用向量数学工具分析经济效应的方法探讨

2012-07-25周凤珍

统计与决策 2012年8期

周凤珍

0 引言

在经济效应分析中，某种商品价格的变化可能会产生两方面的影响：一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更贵或更便宜了，这会导致消费者减少或增加对该商品的消费量，而增加或减少对该商品替代品的消费量；另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）下降或上升，这也会导致该消费者减少或增加对商品的消费量。前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应，总效应=替代效应+收入效应。

西方经济学一般用图解的方法分析收入效应、替代效应及总效应，当前经济学教材中普遍采用的分析表达方法，本文称为“一般分析方法”。

1 一般分析方法简介

以图1为例，介绍分析物品的替代效应、收入效应和总效应的一般分析方法[1]。

图1中的横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中商品1是正常物品。在商品1价格变化之前，消费者的预算线为AB，该预算线与无差异曲线U1相切于X点，X点是消费者效用最大化的一个均衡点。在X均衡点上，相应的商品1的需求量为OX10，现假定商品1的价格P1下降使预算线的位置由AB移至AB′。新的预算线AB′与另一条代表更高效用水平的无差异曲线U2相切于Z点，Z点是商品1的价格下降以后的消费者的效用最大化的均衡点。在Z均衡点上，相应的商品1的需求量为OX12，比较X、Z两个均衡点，商品1的需求量的增加量为X10X12(=TE)，这便是商品1的价格P1下降所引起的总效应。这个总效应可以被分解为替代效应和收入效应两个部分。

为了从总效应中离析出替代效应和收入效应，作一条平行于新预算线AB′且与无差异曲线U1相切的预算补偿线FG，FG与U1相切于Y点（本文称之为“辅助均衡点”），在Y点商品1的需求量为OX11，依据经济分析可知，X10X11（=SE）为替代效应，X11X12(=IE)为收入效应，X10X12=X10X11+X11X12，即TE=SE+IE。

由于低档商品与正常商品的消费量随价格变动的情况不同，分析低档商品及低档商品中的吉芬商品，在一般分析方法中一般是分别论述的，这里不再赘述，读者可参考经济学教材，因为本文旨在介绍新的分析方法。

一般分析方法中，确定收入效应、替代效应及总效应的方向，是以价格变动方向为参照系的，比如经济学教材中总是这样表达效应的方向：与价格成“同方向”或“反方向”变动，而价格可能上升也可能下降，所以“参照系”是变化的。由于“参照系”的变来变去，常使初学者倍感糊涂。笔者尝试商品的效应分析中引入向量，不必区分正常品、低档品等，按照统一的数理方法进行分析即可。

图1 正常物品替代效应和收入效应的一般图解

2 向量分析法

前面已简要介绍了关于替代效应、收入效应及总效应一般分析方法。下面解释向量分析法的原理。

假设一切条件同前面所述，在图1中添加向量：从初始均衡点X指向新均衡点Z，作向量，为总效应向量；从初始均衡点X指向辅助均衡点Y作向量，为替代效应向量；从辅助均衡点Y指向新均衡点Z作向量，为收入效应向量，得到图2。

如图2所示，替代效应向量、收入效应向量和总效应向量三者的关系为：

图2 替代效应和收入效应及总效应的向量图解

图3 相关商品的替代效应、收入效应和总效应向量图解

由此可以看出，当价格变化均衡点移动时，每个向量中都包含了商品1和商品2的效应信息，根据向量的数学性质，可分解出其中包含的商品1和商品2的各种效应量。假如分析更多商品，理论上说也同此理，因为向量中包含了所有相关商品的效应信息。

以上是向量法用于从图形上看是正常商品的例子，如果用于分析低档（非吉芬或吉芬）商品价格变动产生的效应也一样，适用于任何类型商品及任意价格变动的效应分析，可以一以贯之。下面不妨再以吉芬商品为例说明如下。

假设商品1是吉芬商品，当商品1价格P1下降时，作向量图如图4所示，商品1的总效应向量、替代效应向量及收入效应向量分别是和，且这三个向量在X1轴方向的分向量分别是和代表P1下降商品1产生的总效应向量、替代效应向量和收入效应向量，且，这些分向量的数量值分别是TE、SE和IE，TE=SE+IE。

可见，吉芬商品与正常品的效应分析方法一样，确定效应量的数学过程一样。可以推而广之，用于任何类别的商品效应分析。

3 向量分析法的意义

通过前文的论述，在分析收入效应、替代效应及总效应时，向量分析法与一般分析法相比，其意义可总结如下：

（1）延伸数理分析线路

图4 吉芬品的效应向量图解

作出向量后，下一步还可以用解析几何的方法处理效应问题。如图5所示。

通过前面的分析可知，向量分析法的实质是依据三个均衡点X、Y、Z（始与终两个均衡点及一个辅助均衡点）确定效应向量关系的。前文假设条件不变，一个消费者消费商品1和商品2，以此建立坐标系如图5所示，设初始均衡点X（X10,X20）点,商品1价格发生变化后,新的均衡点Z（X12，X22），为了分解出总效应中的替代效应量和收入效应量，作补偿预算线，得到辅助均衡点Y（X11，X21），依据向量指示的方向可以进行解析计算，价格变化引起的商品1的总效应量就是替代效应IE=,收入效应计算商品2的效应亦同理。

（2）拓展分析范围

现实中商品价格总是起伏不定地波动着，当要考察商品价格的多次变化引起的效应时，用向量跟踪表示更为方便。

图5 替代效应和收入效应及总效应的向量解析法图解

如图6所示，假设最初消费均衡点在Z点，由于商品1价格P1上升，消费均衡点由Z点变为X点，然后P1又下降了，消费均衡点由X点又变为W点，那么从最初均衡点向最终均衡点作向量就是所有变化的总效应向量，为P1上升阶段的总效应向量，为P1下降阶段的总效应向量，且，求解商品1各阶段价格波动效应量的方法一样，只需依据向量的性质，作出各向量在X1轴方向的分向量即可。

图6 商品价格任意变化时效应向量图解

所以，向量法可用于动态或多个均衡点分析。

无论如何变化，总能作出一个闭合的向量图，依向量箭头方向看，两条向量路线都是从初始均衡点出发，止于最终均衡点，其中一个路线是从初始均衡点直指最终均衡点，只有一个向量，这就是总向量，例如图6中向量另一条路线从初始均衡点出发，顺次经过其他各均衡点，最后“到达”最终均衡点，例如图6中向量要分析各种效应量，只需分解各向量在目标商品轴（如图6中X1或X2轴）上的分向量即可得之，非常简便。

把向量这个数学工具引进经济学的基础分析中，比较图1和图2，可以看出：在图1中，效应量TE、SE、IE只能靠经济分析确定其方向及数值，从数理意义上看似乎是“无源之水”，而在图2中引入向量以后，就既有经济意义又有数理意义了，达到了经济意义与数理意义的完美统一。从数理意义上看，图形底部标出的向量及其数量值TE、SE、IE就有了“源头”，从图1的“无源之水”变成了图2有来龙去脉的“有源之水”，在不失“经济成分”的同时，疏通了数理“脉络”，从数理上解释了总效应向量、替代效应向量、收入效应向量以及总效应TE、替代效应SE、收入效应IE的来自哪里，逻辑思路清晰。

把向量用于经济效应分析，可以看出经济理论与数学向量工具的结合路线图是这样的：找出均衡点（依据经济理论分析）→作向量（经济意义与数学工具相结合）→向量运算（依据数学理论分析）→得出效应量（还原出数学变量的经济意义）。概括地说，这个分析过程的路线图就是：经济分析→数理分析→经济意义还原。

利用向量分析法，无论哪类商品也无论哪种经济效应，都可统一到数学意义的正负值上，清晰明了，逻辑严密，是具有普适性的经济学数理分析方法。

（3）直观性强

效应向量化之后，向量中“携带”了效应的所有信息，通过向量的分解可以一一释放出来。比如，前文中根据各向量方向与X1轴或X2的方向是同向或反向，就可以直观地看出各效应向量数值的正负及其间的叠加关系了。因此，只需在图形上作出向量，不必再象一般分析方法中的图1所示那样，在图形底部刻意标示出来，通过向量的数学性质就能直观地判定效应量的方向及其关系了。

用向量表示，各效应量间的关系一目了然，向量图上非常清晰地反映出其间的叠加关系（同向或反向），从而也就很容易判断出每种效应量值的正负。也就不必刻意记住西方经济学教材里的“同方向”或“反方向”判定表格，而且无论价格上升或下降，直接从起点（初始均衡点）向终点（新均衡点）作一个向量，就是总效应向量，再把总向量分解为替代效应向量和收入效应两个向量，三个向量中就包含了所有的效应信息。然后运用向量的数学性质运算，分解出所有想要的具体商品的效应量。

以劳动经济学中工资率变化的效应分析为例，如图7所示。

假如随着经济的增长，工资率提高了，工资率的提高不仅使个人的收入增加，同时也使余暇和劳动时间的效用发生相应的变化。工资率的变化同时带来两种效应：收入效应与替代效应。主体的劳动供给决策所受的影响也最终取决于这两种效应的相互关系。

在图7中，U1，U2分别是不同效用水平的余暇—收入等效用线，且U2＞U1，横轴OH轴为余暇时间，OH0为每天最大的余暇时间（24小时），纵轴为收入Y，Y0H0为工资率W1时的收入线，Y1H0为工资率W2时的收入线，收入线与横轴夹角的正切值即为工资率，这里显然W2＞W1。