中的应用

关于非线性方程f(x)=0,设x=p为方程的根,即f(p)=0.

当函数f(x)一阶连续可导时,可以用函数f(x)在近似根x=pn处的一阶泰勒展开式f(pn)+f'(pn)(x-pn)近似代替f(x),将原方程f(x)=0近似地化为一次方程f(pn)+f'(pn)(x-pn)=0.用此方程的根作为原方程的近似根,记新的近似根为x=pn+1,则得到求解非线性方程f(x)=0的简单迭代公式:

上述简单迭代法也称Newton迭代法.当x=p为方程f(x)=0的单根时,此迭代法是二阶收敛的,即平方收敛;当x=p为方程f(x)=0的M≥2重根时,此迭代法是一阶收敛的,即线性收敛.如果采用近似程度更高的二阶泰勒展开式,构造出来的简单迭代公式阶数更高、收敛速度更快[3].

另外,此简单迭代法还可以推广到M≥2重根的情况中去,并保持平方收敛速度不变,此时的简单迭代法常称为改进型Newton迭代法.此时只需令改进型简单迭代公式:

4 在求解线性方程组中的应用

简单迭代法除了应用在计算不动点和求解非线性方程中,还可以推广到多元或高维情况中去,例如求解非线性方程组或者线性方程组.

设线性方程组

的矩阵表示为AX=b.其中A为非奇异的系数矩阵,b是右端项,X为解向量.

把方程组AX=b改写成便于迭代的形式,其方法是多种多样的.其中最简单的一种方法就是简单迭代法,求解线性方程组AX=b简单迭代公式一般为:

其中简单迭代函数为g(X)=BX+c,矩阵B称为简单迭代法的迭代矩阵.

简单迭代法中的公式(4) 中,如果取迭代矩阵B=E-D-1A,E为单位阵,常数项c=D-1b,对角阵D=diag(a11,a22,…,aNN),近似解向量Pn=(x1(n),x2(n),…,xN(n))T,此时简单迭代法也称Jacobi迭代法.当选择其它不同的B和c时,Jacobi迭代法可相应推广为Seidel迭代法和松弛法,这三种方法,都是广义的高维简单迭代法.

5 总结

综上所述,简单迭代法在数值分析中有着非常广泛的应用和极其重要的地位,同时简单迭代法作为一种最特殊的迭代法,发展历史悠久,收敛性条件易得,理论分析简单完整.简单迭代法不但迭代公式简单明了,便于实现,且计算速度极快,计算效率很高,有很大研究和探讨价值.

〔1〕John H. Mathews,Kurtis D. Fink,数值分析[M].(英文版).北京:电子工业出版社,2009.

〔2〕徐萃薇,孙绳武.计算方法引论[M].北京:高等教育出版社,2002.

〔3〕陈天雄.New ton 迭代法的应用研究[J].荆楚学院学报,2010,25(7):42-45.

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