刘米娜,孙道椿

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

本文用B表示Banach空间.设bn⊂B是Banach空间中的一列元素.设B值Dirichlet级数

(1)

满足0<λ1<λ2<…<λn↑∞.并设

(2)

其中‖·‖表示B空间中的范数.

定义1

M(σ)=sup{‖f(σ+it)‖;-∞0),

定义2 级数f(s)的在右半平面Res>0的增长级ρ定义为

(3)

设级数f(s)的级为有穷正级ρ，则由文献[1],存在函数U(r)=rρ(r),其中ρ(r)在r≥r0非负、连续、单调且满足

引理1 如果B值Dirichlet级数(1)在s0=σ0+it0处收敛,那么

2)在半平面Res>0内收敛,而且在其中的任何紧集上一致收敛.

证明先证1),把级数(1)改写为

并且令

An j=bne-λns0+…+bn+je-λn+j s0.

由文献[2]中的引理1.1.1,对于任意自然数k和n,

e-λn+j+1(s-s0))+Anke-λn+k(σ-σ0),

因此

e-λn+j+1(s-s0))|+‖Ank‖e-λn+k(σ-σ0).

|e-λn+j(s-s0)-e-λn+j+1(s-s0)|≤

因为级数(1)在s=s0处收敛,所以∀ε>0,∃N>0,使得

因此结论1)得证.结论2)不难由1)得出.

引理2 对于B值Dirichlet级数(1),

1)如果它在s0=σ0+it0处绝对收敛,那么它在闭半平面Res≥σ0上绝对收敛.

2)如果它在直线Res=σ0上一致收敛,那么它在闭半平面Res≥σ0上一致收敛.

证明与文献[2]的定理1.1.2的方法类似.

证明先证第1个不等式,只需证∀σ0>σc,有

下设-∞0,∃N>0,使得

‖bn‖≤eλn(l+ε),n≤eλn(D+ε).

∀n,m(n≤m),有

由此可见级数(1)在l+D+3ε处绝对收敛.由ε的任意性,即得引理.

引理4 定义1中的M(σ)和m(σ)的存在性.

故

则M(σ)被有限项所控制，故存在性得证.m(σ)的存在性显然.

引理5 设具有有限正级ρ的B值Dirichlet级数满足

(4)

则

(5)

于是

(6)

由式(4)及∀σ1>0,整数k>1,当n>k时,有

结合式(6)，有

(7)

另一方面，由文献[3],当σ>σa时,有m(σ)≤M(σ).这就得到引理.

引理6[1]设a>0,λ>0,函数

在

时达到最小值

其中r=W(t)与t=rU(r)互为反函数,且

引理7[4]设b>0,σ>0,函数

仿照文献[5]中的证明方法，可以得到

定理1 设有限ρ级的B值Dirichlet级数满足

则

其中t为一个正常数.

定理2 设有限ρ级B值Dirichlet级数满足条件(2)和

则

其中α=(1+ρ)1+ρρ-ρ,U(r)是定义2中的型函数.

则

由于r=W(t)与t=rU(r)互为反函数,且都为单调增函数

因此

λn>(logn)(ρ1+1)/ρ1>1,

及

m(σ)=max{‖bn‖e-λnσ}≤

因此

结合引理5,有

由‖bn‖e-λnσ≤m(σ)≤M(σ),得

根据引理6得,存在N3>0,使得当n>N3时,有

因此有

故

这与假设矛盾,充分性得证.

再证必要性:若

用反证法,假定

由充分性的证明可得

这就得到矛盾,因此定理得证.

定理3 设有限ρ级B值Dirichlet级数(1)满足条件(2)、(4)和

则

(8)

且存在一个递增正整数列{nv},使

(9)

其中α=(1+ρ)1+ρρ-ρ，U(r)是定义3中的型函数.

证明先证充分性,若式(8)右边和式(9)成立,则由

即

因为t=rU(r)与r=W(t)互为反函数且都是递增的函数,所以

log+M(σ)≥log+m(σ)≥log+‖bnv‖-λnvσv≥

因此

再根据定理2得

再证必要性:首先若式(8)左边成立.则由定理4得,式(8)右边也成立.为证明式(9)成立，取单调下降正数列{εk}→ 0.令

(10)

(11)

因此有

即有

取μ>0,使

故当n≥n0时

(0<β=min{η,γ}<1),

从而

这与式(8)左边矛盾,从而定理得证

参考文献：

[1] 刘名生. 半平面上有限级Dirichlet 级数的正规增长[J]. 系统科学与数学,2002,22(2)：229-238.

LIU Mingsheng.Dirichlet series of finite order on the half-plane[J].Systemic Science and Mathematics,2002,22(2)：229-238.

[2] 余家荣，丁晓庆.Dirichlet 级数与随机Dirichlet 级数的值分布[M]. 武汉:武汉大学出版社,2004.

[3] 田范基.B 值Dirichlet级数的增长性[J]. 湖北大学学报:自然科学版,2000,22(S)：53-57.

TIAN Fanji.The growth of B-valued Dirichlet series[J].Journal of Hubei University:Natural Science Edition,2000,22(S)：53-57.

[4] 余家荣. 随机Dirichlet级数的一些性质[J]. 数学学报,1978，21(2)：97-118.

YU Jiarong.Some nature of random Dirichlet series[J].Acta Mathematica Sinica,1978，21(2)：97-118.

[5] 孙道椿. Dirichlet 级数的级[J]. 华南师范大学学报:自然科学版,2002(3)：14-19.

SUN Daochun.The order of Dirichlet series[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2002(3)：14-19.