周 伟

(淮阴师范学院数学科学学院,中国 淮安 223300)

1 预备知识

定义1设∑P表示形如

且在E=z:0

设函数φp(a,c;z)为

(x)0=1,(x)k=x(x+1)(x+2)…(x+k-1) ,k∈N,

这里(x)k为Pochhammer记号.它可以表示成超几何函数[9-10]

定义2设f∈∑p,定义关于∑p的线性算子Lp(a,c)如下

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)f(z).

可证明线性算子Lp(a,c)满足

(1)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z).

定义3若f∈∑p且满足

其中z∈E,-1≤B

(2)

2 主要结论

假定a>0,c>0且0≤B<1.

(3)

其中

(4)

当

(5)

时,结论是精确的.

从而有

(6)

考虑z取实值.取z=r(0≤r<1).则当r=0时,(6)式的分母是正的,从而对于所有的r(0

从而(3)式成立.

反之,由(3)式可得:

由定理1可得下面精确的系数估计.

当f(z)为(5)式时,等号成立.

(7)

其中Ck=kΓk+p(a)[k(1+B)+p(A-B)],k=p,p+1,…;p∈N，且Γm(a)由(4)式给出.

(8)

由(5)式给出的f(z)为(7),(8)式的极值函数.

从而可得(7),(8)式成立.定理得证.

(1)f在圆盘z

(9)

其中

(10)

且Γm(a)由(4)式给出.

(2)f在圆盘z

(11)

其中

(12)

且Γm(a)由(4)式给出.由(5)式给出的f(z)为这些结论的极值函数.

证(1)由定义(2)式可得

(13)

则

从而可得(9)式成立.

由(13)式可得:z

(2) 由(2)式得

(14)

则

由(14)式可得:z

参考文献:

[1] SRIVASTAVA H M, PATEL J. Some subclasses of multivalent functions involving a certain linear operator[J].J Math Anal Appl, 2005,310(1):209-228.

[2] LIU J L, SRIVASTAVA H M. Subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a certain linear operator[J].Math Comput Modelling, 2004,39(1):35-44.

[3] LIU J L. SRIVASTAVA H M. Classes of meromorphically multivalent functions associated with the generalized hypergeometeic function[J].Math Comput Modelling, 2004,39(1):21-34.

[4] SRIVASTAVA H M, HOSSEN H M, AOUF M K. A unified presentation of some classes of meromorphically multivalent functions[J]. Comput Math Applic, 1999,38(11-12):63-70.

[5] LIU J L, SRIVASTAVA H M. A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions [J]. J Math Anal Appl, 2001,259(2):566-581.

[6] YANG D G. On meromorphic starlike multivalent functions[J].Chin Quart J Math, 1993,8(3):88-93.

[7] 李书海.关于β级预星像函数的一个子类[J].陕西师范大学学报：自然科学版, 1999,51(S1):49-52.

[8] SRIVASTAVA H M, MISHRA A K. Applications of fractional calculus to parabolic starlike and uniformly convex functions[J]. Comput Math Appl, 2000,39(3-4):57-69.

[9] DZIOK J, SRIVASTAVA H M. Classes of analytic functions associated with the generalized hypergeometric function[J]. Appl Math Comput, 1999,103(1):1-13.

[10] DZIOK J, SRIVASTAVA H M. Certain subclasses of analytic associated with the generalized hypergeometric function[J].Integral Transfom Spec Funct, 2003,14(1):7-18.