王 涛，王 清，李德明

(1.华北科技学院基础部，河北 三河 065201；2.首都师范大学数学系，北京 100048)

图的优美标号问题起源于20世纪60年代，自它问世以来，一直是组合数学的一个热门课题，它在数学理论及实际应用领域都有其重要的研究价值，如运用优美标号来解决完全图分解为同构子图的问题，纠错码设计、通讯网络、雷达脉冲、导弹控制码设计等等[1]。在图的优美性的研究成果中，多数是关于连通图优美性的研究[2-7]，近年来，人们开始关注非连通图优美性问题，并取得不少关于此条件下的优美性的结论[8-12]。

定义1 设图G=(V,E)，k为任意正整数，如果存在一个单射f：V→{0,1,…,|E|+k-1}，使得对所有的边uv∈E，由f′(uv)=|f(u)-f(v)|导出一个双射f′：E→{k,k+1,…,|E|+k-1}，则称图G是k-优美图，f是G的一个k-优美标号。1-优美图也称优美图，1-优美标号也称优美标号。

1 A～B优美图

定义2 设图G=(V,E)，对数集A和B，其中|B|=|E(G)|，如果存在一个单射f：V→A，使得对所有的边uv∈E，由f′(uv)=|f(u)-f(v)|导出一个双射f′：E→B，则称图G是A～B优美图，f是G的一个A～B优美标号。

由上述定义易知，当A={0,1,…,|E|+k-1}，B={k,k+1,…,|E|+k-1}时，A～B优美图即为k-优美图。

f(xjp)=2m+jnt-n+p+j+i-1,(j=1,2,…,k-1,p=1,2,…,n);

f(xkp)=2m+knt+p+k+i-1,(p=1,2,…,n);

f(yjp)=m+j+(p-1)n,(j=1,2,…,k-1,p=1,2,…,t);f(ykp)=m+k+pn,(p=1,2,…,t)

(i)注意到，当k≤n时，m+k+n(l-2)=f(yk,l-2)

m+1=f(y1,1)

f(y1,2)

f(y1,3)

f(y1,t)

f(yk,t)

f(x2,1)

f(xk-1,2)<…

f(xk,1)

故映射f：V→A是单射。

(ii)对所有的边uv∈E，设f′(uv)=|f(u)-f(v)|，则顶点为{xj1,xj2,…,xjn}和{yj1,yj2,…,yjt}的二部图，由f′导出的边标号集Ej为：

Ej=[m+(j-1)nt+i,m+jnt+i-1]

所以f′：E→B是双射。

以下我们用a,b分别是序列x1,x2,…,xn奇数项和偶数项的最大脚标。

定理2 对正整数集A=[m+1,3m+k(n-1)+i]-{2m+k(n-1)+i}，

f(x1,p))=

(i)当n≥2时，f(x2,2)<2m+2n+i-2；当n<2m+1时，f(x2,a)2m+2n+i-2，因此，有

m+1=f(x2,1)

f(x2,a)

f(x1,a)

f(x2,2)<2m+2n+i-2

f(x1,b-2)<…

故映射f：V→A是单射。

所以f′：E→B是双射。

定理3 设正整数集Ai=[m+1,3m+n-1+t+i]-{2m+n-1+t+i}，Bi=[m+i,m+n-2+t+i]，(i=1,2)，对任意正整数m,n,t，有

(i)当2≤n<2m+1时，图Pn∪St(t)是A1～B1优美图。

(ii)当2≤n≤2m+1时，图Pn∪St(t)是A2～B2优美图。

证明设路Pn的顶点为{x1,x2,…,xn},星St(t)的顶点为{y0;y1,y2,…,yt}，V=V(Pn∪St(t))，E=E(Pn∪St(t)),则|E|=|B|=t+n-1。

我们定义图Pn∪St(t)的顶点标号fi如下：

,

类似定理1可以证明fi是Pn∪St(t)的一个Ai～Bi优美标号。

当i=2,m=10,n=9,t=6时，非连通图P9∪St(6)的A～B优美标号，可参见下文的图3。

2 非连通图(C3∨∪G及(P3∨∪G的优美性

定理4 设图Gi=(V,E),数集Ai=[m+1,3m+|E|+i]-{2m+|E|+i},Bi=[m+i,m+|E|+i-1](i=1,2),若图Gi是Ai～Bi优美图,则

f1(z1)=2m+1+|E|,f1(z2)=0,

f1(z3)=3m+2+|E|，f1(uk)=k(k=1,2,…,m)

f(v)=f2(v),v∈G1

f1(v1)=2m+2+|E|,f1(v2)=0,f1(v3)=3m+3+|E|，f1(uk)=k(k=1,2,…,m)

结合定理1-3，可得以下结论：

推论1 对任意正整数k,m,n,t，如果满足k≤n≤t，n+k-1≤m，则

图1 (P3∨∪的优美标号

推论2 对任意正整数m,n,t，如果2≤n<2m+1，则

图2 (C3∨∪的优美标号

参考文献：

[1]马克杰.优美图[M].北京:北京大学出版社，1991.

[2]CHENG H,YAO B,CHEN X,et al．On graceful generalized spiders and caterpillars [J].Ars Combin,2008,87:181-191.

[3]YANG Y S,RONG Q,XU X R．A class of graceful graphs [J].Math Research and Exposition,2004,24:520-524.

[6]YOUSSEF M Z．On Skolem-graceful and cordial graphs [J].Ars Combin,2006,78:167-177.

[7]刘家保，潘向峰．轮形图和扇型图的优美性[J]．安徽大学学报：自然科学版，2009,33(4):11-13.

[8]刘瑞芹，张昆龙．非连通并图的优美标号研究[J]．合肥工业大学学报：自然科学版，2009,32(6):940-944.

[9]魏丽侠,贾治中．非连通图G1∪G2及G1∪G2∪K2的优美性[J].应用数学学报，2005,28(4):689-694.

[11]王 涛，刘海生，李德明．和轮相关图的优美性[J].中山大学学报：自然科学版,2011,50(6) :16-19.