刘 涛

（太原供电分公司，山西 太原 030012）

1 引言

电力系统中潮流分布是指系统中电压和功率的稳态分布。根据电力系统的网络结构和功率、电压等物理量量测等系统运行状况的边界条件，来求解潮流分布的计算即潮流计算。潮流计算反映了电力系统的详细运行状态，可以帮助运行、规划人员分析系统在给定条件下的稳态运行特点。潮流计算是电力系统中最基本、最重要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。

最优潮流是数学最优化理论在电力系统中的应用，同时考虑了经济性和安全性，统筹兼顾、全面规划，是电力系统中不可缺少的分析工具，在实际电力系统运行中具有重要意义。

本文研究了潮流计算与最优潮流的最新成果，并重点研究了运用计算机在解决潮流计算问题中的核心技术——稀疏技术，包括稀疏存储和稀疏计算。

2 潮流计算与最优潮流理论

2.1 潮流计算理论

潮流计算在数学上是求解一组由潮流方程描述的非线性方程组。20世纪50年代，随着计算机的出现和计算机技术的发展，研究者开始使用计算机数学模拟方法进行潮流计算。最初通过计算机实现的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的高斯迭代方法（Gauss方法），该方法内存需要少，但是收敛性较差。而以阻抗矩阵为基础的潮流算法，收敛性较好，但大大增加了内存使用量，无法适用于大规模电力系统。牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson，N-R）方法是求解非线性代数方程组的一种方法，在潮流计算中得到应用。20世纪60年代之后，随着Tinney等人提出稀疏矩阵技术和节点优化编号方法，使得牛顿-拉夫逊方法的求解效率大大增加、求解规模大大增加。在20世纪90年代，潮流计算已经被广泛应用于电力系统分析，各种算法都已经实用化。现阶段关于潮流计算的研究，主要包含两个方面：

（1）对于核心算法的研究。如对牛顿-拉夫逊方法或者快速分解发进行改进，以取得更好的计算速度等；或者将人工神经网络、粒子群、遗传算法等新的数学方法引入潮流计算；或者对于新的数学模型，如电流注入模型的研究。

（2）对于提高潮流计算速度的研究。如对于稀疏技术或者节点优化方法的进一步研究；或者将并行计算技术应用于潮流计算。

2.2 最优潮流理论

潮流计算是最优潮流的基础，最优潮流是潮流计算的一种扩展。在潮流计算中，当改变系统运行的边界情况时，系统的潮流分布也会随之改变。电力系统中存在一些可调可控变量，如发电机的有功功率，调相机的控制电压或者无功输出功率，可投切的电容电抗器，有载调压变压器的变比等可以由运行人员进行控制，将这些可控变量记作μ。则控制变量μ值不同时，潮流分布不同。而潮流分布决定了系统的运行效益，如系统网损、系统的总发电费用等，故控制变量μ值会影响系统的运行效益。最优潮流就是在满足系统负荷平衡和系统运行的安全约束等条件下，寻找控制变量μ值，使得系统的运行效益最高。最优潮流在数学上是一个非线性规划问题，在网络结构和参数，系统的负荷给定等条件下，试确定系统的控制变量μ值，使得描述系统运行的某一给定目标函数取极小值。

最优潮流方法众多。如可以按照其处理约束条件的不同分为罚函数类、Kuhn-Tucker罚函数类和Kuhn-Tucker类。可以按照修正的变量空间进行分类，分为直接方法和简化方法，前者同时修正全空间变量μ和x，而后者只修正控制变量μ，状态变量通过约束方程求解得到。也可以按照变量修正的方向进行分类：第一类为梯度类算法，具有一阶收敛性，如最速下降法；第二类为拟牛顿法，收敛性介于一阶和二阶之间，如各种变尺度方法；第三类为牛顿法，具有二阶收敛性，例如Hessian矩阵法。

3 稀疏技术研究

稀疏技术的引入，是电力系统计算的一次革命。电力系统分析计算中广泛涉及与矩阵、矢量相关的运算。由于电力系统本身的结构特点，如一条母线往往只跟周围的几条母线有直接的电气联系，使得反映网络结构的矩阵只有少量的非零元，是一个稀疏矩阵。稀疏技术可以分为稀疏矩阵技术和稀疏矢量技术。在涉及稀疏矩阵和稀疏矢量的运算中，零元是没有必要参与运算的，也没有必要对其进行存储。如果能够做到“排零运算”和“排零存储”，能够减少计算程序的内存使用量、减少浮点运算量，从而加快运算速度。电力系统规模越大，稀疏技术带来的效益越明显。稀疏矩阵技术在各种电力系统分析计算中被广泛采用。

3.1 排零存储

电力系统分析中存在着大量的稀疏矩阵和稀疏矢量。为实现“排零存储”，需要使用特定的格式，只存储其中的非零元和其检索信息。

稀疏矢量的存储比较简单，只需要存储非零元和非零元的下标。稀疏矩阵的存储格式众多，实际程序设计中根据矩阵的稀疏结构以及所采用的算法的特点，选择合适的存储方法。比较常见的稀疏矩阵的存储格式有3种，即Coordinate、CSR和CSC。下面通过举例说明的形式介绍这3种常用的稀疏矩阵存储格式。

3.1.1 Coordinate Format

Coordinate Format，又称散居格式，是最简单稀疏存储方式。本文大量使用的内点算法数学包IPOPT就是使用的Coordinate格式对Jacobian、Hessian矩阵进行存储。Coordinate Format的优点是非零元在values、rows和columns数组中的位置可以任意排列。缺点是因其存储顺序无规律，检索难度大。

举例说明如下：

矩阵A的维数为n=5，A矩阵中非零元个数为nz=13。

Coordinate Format以one-based indexing的存储方式如下：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

rows=1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5

columns=1 2 3 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

其中values、rows、columns的长度都为nz。三个数组依次记录了C矩阵中非零元的数值，其所处的行位置，和其所处的列位置。

3.1.2 CSR Format

CSR（compressed sparse row），行压缩格式。CSR被各种稀疏矩阵运算数学软件所支持，如IntelMKL和SuperLU。相比于Coordinate格式，CSR存储格式检索方便：可以方便检索第i行的所有元素，从而可以方便检索第i行的第j列的元素，即检索元素B（i，j）。另外，CSR格式使用的存储空间比Coordinate格式还要更少。

举例说明如下：

对于上述矩阵A，维数为n=5，非零元个数为nz=13。

CSR格式存储结构如下（one-based indexing）：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

columns=1 2 4 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

row Index=1 4 6 9 12 14

rowIndex中依次记录了上三角矩阵每一行中第一个非零元在columns和value数组中的位置。比如，row Index中的第二个元素为4，意味着columns和values数组中从第四个元素开始为原矩阵B中的上三角第二行的内容。

3.1.3 CSC Format（Harwell-Boeing）

CSC（compressed sparse column），列压缩格式。与行压缩格式类似，只不过rowIndex变为columnIndex。著名的稀疏矩阵算例集Harwell-Boeing Sparse Matrix Collection，就都是使用的CSC（也叫做Harwell-Boeing）格式。

举例说明如下：

对于上述矩阵A，维数为n=5，非零元个数为nz=13。

CSC Format下的存储结构如下（one-based indexing）：

values=1-1-3-2 5 4 6 4-4 2 7 8-5

columns=1 2 4 1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

coIIndex=1 4 7 9 12 14

3.2 排零运算

稀疏矩阵和稀疏矢量的运算特点是“排零运算”。因为零不影响加减法，乘以任何数结果为零。即只要知道运算中有一个操作数是零，计算机不必做浮点计算，就可以知道其结果。

举例说明如下：比如对n×n阶矩阵进行LU分解，将其分解成一个下三角矩阵L和一个单位上三角矩阵U的乘积。LU分解可以分为两步：①按行规划运算；②消去运算或者更新运算。

具体计算时，排零运算应根据稀疏矩阵的存储格式去设计相应的计算方法，尽可能地去减少判断运算（判断某个元素是不是零元）和浮点运算。

实际实现时，为实现稀疏技术的排零运算，可以采用各种第三方数学包。这些数学包往往支持各种稀疏矩阵的存储结构，并能够快速求解各种稀疏矩阵、稀疏矢量的运算。

比如NISTSparseBlas和SparseLib++（Netlib）都支持稀疏的BLAS运算以及一些稀疏线性方程组的求解。前者是由美国国家标准局（NIST，National Institute of Standards and Technology）根据BLAST规范实现的稀疏BLAS计算包，由C++语言编写，仅包含3个头文件和1个源文件，使用简单；后者功能强大，支持矩阵的文本输入输出，支持LU分解和Cholesky分解等。一些主流的商业计算软件如IntelMKL和NAG等也都支持各种稀疏矩阵格式及各种稀疏矩阵运算。

4 结论

潮流计算是电力系统中最基本、最重要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。通过研究发现，随着计算机性能和潮流计算算法的改进，潮流计算的计算规模和计算速度都得到了显著的提高。在这些算法当中，稀疏技术的应用和完善具有重要意义。通过使用第三方公司开发的数学包，可以大幅提高运用计算机实现稀疏技术的开发效率，这是具有实际意义的。

[1] 姚玉斌，鲁宝春，陈学允.1999：《小阻抗支路对牛顿法潮流的影响及其处理方法》，电网技术，23（9）：27～31.

[2] 朱凌志，安宁.2005：《基于二维链表的稀疏矩阵在潮流计算中的应用》，电网技术，29（8）：16～19.

[3] 王守相，王成山.2003：《配电系统节点优化编号方案比较》电力系统自动化，27（8）：54～58.