丁剑

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

图像缩放是一种转换图像分辨率的处理技术。在数字图像的处理中，图像缩放一直是一项重要的内容，具有广泛的应用。传统的图像缩放方法有最邻近插值法（又称零阶插值）、双线性插值和双三次插值[1-2]。这些传统算法都是采用多项式的方法，根据离散的像素点构造出一个连续的插值函数，再利用插值函数求出任意位置处的函数值。这些方法的优点是能快速生成所需的目的图像，并且具有良好的视觉效果，其缺点是在插值过程中容易造成边缘层次模糊和块状效应（像素重复显示），对于那些纹理特征和边缘细节比较丰富的图像，处理的效果不尽如人意。图像是一种视觉信息，图像像素之间一般并不具有线性关系，因此有人在图像处理中引入了非线性理论[3-5]。如朱功勤、檀结庆等在向量连方式方面开展了比较深入的研究，建立了二元Thiele型向量值有理插值[6]。英国著名的数学家罗素（Bertrand Russell）曾经这样说过：“逼近的思想将支配所有的精确科学”[7]。有理函数是一种典型的非线性逼近方法，用有理函数构造图像的插值函数或许能取得更好的效果。如胡敏等用二元向量有理插值来对图像进行处理[8]，苏本跃等将切触有理混合插值算法应用到图像缩放中[9]，王强等提出了有理插值样条的图像算法[10]。本文将构造一种含参数的有理插值算法来实现图像的缩放，且通过对参数不同的选择可以对插值函数进行局部修改，实验结果表明，本文的方法能有效地提高图像放大的质量。

1 双线性有理插值

1.1 双线性有理插值函数的构造

设 Ω： [a，b；c，d]为 一 个 平 面 区 域 ， {（xi，yi），i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，m}为一组给定的数据点，fi，j为定义在该点的函数值，其中a=x1

其中 λi为参数，且 λi＞0。

显 然 式 （1）满 足 H*i，j（xi）=fi，j，H*i，j（xi+1）=fi+1，j。

再 根 据 H*i，j（x）， 构 造 区 域 [xi，xi+1；yj，j+1]上 的 有 理 插值函数：

其 中 ，βj为 参 数 ，βj＞0，且 满 足 Hi，j（xr，ys）=f（xr，ys），r=i，i+1，s=j，j+1。

式（2）即称为带参数的双线性有理插值函数。

1.2 双线性有理插值的矩阵表示

为了更简洁地表示双线性有理插值函数，便于编程，采用矩阵的形式来表示插值函数，令：

则式（2）可表示为：

1.3 插值函数的性质

（1）Hi，j（x，y）具有保 正性。 即当 fi，j的值为 非负时，Hi，j（x，y）的值也非负。

（3）端 点 性 质 ：Hi，j（xi，yj）=f（xi，yj）；Hi，j（xi+1，yj+1）=f（xi+1，yj+1）。

2 基于双线性有理插值的图像缩放

假设源图像 R（x，y）的大小为 M×N，任意缩放 k倍后的目标图像 R′（x，y）的大小为 kM×kN。

（1）设源图像 R（x，y）中第（i，j）处的像素值为 Ri，j，i=1，2，…，M，j=1，2，…，N。 目标图像 R′（x，y）在第（i′，j′）处的像素值为 R′i′，j′。 若 i′/i=k 且 j′/j=k，则 R′（i，j）=R（ki，kj）。

3 实验结果与分析

本文先将源图像（Lena，Peppers，Monkey图）缩小两倍，再分别以双线性插值、双三次插值和本文的方法（其中参数 λi取 0.1，βj取 0.15）分别放大两倍，然后比较这三种方法放大后图像的视觉效果。

先用比较平滑的 Lena（256×256）和 Peppers（256×256）图像作比较，结果如图1和图2所示。

图1 Lena图像实验结果

图2 Peppers图像实验结果

再用边缘特征和纹理比较丰富的 Monkey（256×256）图像作为原图像，缩小两倍后，再分别用三种算法放大两倍后，效果如图3所示。

图3 Monkey图像实验结果

主观上，根据边缘检测函数Canny算子分别检测图3（a）、（b）、（c）、（d）的边缘，效果如图 4 所示。

图4 图3各图像边缘检测结果

从图4中四幅边缘图像可以看出，本文的方法在放大图像时对于图像的边缘保持较好。

客观上，三种算法的峰值信噪比（PSNR）如表1所示。

表1 三种算法的PSNR比较

比较表1中数据可以看出，相比于双线性插值和双三次插值，本文方法对于图像的放大效果有所提高和改善。

本文构造了一种含参数的双线性有理插值，通过非线性的方法来实现图像的缩放，实验结果表明这种算法对于图像的处理效果有所提升，是一种有效和控制灵活的方法。如何将线性和非线性方法结合起来，根据图像的不同颜色特征区域自适应地选取不同的图像缩放方法，是下一步研究的重点。

[1]江铭炎，李兴江，袁东风.图像插值放大处理的方法[J].山东大学学报：理学版，2003，38（3）：1348-1351.

[2]马天骏，高优行.基于三次样条的不均匀插值图像放大方法[J].电子科技，2004（2）：45-50.

[3]Zou Le，Tang Shuo.New Approach to Bivariate Blending Rational Interpolants [J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics， 2011，26（2）：280-284.

[4]刘值，张莉，时军，等.基于函数值的线性有理插值样条[J].工程图学学报，2009，30（6）：86-90.

[5]方逵，邓四清，谢进，等.一种新的二元有理插值及其性质[J].工程图学学报，2010（4）：116-122.

[6]檀结庆.连方式理论及其应用[M].北京：科学出版社，2007.

[7]王仁宏，朱功勤.有理函数逼近及其应用[M].北京：科学出版社，2004.

[8]胡敏，檀结庆，刘晓平.用二元向量有理插值实现彩色图像缩放的方法 [J].计算机辅助几何设计与图形学学报，2004，16（11）：1496-1500.

[9]苏本跃，盛敏.自适应图像缩放的切触有理混合插值算法[J].计算机工程与应用，2010，46（1）：196-199.

[10]王强，檀结庆，胡敏.基于有理样条的图像缩放算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报，2007，19（10）：1348-1351.