李华晋，邹 剑，王 伟，林嘉睿，邾继贵，叶声华

(天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072)

在产品存在复杂曲面的工程与工业生产行业，如汽车、飞机、船舶等，基于图像的视觉测量技术以其非接触式、操作简单、适应性强、工作环境要求低等特点，越来越多地被应用于装配和质量控制中。［1－3］相机标定是视觉测量的关键技术和步骤，目前已产生了很多种标定方法，如传统标定方法、自标定方法、主动视觉标定方法等。［4］这些方法均建立了畸变模型或补偿畸变的成像模型，解算相机主距(f)、主点(Cx，Cy)等模型参数，例如传统方法的经典代 表:DLT 方 法［5、6］、Tsai 方 法［7、8］、Weng 迭 代法［9］等。此类方法中，由于模型各参数间的相关性、非线性求解的不确定性、非模型化参数等因素的影响使模型补偿存在局限性，难以进一步提高精度以满足工业现场越来越高的要求。

非模型化相机标定抛弃了模型求解方式，对相机成像进行光学模拟标定，逐像元精密标定CCD全像面，建立视场角度－像面坐标映射表，实现高精度的畸变细化修正。此方法具有可补偿非模型化参数，无模型求解的不确定性问题等优点;但一维靶标的加工精度、图像处理精度、分度机构的精度等关键误差项会影响标定精度，故研究其误差分布特性，对此标定技术的发展具有重要意义。

1 标定原理

非模型化相机标定是获得分度映射表的过程，每对一个方向标定可以得到一个分度映射表，一般选择水平、竖直两个正交方向对相机进行两次标定，由于标定过程相同，本文仅研究水平方向。

根据垂线法，空间直线在一个视场方位成像为像面上的一条曲线。在某一方向上，直线以固定视场角间隔连续旋转，则在像面上的对应为一系列曲线，并将像面细分成连续的角度分度区域。使用多齿分度台带动相机转动，以相对运动的方式实现一维靶标在不同视场角下拍摄。如图1所示，多齿分度台带动相机，以固定分度角间隔精密旋转，每个视场拍摄一次靶标，处理图像提取靶标像点，即分度点坐标，与视场角一起存入分度映射表，经过对全像面的拍摄提取，从而实现对整个像面的标定。

图1 相机标定装置原理图

像面的细分过程如图2所示，分度点随视场角沿u方向增加，逐渐覆盖整个像面。每列分度点对应一个标定角度，像面被划分成多个分度块(分度块:在u、v方向上均相邻的4个分度点围成的像面区域)，分度角度间隔和一维靶标点间隔分别决定了分度块u、v方向边长。在理想针孔成像模型下，u坐标值与视场角度值一一对应，像点u坐标直接代表视场角度。实际上，成像畸变及其他因素的影响，使在同一视场方位成像的一列分度点以曲线，甚至锯齿线形排列，因此需要同时使用u、v坐标，按与像点临近的多个分度点插值解算角度值。

图2 像面细分过程

被测像点处于某个分度块之中，当分度角度间隔足够小时，便可使用线性插值算法，其仅会引入极微小的分度插值误差(0.000 1 pixel量级)。一般情况下，分度块是不规则的四边形，如图3所示，被测A点在1，2，3，4为顶点的分度块内，按照线性加权插值法，以u坐标为主要权重、v坐标为辅助权重插值，则A点的空间角度θA(uA，vA)见式(1):

式中:UA1为被测点A与分度点1间的u坐标间距，其他类同;VA1为被测点A与分度点1间的v坐标间距，其他类同;θ1为分度点1处的角度值;θE为分度角度间隔。

图3 角度插值算法

2 测角误差分析

分析标定过程，影响标定精度的关键因素有:一维靶标自身精度、分度机构性能、图像处理精度。他们共同作用于分度点坐标、分度间隔、被测点坐标，影响测角精度。各参数项如表1，其中分度点和被测像点坐标均是使用质心法［10－13］进行图像处理获得的，但前者作用于标定过程，而后者作用于测量过程。前者经过一次提取，存入分度映射表，在测量时每次读取固定不变，属于系统误差;后者直接影响测量结果，每次测量引入的误差值不同，属随机误差。

表1 影响测角结果的误差项

2.1 系统误差

设一维靶标上有N个靶点，空间标定角度值与像面上的分度列/线一一对应，分度列包含N个分度点，故标定角度值与分度点存在一对多的关系。一维靶标的理想情况是:N→∞，且靶标点沿严格的直线排列，那么此时的分度线一般是连续且光滑的曲线(因受成像畸变影响)，定义为理想分度线。实际系统中，由于靶点直线度、图像处理精度等影响，分度线与理想分度线间存在偏差，影响着分度线左右以N个分度点为顶点的2N个分度块，在分度块内插值提取角度时引入测角误差。

如图4，分度角 θ1、θ2、θ3对应的分度点列的一种局部分布情况，O、P、Q、R是 θ2的锯齿形分度线的分度点拐点，虚线段l是理想分度线的一部分，阴影部分是实际分度线与理想分度线的偏差，PQ段两者重合。当被测点沿理想分度线轨迹l移动，则引入的误差项沿V方向分布曲线与分度线形状吻合，若被测点的v坐标保持不变，则引入的θd为定值。θd见式(2)。

图4 平滑度误差项的影响过程示意图

式中:x为分度线与理想分度线的偏差;f为相机的有效焦距。

为分析平滑度对测角误差的综合影响特性，以误差项极值θD作为引入误差项的评价标准，将平滑度a代入式(2)，则θD:

系统的测角范围为±10°，若分度角间隔固定，则像面分度间隔f(tanθ3－tanθ2)变化不大，设为 2 pixel，θE为40″时，a－θD关系曲线如图 5。可见降低分度线平滑度可以线性降低引入的误差项极值，当直线度保持在0.2 pixel时，系统误差可降低到4″以下。由表1知，分度线平滑度的降低，可以通过提高靶点空间直线度、采用更精密的坐标提取方法实现。

图5 a－θD关系曲线

2.2 随机误差

测角的随机误差项有像点坐标提取误差和分度角间隔。像点坐标的提取是实现测量的基础及关键步骤，系统选用红外LED作为特征点，使用质心法提取像点中心坐标，提取误差服从正态分布，σuA=0.05 pixel、σvA=0.05 pixel，σθE=0.6″。

式(1)中参与计算的5个像点坐标中，只有被测像点坐标(uA，vA)引入的是随机误差项。按式(4)合成随机误差标准差，当 θE=40″时 σθ=1.60″［14－15］。

3 实验

为验证标定方法的可行性和关键误差研究的正确性，设计实验:按照标定装置布置实现，但仅打开一个红外LED代替整个一维靶标作为被测点，如图6，验证测角结果。实验设备有:FL2G－50S5M－C工业相机配合Schneider 23 mm镜头;一维靶标是29个红外LED靶点构成，标定距离3 m，以40″为分度间隔。在水平角－10°～10°内标定，u方向分布1 876个分度列，每一列有29个分度点。见图7，分度列间的分度角度间隔相同，但像素间距不同;分度列内各分度点像素间距不同。

图6 实验现场图

在－10°～10°范围内，以 0.5°间隔测角 3 个测回，获得240个共40个角度处的测量数据，使用往、返测回的平均值作为测角数据，每个测回的测角结果偏差体现了测角随机误差。

图7 像面分度点分布

但实验存在调整误差，如图8所示由于光心与转轴存在重合度偏差，即标定坐标系与验证坐标系不重合，偏心距R导致验证误差(θ'－θ0)随θ0呈三角函数分布，可通过将误差数据进行三角函数拟合去除。

图8 校准偏心模型

剔除校准误差后的水平角测角误差分布如图9。整体误差分布趋势如图10，出现的拐点对应图(4)中分度线的拐点，说明验证机构在与水平面成一定角度的平面内旋转，被测像点穿越了分度线的不同区间段，引入了平滑度系统误差项。将实验参数代入式(3)有:

图9 测角误差分布

图10是测角误差项中的θd分布，在±6″以内。测回间的数据偏差体现了随机误差项，如图11所示，随机误差分布在±4″以内，测角误差标准差为1.68″与2.2 节的理论值 σθ=1.60″基本吻合，测角不确定度为5.04″(99.73%的置信概率)。

图10 θd的分布

图11 随机误差分布

4 结论

本文首先介绍了非模型化相机标定方法的原理、标定过程、测角模型。其次，分析了关键系统误差－分度线平滑度的作用过程和分布特性;对随机误差项进行合成。最后，设计实验验证了测角结果及误差分析的正确性，得到了系统目前条件下，系统误差－平滑度误差项的分布特性(20″/pixel)及测角不确定度5.04″(99.73%的置信概率)。标定方法的误差分析，对标定参数的选取有重要的指导意义，系统误差在目前配置下是在±6″内分段线性分布，由于直接受一维靶标的靶点直线度影响，故可通过提高一维靶标的制造精度进一步提高标定精度，有很好的应用前景。

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