对冲方法在可分离债券定价中的应用

2012-05-04苗杰

昌吉学院学报 2012年4期

关键词：马钢公司债券昌吉

苗杰

(昌吉学院数学系新疆昌吉 831100)

对冲方法在可分离债券定价中的应用

苗杰

(昌吉学院数学系新疆昌吉 831100)

假设在完备无套利的市场中，合理地建立投资组合，用对冲的方法研究可分离债券的定价，得到可分离债券价值所满足的偏微分方程，并利用有限元差分法得到可分离债券价格的理论值，通过与实际值的比较说明定价模型是可行的.

可分离债券;对冲;数值解;偏微分方程

可分离债券在《上市公司证券发行管理办法》中,它的全称叫做“认股权和债券分离交易的可转换公司债券”,它是指上市公司在发行公司债券的同时附有认股权证,是公司债券加上认股权证的组合产品,但同时具有债券和认股权证可分离交易的特性.2006年11月29日,马钢股份公司发行了我国第一只可分离债券;2007年发行了6支可分离债券,规模达到188.8亿,比2006年翻了2番;2008年1至5月,又有8家公司发行,融资规模为450.95亿元;另外有两家过会,10家公司拟发行。若这些企业都能顺利融资,那么募集金额将高达1千多亿,比2006年翻了近13番;目前国内有20只可分离债券,17只在上海证券交易所,3只在深圳证券交易所上市，还有26家上市公司发布了可分离债发行预案;因此毫不夸张地说,可分离债券成为时下“有实力”上市公司重要的再融资方式之一。因此，对于发行者和投资者来说，最关心的是可分离债券的定价问题。 Black and Scholes[1]得到了著名的B-S期权定价公式;吴敬[2]对可分离债券和可转换债券做了深入的分析,认为可分离债券的价值是认股权证和债券两部分的价值之和;鲁欣[3]用B-S期权定价加债券的方式得到了可分离债券的定价模型;李少华[4]用稀释效应的B-S模型对可分离债券进行了定价;朱丹[5]假设随机利率服从Vasicek利率模型,利用鞅的方法得到了可分离债券的定价模型;苗杰[6-8]分别用二叉树和鞅的方法得到了可分离债券的定价模型。本文用对冲的方法研究可分离债券的定价，得到了可分离债券价值所满足的偏微分方程，并得到其数值解。

1 基本假设

其中 i(t)是公司债券的利率;其余的为股票，股票的价格满足：

其中μ(t),σ(t)是股票的收益率和波动率，W(t)是R上的标准布朗运动.且假设

1)某上市公司在0时刻发行了一种可分离债券,且立即上市,一上市之后就自动拆分为认股权证和债券;

2)债券的票面金额为M元/张；到期时刻为T2;

3)每张可分离债券的最终认购人可以同时获得派发的a份认股权证,权证的存续期为自认股权证上市之日起至T1;

4)持有人在权证到期才能行权,行权比例为1∶b,行权价格为K元/张;

5)股票交易连续进行(即任何时刻均可进行),不存在交易费用及交易税;

6)债券利息按连续复利计算;

7)可分离债券无违约风险;

8)认股权证对应股票在有效期内无红利支付。

2 定价模型

3 可分离债券定价模型的数值解

我们为了解下列偏微分方程的数值解∶

下面我们来看四个例子.

例一：中石化可分离债券于2008年2月20日发行，公司债券的最终票面利率为i=0.008，债券期限为T2=6年，无风险收益率取发行时中国人民银行规定的一年期银行定期存款利率，即：r=0.0414, P(0)=M=100认股权证的存续期为T1=1,a=10.1,b=0.5,股票的敲定价格为K=19.68,计算日中石化股价S(0)=16.81，此外，通过统计中石化股价的历史数据，采用矩估计，可以估算出股价的波动率σ=0.7183，(取上市交易前180个交易日数据),中石化可分离债券在0时刻的实际值V(0)=100。

例二：马钢可分离债券于2006年11月29日发行，公司债券的最终票面利率为i=0.014，债券期限为T2=5年，无风险收益率取发行时中国人民银行规定的一年期银行定期存款利率，即：r=0.0252, P(0)=M=100 认股权证的存续期为T1=2,a=23,b=1,股票的敲定价格为 K=3.4,计算日马钢股价S(0)=2.9，此外，通过统计马钢股价的历史数据，采用矩估计，可以估算出股价的波动率σ=0.6289，(取上市交易前180个交易日数据),马钢可分离债券在0时刻的实际值V(0)=100。

例三：云天化可分离债券于2007年1月29日发行，公司债券的最终票面利率为i=0.012，债券期限为T2=6年，无风险收益率取发行时中国人民银行规定的一年期银行定期存款利率，即：r=0.0249, P(0)=M=100 认股权证的存续期为T1=2,a=5.4,b=1,股票的敲定价格为K=18.23,计算日马钢股价S(0)=22.62，此外，通过统计马钢股价的历史数据，采用矩估计，可以估算出股价的波动率σ=0.4518，(取上市交易前180个交易日数据),马钢可分离债券在0时刻的实际值V(0)=100。

例四：武钢可分离债券于2007年3月26日发行，公司债券的最终票面利率为i=0.012，债券期限为T2=5年，无风险收益率取发行时中国人民银行规定的一年期银行定期存款利率，即：r=0.049, P(0)=M=100认股权证的存续期为为T1=2,a=9.7;b=1，股票的敲定价格为K=10.2,计算日武钢股价S(0)=12.46，此外，通过统计武钢股价的历史数据，采用矩估计，可以估算出股价的波动率σ=0.5162，(取上市交易前180个交易日数据),马钢可分离债券在0时刻的实际值V(0)=100。

我们把上面四个例子中的数据分别代入上面格式中，用迭代法，得到可分离债券在0时刻的价值,如表所示。

n 25262728V1(0，P(0)，S(0)) V2(0，P(0)，S(0)) V3(0，P(0)，S(0)) V4(0，P(0)，S(0)) 103.5299 106.1873 108.2431 105.4812 103.4961 106.1752 108.2312 105.4643 103.4610 106.1614 108.2214 105.4378 103.4430 106.1568 108.2178 105.4126

4 误差分析

下面我们主要来考虑可分离债券的相对误差，先算出价格的平均值，然后求相对误差，即

产生误差的主要原因：

(1)采用历史数据估计σ;

(2)公司债券利息实际不是连续复利计算，且每年的利率不是固定的;

(3)无风险利率不是固定的;

(4)股票有分红;

(5)市场存在交易费和交易税;

(6)数值格式存在误差O(Δt+Δh)。

5 结论

可分离债券在我国的发展迅猛，已经成为时下有实力的上市公司重要的再融资工具之一。对于投资者来说，最关心的是可分离债券的定价问题，因此对它进行合理的定价是非常重要的。本文用对冲的方法得到了可分离债券价格所满足的偏微分方程，然后通过数值计算得到了可分离债券的理论价格，从文中可以看到理论价格与实际价格的误差很小，从而说明定价模型是可行的。

［1］F.black M Scholes.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy 81(may-june 1973)637-54.

［2］吴敬.可分离转换债券价值评估及风险分析［J］.金融监管,2008,(6)：46-48.

［3］鲁欣.我国分离交易可转换债券的定价研究［D］.苏州大学,2008.

［4］李少华,杜鹏,董力强.分离式可转换债券定价模型及实证分析［J］.商业经济,2010,(10)：80-83.

［5］朱丹.随机利率下可分离交易可转换债券的鞅定价［J］.应用数学学报,2011,34(2)：265-271.

［6］苗杰,师恪,蔡华.跳扩散模型下的可分离债券的定价［J］.山东大学学报(理学版),2010,(8)：109-116.

［7］苗杰,蔡华.离散时间下的可分离债券的定价［J］.昌吉学院学报,2008,(3)：95-97.

［8］苗杰,师恪.连续时间下的可分离债券的定价［J］.数学的实践与认识,2009,39(15)：1-6.

∶F830.9;O211.63< class="emphasis_bold">文献标识码∶

∶A

1671-6469（2012）04-0086-05

2012-5-21