王文琦

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同037009)

1 问题的引出

复变函数中定义函数不解析的点为奇点，如果函数f(z)虽然在z0不解析，但在z0的某个去心邻域内处处解析，则称z0为f(z)的孤立奇点。孤立奇点及其性质在复变函数中是非常重要的知识点，具有非常重要的地位[1-3]。如复变函数的积分、洛朗级数展开、复变函数在孤立奇点处的留数、留数定理等很多有关复变函数的性质都与孤立奇点有着紧密的联系。在学习孤立奇点概念及其性质时，怎样确定复变函数的奇点的类型是重点和难点，尤其是在确定极点阶数的问题时往往比较困难。确定奇点的类型，通常有两种方法：

(1)把复变函数f(z)在其孤立奇点z0的某去心领域内展开成洛朗级数，然后根据展开的洛朗级数中(z-z0)的负幂项的情况来确定该奇点属于哪一类奇点(无负幂项为可去奇点，有限个负幂项为极点，无穷多个负幂项为本性奇点)；

2 用零点与极点的联系确定复变函数的极点阶数

把函数表示成以简单函数的商、和及积的3种形式：f(z)=P(z)/Q(z)，f(z)=P(z)+Q(z)，f(z)=P(z)Q(z)，相比将一个函数表示成f(z)=1/g(z)的形式，要更为容易一些[4]。下面利用复变函数零点和极点的性质以及零点和极点之间的关系来确定以上这3种形式的函数的极点阶数。

2.1 第1种情况

z=z0是函数P(z)的m阶零点，是函数Q(z)的n阶零点。函数f1(z)=P(z)/Q(z)，f2(z)=P(z)+Q(z)，f3(z)=P(z)Q(z)，那么z0与这 3个函数的关系如何？

z0是函数P(z)的m阶零点，是函数Q(z)的n阶零点，根据零点的定义[1]可知P(z)和Q(z)可以表示为：P(z)＝（z－z0）mφ(z)，Q(z)＝（z－z0）nφ(z)，且 φ(z)和 φ(z)在z0解析，并且φ(z0)≠ 0，φ(z0)≠ 0。m和n为正数。

因为φ(z0)和φ(z0)在z0解析，根据解析函数的性质可知，在分母不为零时两个解析函数的商仍为解析函数[2]，因为 φ(z0)≠ 0,所以 φ(z)/φ(z)在 z0的邻域内解析，将φ(z)/φ(z)在z0的邻域上展开成泰勒级数[3]:

当时m＜n时，

f1(z)在z0的去心邻域上展开成洛朗级数后，其(zz0)的负幂项为有限个，(z-z0)-1项的最高幂为(zz0)-(n-m)，该项系数为c0。因为c0≠ 0，m-n＜0所以z0是 f1(z)的n-m阶极点。

当m＞n时，

f1(z)=(z-z0)m-nφ(z)/φ(z)，φ(z)/φ(z)在 z0解析，且φ(z)/φ(z)=c0≠ 0，m-n ＞ 0，故z0是 f1(z)的 mn阶零点。(此时z0不是f1(z)的孤立奇点)

当m=n时，f1(z)在z0的去心邻域上的洛朗展开式为:

其中没有(z-z0)的负幂项，因此z0是f1(z)的可去奇点。

z0为f2(z)零点，φ(z0)+φ(z0)≠ 0时，零点的阶数取m、n中较小的值。将上式右边做级数展开后，系数不为零的(z-z0)的最低幂为m和n中较小的那一项。

2.2 第2种情况

z＝z0是函数P(z)的m阶极点，是函数Q(z)的n 阶极点。函数 g1(z)=P(z)/Q(z)，g2(z)=P(z)+Q(z)，g3(z)=P(z)·Q(z)，那么z0与这3个函数的关系如何。

z0是函数P(z)的m阶极点，是函数Q(z)的n阶极点，根据极点定义[4]，可得，

其中，φ(z)和φ(z)是z0邻域内的解析函数，且，φ（z0）≠0，φ（z0）≠0。

（1）g1（z）＝P（z）/Q（z），

当m＜n时，

φ（z）/φ（z）在 z0邻域内解析，且 φ（z）/φ（z）≠0，n－m ＞0，z0是g1（z）的n－m阶零点。

当m＞n时，

φ（z）/φ（z）在 z0邻域内解析，且 φ（z）/φ（z）≠0，m－n＞0，z0是g1（z）的m－n阶极点。

当m＝n时，z0是g1（z）的可去奇点。

（2）g2（z）＝P（z）＋Q（z）

当m≠n时，令N＝max（m，n），z0为函数g2（z）的N阶极点。因为将P（z）和Q（z）做洛朗展开后再相加，（z－z0）－1的最高幂取m和n中较大的那一项。

当m＝n，φ（z0）＋φ（z0）≠0时，

所以z0是函数g2（z）的N＝m＝n阶极点。

当m＝n，φ（z0）＋φ（z0）＝0时，z0是函数g2（z）的低于n阶的极点或可去奇点。

（3）g3（z）＝P（z）·Q（z）

z0为函数g3（z）的m＋n阶极点。

综上所述，形式较复杂的函数，可以通过整理变形使之以较为简单的函数商、和以及积的形式表示出来，再利用复变函数零点与极点直接的关系通过上述方式来确定其极点的阶数。

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].2版.北京:高等教育出版社,1994.

[2]西安交通大学高等数学教研室.工程数学·复变函数[M].4版.北京:高等教育出版社,1996.

[3]四川大学数学系微分方程教研室.高等数学(第4册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

[4]钟玉泉.复变函数论[M].3版.北京:高等教育出版社,2004.