刘梦麒 单汨源 汪小京

1.湖南大学,长沙,410082 2.宁波现代物流规划研究院,宁波,315042

0 引言

在生产控制系统(production control system,PCS)中,企业需要通过调节生产节奏和调整库存水平来满足下游顾客的需求。企业在调节生产节奏时,不仅要考虑生产成本,而且要权衡生产率波动所导致的库存成本的变化,这两者之间存在着效益背反。因此,在生产控制系统中,生产控制的目标是:基于产品的市场需求,在合适的时间,生产恰当数量的产品,保持恰当数量的库存,使计划期内的总成本最小。总成本包括生产成本和库存成本。

目前,很多文献针对随机性需求下的生产控制系统建立数学模型,设计了多种有效的算法以优化生产控制策略。然而在现实生产实践中,由于需求波动、提前期变化、生产延迟和需求预测有误差,这些数学模型在分析随机系统时存在一定的局限性。对于研究和解决复杂系统问题而言,系统动力学具有较好的适用性。基于系统动力学,Simon等[1]建立了APIOBPCS(auto pipeline,inventory and order based production control system)生产控制模型,结合当期的需求预测、在制品库存偏差、产成品库存偏差等三方面的信息,制订下一期的生产控制策略。APIOBPCS模型中的生产控制策略不仅可以减弱需求波动对生产率的影响,而且还可以减小库存偏差,降低库存成本,实现生产成本和库存成本之间的合理平衡,达到总成本最低的目的。但是,在时变需求环境下,APIOBPCS模型中的库存水平与实际需求之间会存在一定的偏差,且在企业对生产时间估计有偏差的情况下,库存偏差会无限扩大,APIOBPCS模型中的生产控制策略不能够优化系统总成本。因此,本文在APIOBPCS模型基础上进行改进,加入了一种新颖的控制机制,有效地削弱了生产时间估计误差带来的负面影响,消除了库存与实际需求之间的偏差。

1 APIOBPCS生产控制系统

1.1 模型回顾

Forrester[2]首先将系统动力学应用到 PCS系统中,随后Towill[3]建立了IOBPCS(inventoryand order based production control system)生产控制模型。在IOBPCS模型的基础上,很多学者进行了修正和拓展。Edghill等[4]将目标库存水平(固定值)拓展为与需求相关的变动值,建立了一个VIOBPCS(variable inventory and order based production control system)模型,并比较分析了不同环境下IOBPCS和VIOBPCS两个模型的系统表现。Simon等[1]在IOBPCS模型中加入了在制品(work in process,WIP)库存反馈控制机制,从而将IOBPCS模型拓展到APIOBPCS模型,APIOBPCS生产控制模型如图 1所示。随后,Mason-Jones等[5]通过比较IOBPCS和APIOBPCS两种模型的系统表现,总结分析了WIP库存反馈控制机制在模型中的作用。Dejonckhere等[6]将目标库存补货策略(order-up-to,OUT)引入到 APIOBPCS模型中,构建了APVIOBPCS模型。经过诸多学者对IOBPCS模型的拓展,现在已经形成基于系统动力学的PCS模型族。该模型主要由以下五个部分组成:①需求预测机制;②目标库存水平设置;③库存水平反馈机制;④在制品库存水平反馈机制;⑤生产延迟。其模型如图2所示。

图1 APIOBPCS生产控制模型

图2 基于系统动力学的PCS模型

1.2 模型构建

表1是文中用到的有关量符号的含义。

表1 符号含义

图3是APIOBPCS模型在复频域(s域)的方块图,系统设置如下。

图3 APIOBPCS方块图

(1)预测机制。采用一次指数平滑,其s域传递函数Ga(s)为

(2)目标库存设置。STINV=0

(3)生产过程。采用一阶延迟,其s域传递函数Gp(s)为

为了得到系统的生产波动和库存变化情况,我们从APIOBPCS的方块图中可以得到以下两个重要传递方程:

1.3 APIOBPCS库存偏差

根据上文中建立的模型,以下将分析APIOBPCS系统在各种需求环境下的生产与库存变化情况。

1.3.1 阶跃需求环境阶跃需求方程为

其拉普拉斯变换函数为 PCON(s)=1/s,结合式(3),根据终值定理,可以得到稳态的生产订单率ηFORT1为

结合式(4),同样可以得到稳态的库存水平SFINV1为

1.3.2 线性需求环境

线性需求量是时间的线性函数,为了简化分析,假设需求函数为PCONt=t,其拉普拉斯变换函数为 PCON(s)=1/s2。

同理,结合式(3)和式(4),根据终值定理,可以得到稳态下的生产订单率和库存水平分别为

由式(8)可得,生产订单率不可能达到稳态,这是因为需求是时间的增函数。当 T=Tp时,稳态的库存水平SFINV2＜0,这说明库存水平始终会出现负偏差,缺货一直存在;当 T≠Tp时,库存不会到达稳态,而会逐渐增加(或者逐渐降低)。很明显,APIOBPCS系统在线性需求环境下会出现永久缺货或者无限库存,无法达到目标库存水平。Disney等[7]通过在在制品反馈环中修正生产时间估计值,从而有效地消除了阶跃需求下的库存偏差。与文献[7]不同,本文通过在库存反馈环中采用一种新的控制机制来消除或者降低以上库存偏差。

2 基于APIOBPCS的库存偏差消除策略

2.1 PI-APIOBPCS模型

在库存反馈环中采用 PI(proportional plus integral)控制机制,构建PI-APIOBPCS模型,其方块图如图4所示。

图4 PI-APIOBPCS模型方块图

从PI-APIOBPCS方块图中可以得到:

式中,k1为PI控制机制中的增益系数。

在阶跃需求下,可以得到稳态库存水平为

由式(10)可知,在阶跃需求下的PIAPIOBPCS生产系统可以完全消除生产时间估计误差带来的负面影响,能够使系统稳态库存最终恢复到目标库存水平。

在线性需求下,可以得到稳态库存水平为

由式(11)可知,在线性需求下,与APIOBPCS系统相比较,PI-APIOBPCS生产系统可以大大减小生产时间估计误差对库存的影响。当T=Tp时,PI-APIOBPCS系统能够消除库存偏差,当 T≠Tp时,库存偏差不会逐渐增大,而是保持在一定的水平上,且库存偏差与PI增益系数成反比。

根据Routh-Hurwitz稳定性定理,可以得到PI-APIOBPCS生产系统必须满足以下条件:

化简可得,k1＜(Tw+Tp)/(TiTwTp),将其代入式(11)可得,在存在生产时间估计误差情况下,库存偏差大于

2.2 PID-APIOBPCS模型

在线性需求下,当存在生产时间估计误差时,PI-APIOBPCS生产控制系统不能消除库存偏差,基于此,以下在生产订单策略中增加一个PD(proportional plus derivative)控制机制,其方块图如5所示。

图5 PID-APIOBPCS模型方块图

从PID-APIOBPCS模型方块图中可以得到:

式中,k2为PD控制机制中的增益系数。

在线性需求下,可以得到稳态库存水平为

当存在生产时间估计误差时,与PIAPIOBPCS相同,PID-APIOBPCS系统中存在稳态库存偏差,且与PI控制机制中的增益系数成反比。

根据Routh-Hurwitz稳定性定理,可以得到PID-APIOBPCS必须满足以下条件:

由式(15)可得,当PD增益系数满足k2＞Tp时,PID-APIOBPCS系统一定会保持稳定,因此,当存在生产时间估计误差时,可以大幅增加PD增益系数k2,消除稳态库存偏差。

3 模拟分析

Disney等[8]采用遗传算法对APIOBPCS系统进行优化,得出库存调整时间应略小于生产时间,需求平滑时间应为生产时间的两倍,在制品库存偏差调整时间应该略大于生产时间的三倍。参照文献[8]的参数设置,假设 Tp=8d,Ti=7d,Ta=16d,Tw=25d。假设两个控制器的增益系数分别为k1=0.01,k2=25。考虑两种需求函数:阶跃函数和线性函数,假设PCONt=0.1t(t)。模拟时间为500个时间单位(d)。

3.1 阶跃需求下系统表现

图6 T=Tp时,三个模型在阶跃需求下的系统表现

图7 T≠Tp时,三个模型在阶跃需求下的系统表现

3.2 线性需求下的系统表现

线性需求下,当生产时间不存在估计误差时,即 T=Tp时,三个模型的系统表现如图8所示。图8a为生产率的变化曲线图,从图8a可以看出,三个模型的生产率变化曲线基本保持一致,即稳定增长;图8b是库存水平的变化曲线图,从图8b可以看出,APIOBPCS模型的库存水平逐渐降低,且存在较大的库存偏差(为负值),而两个改进的模型能够消除原模型中的库存偏差,其中PIDAPIOBPCS模型的库存波动最小,且最快到达稳定状态。

图8 T=Tp时,三个模型在线性需求下的系统表现

线性需求下,当生产时间存在估计误差时,三个模型的库存水平变化情况如图9所示。其中,图9a是 T=5d条件下库存水平的变化曲线图,从图9a可以看出,APIOBPCS模型中的库存水平逐渐降低;图9b是T=10d条件下库存水平的变化曲线图,从图9b可以看出,APIOBPCS模型中库存水平经过一段时间降低后会逐渐增加,经过改进的两个模型(PI-APIOBPCS和 PIDAPIOBPCS)均能够有效地降低原模型中的库存水平偏差,且均可以到达某一个稳定状态,其中,PID-APIOBPCS模型中的库存水平波动较小,到达稳定状态的时间较短。

图9 T≠Tp时,三个模型在线性需求下的系统表现

4 结语

当需求为阶跃函数时,APIOBPCS模型中的生产控制策略不能够消除生产时间估计误差所造成的库存偏差,而且在线性需求下,该库存偏差会无限增大。通过在库存反馈中加入PI控制机制,建立PI-APIOBPCS模型可以完全地消除阶跃需求下系统的库存偏差,但是在线性需求下依然存在一定的库存偏差,且生产率和库存水平波动比较大。在PI-APIOBPCS模型的基础上,通过在生产过程中加入PD控制机制建立了PID-APIOBPCS模型,与PI-APIOBPCS模型相比,PID-APIOBPCS模型减小并消除了生产时间估计误差所造成的库存偏差,而且能够大幅降低生产率和库存水平的波动,较快到达稳定状态。

由于在APIOBPCS模型中,需求预测和库存反馈中仅仅采用了增益控制器,即按照固定比例调整库存偏差,当外界需求环境变化时,这种固定比例的调节控制策略没有考虑库存偏差增长的态势,因此不能完全消除库存偏差。在PID-APIOBPCS模型中,采用PID控制器,不仅考虑了外界需求预测,而且跟踪了库存偏差的增长状态,能够有效消除库存偏差。因此,在实践生产中,当外界需求比较稳定时,根据需求预测和库存偏差,可以采用简单控制策略,调节生产节奏。当外界需求波动较大时,要充分利用库存偏差的动态信息,主要包括库存偏差现状和发展趋势,调整生产节奏。

[1]Simon J,Naim M M,Towill D R.Dynamic Analysis of a WIP Compensated Decision Support System[J].International Journal of Manufacturing System Design,1994,1:283-297.

[2]Forrester J W.Industrial Dynamics[M].Cambridge,MA:Productivity Press,1961.

[3]Towill D R.Dynamic Analysis of an Inventory and Orderbased Production Control System[J].International Journal of Production Research,1982,20:671-687.

[4]Edghill J,Towill D R.Assessing Manufacturing System Performance:Frequency Response Revisited[J].Engineering Costs and Production Economics,1990,19:319-326.

[5]Mason-Jones R,Naim M M,Towill D R.The Impact of Pipeline Control on Supply Chain Dynamics[J].The International Journal of Logistics Management,1997,8:47-62.

[6]Dejonckhere J,Disney S M,Lambrecht M R,et al.Measuring and Avoidingthe Bullwhip Effect:a Control Theoretic Approach[J].European Journal of Operations Research,2003,147:567-590.

[7]Disney S M,Towill D R.Eliminating Drift in Inventory and Order Based Production Control Systems[J].International Journal of Production Economics,2005,93/94(8):331-344.

[8]Disney S M,Naim M M,Towill D R.Genetic Algorithm Optimization of a Class of Inventory Control Systems[J].InternationalJournal of Production Economics,2000,68:259-278.