● (砀山中学 安徽砀山 235300)

2012年安徽省数学高考理科压轴题的探究

●胡云浩(砀山中学 安徽砀山 235300)

1 试题探究

(1)证明：{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0；

(2)求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

(2012年安徽省数学高考理科试题)

这道安徽省的高考压轴题考查了函数、数列、不等式等有关知识，综合性大、技巧性强、内蕴深厚，是一道既考知识又考能力的好试题.本题的2个小题一证一求，都与数列单调性的充要条件有关.对于考查数列单调性的问题，近年来的高考试题与竞赛题多有出现，而目前流行的解法都是就题论题，没有给出通法.本文将从函数的观点来揭示此类问题的命制思路，并给出求解通法.

为行文方便，约定：若数列{an}由初始值a1与递推式an+1=f(an)给出，则称函数y=f(x)为数列{an}的“原函数”.

定理1已知数列{an}的“原函数”y=f(x)在区间A上为增函数，an∈A.如果f(x)>x，f(x)=x，f(x)

(1){an}为递增数列的充分必要条件是an∈A1；

(2){an}为常数数列的充分必要条件是an∈A0；

(3){an}为递减数列的充分必要条件是an∈A2.

结论较浅显，请读者自行证明.

定理2已知数列{an}的“原函数”y=f(x)在区间A上为增函数，an∈A.如果f(x)>x，f(x)=x，f(x)

(1){an}为递增数列的充分必要条件是a1∈A1；

(2){an}为常数数列的充分必要条件是a1∈A0；

(3){an}为递减数列的充分必要条件是a1∈A2.

证明(1)(必要性) 因为{an}为递增数列，所以

an+1>an，

即

f(an)>an，

则

an∈A1,

因此

a1∈A1.

(充分性) 用数学归纳法.

当n=1时，因为a1∈A1，所以

f(a1)>a1，

即

a2>a1.

假设当n=k时，结论成立，即

ak+1>ak.

当n=k+1时，

ak+2=f(ak+1)>f(ak)=ak+1，

即

ak+2>ak+1.

由此可知，对于任意正整数n，都有an+1>an，即{an}为递增数列.

(2)和(3)同理可证.

评注(1)定理中条件“函数y=f(x)为增函数”不可缺少，否则数列{an}不单调(易证).

(2)从充分性的证明中可看出：当a1∈Ai时,an也必须满足an∈Ai(i=1,2,3)，亦即当x∈Ai时，f(x)∈Ai不容忽视.

2 定理应用

例1见文首.

分析(1)由题意,知数列{xn}的“原函数”为

f(x)=-x2+x+c.

因为x1=0且{xn}单调递减，所以

xn∈(-∞,0].

由定理1,知x∈(-∞,0]是f(x)>x解集的子集.由f(x)>x，得

x2>c,

从而

c<0.

当c<0时，f(x)=-x2+x+c在x∈(-∞,0]上单调递增，且当x∈(-∞,0]时,

f(x)=-x2+x+c∈(-∞,c](-∞,0]

满足定理1的条件.由定理1知{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0.

(2)由第(1)小题，知c>0.由f(x)>x,得

评注由于数列的该性质是由函数的性质递推给出的，因此标准答案对于充分性的证明是用数学归纳法给出的，这也恰好体现了“递推”特色.后面的试题都具有这种特征，将不再赘述.

(1)略；

(2)求使不等式an

(2010年全国数学高考理科试题)

分析由题意知数列{an}的“原函数”为

因为a1=1,an

an∈[1,3).

(1)略；

(2)若对一切n∈N+都有an+1>an，求a1的取值范围.

(2009年安徽省数学高考理科试题)

分析由题意知数列{an}的“原函数”为

(2008年山东省高中数学竞赛预赛试题)

分析由题意知数列{an}的“原函数”为

由f(x)>x,得

x∈(1,2)或(-∞,1).

(2001年上海市数学高考试题)

分析由题意知数列{xn}的“原函数”为

由f(x)>x,得

x∈(1,2)∪(-∞,-1).

以上5道高考与预赛题具有相同的背景、命制思路，真可谓是5道姊妹题，原是同根生.相比于充斥教辅市场、数量繁多的模拟试题，高考试题是其中的“精品”.因此，要舍得在高考试题研究上下功夫，明晰其来龙去脉，揭示其本质特征,找到其通性通法.唯有如此，才能使复习真正做到以不变应万变，才能使教学有实效、高效.